孫巨為，王志新，王小強(qiáng)

（陸航研究所，北京101121）

0 引言

分形理論是專門研究分形的幾何特征、數(shù)量表征及其規(guī)律和應(yīng)用的科學(xué)，對(duì)于解決復(fù)雜系統(tǒng)問題非常有效。分維是分形理論中的最重要概念，它把分形客體的維數(shù)概念從整數(shù)擴(kuò)展到了實(shí)數(shù)，實(shí)現(xiàn)了人類對(duì)維數(shù)概念認(rèn)識(shí)的重大突破。戰(zhàn)斗力是一個(gè)典型的復(fù)雜系統(tǒng)，用分形理論對(duì)其加以研究，能夠在理論和實(shí)踐上解決許多懸而未決的難題，如戰(zhàn)斗中各種支離破碎的現(xiàn)象之間存在著某種有機(jī)的聯(lián)系等。

目前，運(yùn)用復(fù)雜系統(tǒng)理論研究戰(zhàn)斗力已經(jīng)成為軍事理論研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［1－3］界定了戰(zhàn)斗力、戰(zhàn)斗能力、戰(zhàn)斗潛力和戰(zhàn)斗效能之間的關(guān)系，即：戰(zhàn)斗力是戰(zhàn)斗能力在戰(zhàn)時(shí)表現(xiàn)出來的結(jié)果；戰(zhàn)斗能力是部隊(duì)遂行戰(zhàn)斗任務(wù)的基本能力；戰(zhàn)斗潛力是戰(zhàn)斗能力可能表現(xiàn)出來的最大值；戰(zhàn)斗效能是部隊(duì)發(fā)揮戰(zhàn)斗能力完成戰(zhàn)斗任務(wù)的程度。文獻(xiàn)［4－5］描述了物質(zhì)化、能量化和信息化等戰(zhàn)斗力具體形態(tài)，構(gòu)建了數(shù)字化部隊(duì)?wèi)?zhàn)爭(zhēng)系統(tǒng)模型分解圖，將戰(zhàn)斗能力分解成部隊(duì)與武器、電子信息、決策指揮和后勤保障等能力。文獻(xiàn)［6－9］提出了戰(zhàn)斗力系統(tǒng)演化的開放性、非平衡性、非線性等自組織特征，從內(nèi)在機(jī)制上闡釋了科學(xué)技術(shù)在戰(zhàn)斗力系統(tǒng)向有序演化過程中起第一作用（序參量）的機(jī)理，戰(zhàn)斗能力貢獻(xiàn)度和依賴度與戰(zhàn)斗體系結(jié)構(gòu)演化涌現(xiàn)效應(yīng)的聯(lián)系，以及演化后各種戰(zhàn)斗能力指標(biāo)。這些觀點(diǎn)分別從不同角度描述了戰(zhàn)斗力形態(tài)的演化問題，盡管其中也有分形思維和思想，但都未對(duì)戰(zhàn)斗力形態(tài)演化的分形本質(zhì)加以研究。文獻(xiàn)［10－11］等論述了城市人口和城市規(guī)模演化的分形特性，對(duì)于研究與之類似的戰(zhàn)斗力形態(tài)演化分形模型具有重要的參考價(jià)值。

本文以分形理論為背景，將戰(zhàn)斗力作為一個(gè)高度自治的復(fù)雜系統(tǒng)，論證其生成、保持、變化和衰減等分形模型，同時(shí)說明蘭徹斯特方程、奧西波夫方程和戰(zhàn)斗力指數(shù)模型的實(shí)質(zhì)和來源，結(jié)合戰(zhàn)斗實(shí)例用定量方法探討戰(zhàn)斗力各要素相互作用的分形機(jī)理，進(jìn)而提出戰(zhàn)斗力形態(tài)演化的分形思想。

