□孟麗萍

因式分解的應(yīng)用

□孟麗萍

一、在計(jì)算中的應(yīng)用

例1

分析：觀察已知算式可以看出通過因式分解，使其中的若干項(xiàng)互為倒數(shù)，從而簡化運(yùn)算，很快得出結(jié)果.因此在進(jìn)行實(shí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算時(shí)，要仔細(xì)觀察算式特征，若能應(yīng)用因式分解，有時(shí)可達(dá)到事半功倍的效果.

二、在化簡求值中的應(yīng)用

例2已知a＋b＝5，ab＝3，求代數(shù)式a3b－2a2b2＋ab3的值.

分析：利用已知條件，很難求出a、b的值，所以采取“先求出a、b的值，再代入求值”的方法是很困難的.我們可將a＋b、ab看作整體，把待求式用因式分解的方法進(jìn)行變形，變形出一個(gè)關(guān)于a＋b、ab的式子來，然后再采取整體代入的方法容易求解.

解：a3b－2a2b2＋ab3

＝ab（a2－2ab＋b2）

＝ab（a2＋2ab＋b2－4ab）

＝ab[（a＋b）2－4ab）].

因?yàn)閍＋b＝5，ab＝3，所以原式＝3×（52－4×3）＝3×13＝39.

三、在解方程組中的應(yīng)用

例3解方程組

分析：就目前的知識(shí)水平來說，用代入消元法或加減消元法來解是困難的.但我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程組有一個(gè)特點(diǎn)，方程x2－4y2＝5可以因式分解為（x＋2y）（x－2y）＝5，再把x－2y＝1代入方程（x＋2y）（x－2y）＝5中，即可得到x＋2y＝5，于是原方程組就可以化成一個(gè)二元一次方程組再解此方程組便可求解，請同學(xué)們自己完成.

四、在三角形問題中的應(yīng)用

例4已知a、b、c為三角形的三