1 戰(zhàn)斗力相關(guān)問題描述

戰(zhàn)斗力是戰(zhàn)斗力系統(tǒng)的簡(jiǎn)稱，是指武裝力量遂行戰(zhàn)斗任務(wù)的能力，由人、武器裝備和人與武器裝備的結(jié)合等基本要素構(gòu)成［12］，具體表現(xiàn)為各種戰(zhàn)斗力要素的綜合，包括突擊力、打擊力、保障（含信息、指揮、機(jī)動(dòng)、防護(hù)、后裝保障）力等要素；戰(zhàn)斗效能是戰(zhàn)斗力量在戰(zhàn)斗進(jìn)程中發(fā)揮有效作用的程度，也是反映和評(píng)價(jià)部隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力的尺度與標(biāo)準(zhǔn)［12］；戰(zhàn)斗力形態(tài)是指戰(zhàn)斗力結(jié)構(gòu)、環(huán)境及其相互關(guān)系的總體；戰(zhàn)斗力形態(tài)演化是指戰(zhàn)斗力的結(jié)構(gòu)、狀態(tài)、特性、行為和動(dòng)能隨著戰(zhàn)斗進(jìn)程的推移而發(fā)生的變化。

自治系統(tǒng)的功效是其主動(dòng)通過與所在環(huán)境相互作用，實(shí)現(xiàn)自身目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)服從某些人或其它要素的控制，不能完全按照各要素自身的主觀意志行事。顯然，戰(zhàn)斗力既是一種有人參與的動(dòng)力系統(tǒng)，也是一種典型的自治系統(tǒng)。按照一般系統(tǒng)論的觀點(diǎn)［13］，對(duì)于最簡(jiǎn)單的戰(zhàn)斗力系統(tǒng)而言，戰(zhàn)斗力要素相關(guān)作用過程可用微分方程組（1）描述，即

其中，xi（i＝1，2，…，n） 為第i個(gè)要素；fi為xi變化時(shí)所有要素x1，x2，…，xn之間的相關(guān)作用算子，與指揮、行動(dòng)和協(xié)同等方式有關(guān)；xi0為第i個(gè)要素的初值（常數(shù)），可理解為經(jīng)過戰(zhàn)斗部署的戰(zhàn)斗力要素初始值，例如，遂行突擊、打擊或保障等任務(wù)的戰(zhàn)斗成員配置、狀態(tài)和數(shù)量等。

該方程組既說明了各要素之間相互關(guān)聯(lián)，互為因果，也說明了任何一個(gè)要素變化都以某種形式引起所有要素變化，從而導(dǎo)致戰(zhàn)斗力整體向前演化。例如，保障力增強(qiáng)后，可使打擊力也增強(qiáng)，而打擊力增強(qiáng)，可更好地壓制和毀傷威脅突擊行動(dòng)的目標(biāo)，這又使突擊力增強(qiáng)，打擊力和突擊力都增強(qiáng)后，就有利于大量殲敵，也能使保障成員和設(shè)備受到的威脅減少，進(jìn)而使保障力得以保持和增強(qiáng)，打擊力、突擊力和保障力都增強(qiáng)后，整體戰(zhàn)斗力必然有一個(gè)躍升。

2 戰(zhàn)斗力生成分形模型

戰(zhàn)斗力生成是指在戰(zhàn)斗部署中各要素相互作用，使戰(zhàn)斗力從無到有、從小到大的過程。戰(zhàn)斗力生成的分形模型是用分形方法揭示戰(zhàn)斗力結(jié)構(gòu)演化性的內(nèi)在機(jī)理，描述情報(bào)搜集與分析、任務(wù)要求與區(qū)分、力量編組與配置、資源籌措與配送等對(duì)戰(zhàn)斗力生成的影響。由式（1），如果戰(zhàn)斗力只有兩個(gè)要素，則

其中，xi0和xj0分別為第i個(gè)和第j個(gè)要素的初值，均可認(rèn)為趨近于0，即在戰(zhàn)斗部署前任何戰(zhàn)斗成員和武器裝備都不具備戰(zhàn)斗力，只有戰(zhàn)斗；ai和aj分別為第i個(gè)和第j個(gè)要素的生成系數(shù)，即戰(zhàn)斗部署合理性系數(shù)，戰(zhàn)斗部署越合理，該系數(shù)就越大，越容易生成戰(zhàn)斗力，反之亦然。

顯然，戰(zhàn)斗力形態(tài)具有非線性特征，對(duì)式（2）約簡(jiǎn)，有［13］

式（3）反映了兩個(gè)要素之間的生成關(guān)系。當(dāng)αij＞1時(shí)，第i個(gè)比第j個(gè)要素生成快；當(dāng)αij＜1時(shí)，第i個(gè)比第j個(gè)要素生成慢；當(dāng)αij＝1時(shí)，第i個(gè)與第j個(gè)要素同步生成。又由式（3），時(shí)刻t第i個(gè)和第j個(gè)要素的解為

將式（4）中時(shí)間項(xiàng)消元并化簡(jiǎn)，得第i個(gè)和第j個(gè)要素的冪指數(shù)生成模型為

式（5）是一個(gè)廣義的分形模型。由于αij為第i個(gè)和第j個(gè)要素互為測(cè)度的結(jié)果，故αij具有分維性質(zhì)，這里稱之為“互維數(shù)”。

由式（5），得時(shí)刻t所有要素的冪指數(shù)生成模型為

式（6）是對(duì)非線性戰(zhàn)斗力進(jìn)行半線性分解的結(jié)果，簡(jiǎn)化了內(nèi)部關(guān)系，保持了主要的非線性特征，近似反映了第i個(gè)要素與其它要素的生成關(guān)系。

如果戰(zhàn)斗力包括n個(gè)要素xi（i＝1，2，…，n） ，則時(shí)刻t戰(zhàn)斗力的一般生成模型為

其中，g為各戰(zhàn)斗力要素的相互關(guān)系算子，該算子決定于指揮、行動(dòng)和協(xié)同等方式。

對(duì)式（7）求全微分并做等價(jià)變換，得

不難看出，σi＝?E／?xi·xi／E，為第i個(gè)要素與戰(zhàn)斗力的關(guān)聯(lián)系數(shù)，具有分維性質(zhì)，分形維數(shù)為，且為常數(shù)，即認(rèn)為式（8）是線性模型。對(duì)式（8）求積分得戰(zhàn)斗力的生成模型為

將式（5）代入到式（9）中，得戰(zhàn)斗力的生成模型為

式（10）中，維數(shù)σi≠σj（i≠ j）為第i個(gè)要素發(fā)揮作用的程度，即靈敏度指數(shù)。該式說明戰(zhàn)斗力隨各要素的生成而生成，具有自仿射特征，并可化為任意多個(gè)xi的σi次冪的乘積形式。

3 戰(zhàn)斗力保持分形模型

戰(zhàn)斗力保持是指在戰(zhàn)斗實(shí)施中各要素逐步適應(yīng)戰(zhàn)場(chǎng)情況，使戰(zhàn)斗力保持最大狀態(tài)的過程。其分形模型是用分形方法揭示戰(zhàn)斗力結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的內(nèi)在機(jī)理，描述當(dāng)前態(tài)勢(shì)與任務(wù)、力量配比與分配、戰(zhàn)法選擇與運(yùn)用、時(shí)空協(xié)調(diào)與協(xié)同等對(duì)戰(zhàn)斗力保持的影響。由式（7）和式（9），在時(shí)刻t，有

式（11）說明戰(zhàn)斗力是一個(gè)k次齊次函數(shù)，即：如果所有要素都變化λ倍，則戰(zhàn)斗力同方向變化λk倍。特別是，當(dāng)k＝1時(shí)，該戰(zhàn)斗力是線性齊次函數(shù)。例如，如果x1，x2，…，xn全部同時(shí)增加為λx1，λx2，…，λxn，則戰(zhàn)斗力E將增加為λkE，即：當(dāng)λ＞1時(shí)，E遞增；當(dāng)λ＝1時(shí)，E不變；當(dāng)λ＜1時(shí)，E遞減。然而，如果要素?cái)?shù)量n＞2且k為實(shí)數(shù)域的任意數(shù)值，則戰(zhàn)斗力與各要素之間不滿足線性關(guān)系。為此，用歐拉齊次函數(shù)定理確定式（11）中在λ＝1時(shí)的表達(dá)式，即

由式（12），當(dāng)k＝1時(shí)，戰(zhàn)斗力最大值為

由式（9），如果各要素總量為X，則當(dāng)k≠1且存在條件函數(shù)時(shí)，戰(zhàn)斗力最大值為

式（14）的拉格朗日函數(shù)為

其中，γ為拉格朗日參數(shù)。

由式（14）和式（15），用拉格朗日乘數(shù)法可求取戰(zhàn)斗力極值。存在極值條件的聯(lián)立方程組［14］為

求解聯(lián)立方程組得戰(zhàn)斗力有最大值的條件和解析解為

4 戰(zhàn)斗力變化分形模型

戰(zhàn)斗力變化是指在戰(zhàn)斗相持中因某個(gè)要素不能發(fā)揮作用，使戰(zhàn)斗力突然增大或減小的過程。其分形模型是用分形方法揭示戰(zhàn)斗力結(jié)構(gòu)適應(yīng)性的內(nèi)在機(jī)理，描述敵我博弈與對(duì)抗、策略改變與調(diào)整、戰(zhàn)機(jī)創(chuàng)造與把握、環(huán)境利用與規(guī)避等對(duì)戰(zhàn)斗力變化的影響。這種現(xiàn)象是系統(tǒng)分形特性退化，有兩種模式，即：

第一，在時(shí)刻t某個(gè)要素變化與該要素大小無關(guān)，只取決于戰(zhàn)斗力的各種限制條件。

以第1個(gè)要素受到限制為例說明戰(zhàn)斗力變化現(xiàn)象。將式（18）代入式（9）得戰(zhàn)斗力的變化模型為

比較式（10）和式（19），可判別該模式下戰(zhàn)斗力變化方向，即

式（20）顯然有“指數(shù)函數(shù)的增大‘速度’比冪函數(shù)快得多”［14］，即戰(zhàn)斗相持到一定程度后，式（20）中任何一項(xiàng)δ1＜1。這說明指數(shù)函數(shù)模式的戰(zhàn)斗力大于冪函數(shù)模式，即由E向上變化為，原因是式（18）中，雖然第j個(gè)要素受到限制，但仍可使第i個(gè)要素以指數(shù)函數(shù)增大，使式（19）的戰(zhàn)斗力最終向增大方向變化。如，當(dāng)兵力突擊受挫時(shí)，可通過增強(qiáng)火力打擊或綜合保障等提高整體戰(zhàn)斗力。

以第1個(gè)要素受到限制為例說明戰(zhàn)斗力變化現(xiàn)象。將式（21）代入式（9）得戰(zhàn)斗力變化模型為

比較式（22）和式（10），可判別該模式下戰(zhàn)斗力變化方向，即

式（23）顯然有“冪函數(shù)的增大‘速度’比對(duì)數(shù)函數(shù)快得多”［14］，即戰(zhàn)斗相持到一定程度后，式（23）中任何一項(xiàng)δ1＜1。這說明對(duì)數(shù)函數(shù)模式的戰(zhàn)斗力小于冪函數(shù)模式，即由E向下變化為，原因是式（21）中，雖然第i個(gè)要素受到限制，但第j個(gè)要素使其以對(duì)數(shù)函數(shù)減小，使式（19）的戰(zhàn)斗力最終向減小方向變化。如，當(dāng)兵力突擊受挫時(shí)，未能有效組織與之協(xié)同的火力打擊或綜合保障等行動(dòng)，兵力突擊效果將會(huì)進(jìn)一步下降，導(dǎo)致整體戰(zhàn)斗力下降。

第二，時(shí)刻t兩個(gè)要素變化與這兩個(gè)要素的大小無關(guān)，只取決于戰(zhàn)斗力的各種限制條件。

其中，ζij＝αiji0／j0，為常數(shù)；Cij為積分常數(shù)。

以所有要素受到限制為例說明戰(zhàn)斗力變化現(xiàn)象。將式（24）代入（9）得戰(zhàn)斗力變化模型為

比較式（25）和式（10），可判別該模式下戰(zhàn)斗力的變化方向，即

顯然，δn的增減方向可由必達(dá)法則判定，其值與ζij，Cij，σi，βj和αij等有關(guān)。

5 戰(zhàn)斗力衰減分形模型

戰(zhàn)斗力衰減是指在戰(zhàn)斗決勝中因某些條件不再具備，使戰(zhàn)斗力不斷消耗直至殆盡的過程。其分形模型是用分形方法揭示戰(zhàn)斗力結(jié)構(gòu)脆弱性的內(nèi)在機(jī)理，描述戰(zhàn)斗成員傷亡、武器彈藥消耗、指揮控制失效、戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境不利、戰(zhàn)斗精神崩潰等復(fù)雜因素對(duì)戰(zhàn)斗力衰減的影響。如果在時(shí)刻t第j個(gè)要素為（大于0的常數(shù)），第i個(gè)要素為（大于0的常數(shù)），并將之作為初值，則式（1）可表述為

由式（9），得戰(zhàn)斗力衰減模型為

6 戰(zhàn)斗力分形模型特例

長(zhǎng)期以來，許多學(xué)者對(duì)戰(zhàn)斗力形態(tài)演化問題進(jìn)行過研究，并給出了各種比較實(shí)用的演化模型［15－16］。從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上看，這些模型都是戰(zhàn)斗力形態(tài)演化分形模型的一種特例或派生形式。主要有：

2）奧西波夫戰(zhàn)斗方程。由式（29），當(dāng)i＝1，σ1＝1.5，其他參數(shù)含義和取值不變時(shí)，有，該結(jié)果與奧西波夫方程中A，B方戰(zhàn)斗效能等價(jià)，即“A方損失＝K·（B方實(shí)力）p”和“B方損失＝K·（A方實(shí)力）p”。其中，K為比例系數(shù)；p為憑經(jīng)驗(yàn)確定的指數(shù)。

上述特例說明，戰(zhàn)斗力形態(tài)演化分形模型不只是一種抽象的理論模型，還是一種能夠指導(dǎo)戰(zhàn)斗實(shí)踐的可派生模型，根據(jù)戰(zhàn)斗需要和相關(guān)數(shù)據(jù)，可以派生出不同結(jié)構(gòu)和精度的模型。

7 戰(zhàn)斗力分形模型應(yīng)用

分析式（9）、（14）、（22）、（25）和（29）不難發(fā)現(xiàn)，各戰(zhàn)斗階段戰(zhàn)斗力形態(tài)具有很強(qiáng)的“伸縮性”，當(dāng)只考慮某要素與整體的關(guān)系時(shí)，其余要素信息均“壓縮”在了系數(shù)或參數(shù)當(dāng)中。

7.1 戰(zhàn)斗力測(cè)度關(guān)系模型

為了將上述戰(zhàn)斗力模型解析為具體的測(cè)度關(guān)系模型，并利用其中的自仿射性質(zhì)，變量選擇應(yīng)遵循可觀測(cè)、能甄別、有代表性的原則。為此，可將戰(zhàn)斗效能（用敵方傷亡戰(zhàn)斗成員數(shù)表征）作為戰(zhàn)斗力的輸出變量，將戰(zhàn)斗實(shí)力（包括突擊實(shí)力、打擊實(shí)力和保障實(shí)力，用我方相應(yīng)的戰(zhàn)斗成員數(shù)表征）作為戰(zhàn)斗力的輸入變量，由此可建立如下戰(zhàn)斗力各要素實(shí)力和戰(zhàn)斗效能之間的數(shù)理關(guān)系。

突擊實(shí)力與打擊實(shí)力、打擊實(shí)力與保障實(shí)力、保障實(shí)力與突擊實(shí)力之間異速生長(zhǎng)關(guān)系為

其中，xt，xd和xz分別為突擊實(shí)力、打擊實(shí)力和保障實(shí)力，戰(zhàn)斗實(shí)力X0＝xt＋xd＋xz。

基于戰(zhàn)斗實(shí)力、突擊實(shí)力、打擊實(shí)力和保障實(shí)力等單項(xiàng)的戰(zhàn)斗效能彈性模型為

基于突擊實(shí)力、打擊實(shí)力和保障實(shí)力等綜合的戰(zhàn)斗效能彈性模型為

其中，adt，azd，atz，bdt，bzd，btz，C0，Ct，Cd，Cz，δ0，δt，δd，δz，η，ht，hd，hz均為參數(shù)，不難得到，hd＝δd／3，hz＝δz／3。

假定相應(yīng)于xt，xd，xz和Ex的廣義維數(shù)分別為Dxt，Dxd，Dxz和DEx，由幾何測(cè)度關(guān)系知

由式（33）和（34）可得

因此，只要bdt，bzd和btz不是整數(shù)或整數(shù)之比，δt，δd，δz，ht，hd和hz就具有分維性質(zhì)。

7.2 戰(zhàn)斗力測(cè)度關(guān)系實(shí)例

現(xiàn)以我軍歷史上某次陸軍戰(zhàn)役中陸軍第×師進(jìn)攻戰(zhàn)斗為例，說明戰(zhàn)斗力各要素的測(cè)度關(guān)系。該師戰(zhàn)斗目的是殲滅當(dāng)前守?cái)骋粋€(gè)團(tuán)大部，為友鄰實(shí)施戰(zhàn)役縱深戰(zhàn)斗創(chuàng)造條件。該師已完成戰(zhàn)斗部署，于19××年×月×日拂曉用火力準(zhǔn)備的方式觸發(fā)戰(zhàn)斗，包括火力準(zhǔn)備、前沿突擊、抗反沖擊、分割圍殲、縱深戰(zhàn)斗、追擊殘敵、清剿戰(zhàn)場(chǎng)等階段。根據(jù)戰(zhàn)斗日志，該師戰(zhàn)斗共進(jìn)行8晝夜，每個(gè)戰(zhàn)斗日敵我戰(zhàn)斗實(shí)力變化如表1所示（注：表中假設(shè)情況供輔助分析）。

將表1中點(diǎn)列數(shù)據(jù) （X0（t），Ex（t） ） 、（xt（t），Ex（t） ） 、（xd（t），Ex（t） ） 和 （xz（t），Ex（t） ） 分別標(biāo)繪于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖中，其分布呈對(duì)數(shù)線性分布趨勢(shì)，如圖1～圖4所示。將表1中點(diǎn)列數(shù)據(jù) （X′0（t），Ex（t） ） 繪于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖中，其分布呈對(duì)數(shù)線性分布趨勢(shì)相對(duì)較差，如圖5所示。

可根據(jù)式（30）和（31）的雙對(duì)數(shù)形式和表1數(shù)據(jù)，利用最小二乘法計(jì)算有關(guān)參數(shù)。這樣，基于戰(zhàn)斗力、突擊力、打擊力和保障力等單項(xiàng)的戰(zhàn)斗效能動(dòng)力相似模型為

突擊力與打擊力、打擊力與保障力、保障力與突擊力的異速生長(zhǎng)關(guān)系分別為

表1 陸軍第×師進(jìn)攻戰(zhàn)斗各戰(zhàn)斗日敵我雙方戰(zhàn)斗力相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)Tab.1 The related date statistics of a attack battle of the army′s division

圖1 戰(zhàn)斗實(shí)力與戰(zhàn)斗效能對(duì)數(shù)關(guān)系（實(shí)際情況）Fig.1 Logarithmic relationship between combat power combat effectiveness（Actual situation）

圖2 突擊實(shí)力與戰(zhàn)斗效能對(duì)數(shù)關(guān)系（實(shí)際情況）Fig.2 Logarithmic relationship between assault power and combat effectivenss（Actual situation）

圖3 打擊實(shí)力與戰(zhàn)斗效能對(duì)數(shù)關(guān)系（實(shí)際情況）Fig.3 Logarithmic relationship between force power and combat effectiveness（Actual situation）

圖4 保障實(shí)力與戰(zhàn)斗效能對(duì)數(shù)關(guān)系（實(shí)際情況）Fig.4 Logarithmic relationship between support power and combat effectiveness（Actual situation）

圖5 戰(zhàn)斗實(shí)力與戰(zhàn)斗效能對(duì)數(shù)關(guān)系（假設(shè)情況）Fig.5 Logarithmic relationship between combat power and combat effectiveness（Hypothetical situation）

由式（32）可計(jì)算得η＝4.466 5×10－69，ht＝7.390 2，hd＝7.056 7，hz＝6.863 6。這樣，基于突擊力、打擊力和保障力等綜合的戰(zhàn)斗效能彈性模型為

由表1實(shí)際情況數(shù)據(jù)和理論模型知：bdt＝1.051 6，δt＝22.170 8，δd＝21.170 0，δt／δd＝1.047 3，ht／hd＝7.390 2／7.056 7＝1.047 3，滿足式（35）。將表1中xt、xd和xz數(shù)據(jù)代入式（37）、（38）和（39）中，計(jì)算結(jié)果與表1中相應(yīng)的Ex值基本一致，聯(lián)系到雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的點(diǎn)列分布狀態(tài)（圖1～4），可認(rèn)為該師戰(zhàn)斗力形態(tài)演化具有自仿射的分形結(jié)構(gòu)。而且，ht，hd和hz具體數(shù)值均為非整數(shù)或整數(shù)之比，系統(tǒng)是分?jǐn)?shù)維的。

根據(jù)表1假設(shè)情況數(shù)據(jù)和最小二乘法，可計(jì)算得戰(zhàn)斗實(shí)力與戰(zhàn)斗效能的動(dòng)力相似模型為

顯然，由式（36）～式（44）可知，相關(guān)指數(shù)R′20?R20，說明戰(zhàn)斗力分形特性出現(xiàn)了退化，表現(xiàn)為第3～第8個(gè)戰(zhàn)斗日傷亡較大，其原因一般是情報(bào)不準(zhǔn)、決策失誤、執(zhí)行不力、敵人善戰(zhàn)等，其本質(zhì)是戰(zhàn)斗力各要素大小及其關(guān)系發(fā)生了變化，使預(yù)期戰(zhàn)斗力分形結(jié)構(gòu)遭到破壞。又可知，變量指數(shù)或維數(shù)δ′0?δ0，說明兩種情況的戰(zhàn)斗力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不一樣。根據(jù)分形理論，維數(shù)越大，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)就越復(fù)雜，系統(tǒng)運(yùn)行效率也越大，但對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可靠性提出了較高要求，因?yàn)橄到y(tǒng)結(jié)構(gòu)一旦破壞就很難恢復(fù)。因此，制定戰(zhàn)斗方案時(shí)應(yīng)考慮多種情況協(xié)同，強(qiáng)化戰(zhàn)斗預(yù)備隊(duì)和臨機(jī)決策的作用等。

8 結(jié)語

戰(zhàn)斗力形態(tài)演化的分形特性是大自然分形特性的具體表現(xiàn)，是戰(zhàn)斗力固有的基本性質(zhì)。對(duì)于預(yù)期的戰(zhàn)斗力，戰(zhàn)斗力形態(tài)演化的分形模型可表述成戰(zhàn)斗力各要素相關(guān)的冪指數(shù)函數(shù)形式，具有自仿射特征。只有保持生成系數(shù)比與相應(yīng)戰(zhàn)斗力構(gòu)成要素的比值恒定，才能使戰(zhàn)斗力最大。如果外部和內(nèi)部條件不能滿足有關(guān)要求，則戰(zhàn)斗力形態(tài)演化將會(huì)發(fā)生重大變化，即戰(zhàn)斗力突然增大或減小，這往往意味著戰(zhàn)機(jī)將要出現(xiàn)。因此，運(yùn)用分形理論研究戰(zhàn)斗力，不僅有助于揭示戰(zhàn)斗力的本質(zhì)和規(guī)律，闡釋克敵制勝的機(jī)理和方法，而且還可使戰(zhàn)斗方案和戰(zhàn)斗組織更加合理，針對(duì)破壞戰(zhàn)斗力分形結(jié)構(gòu)的因素進(jìn)行分析，從而創(chuàng)造和把握戰(zhàn)機(jī)，為化解戰(zhàn)場(chǎng)危機(jī)、探索制勝機(jī)理提供依據(jù)。

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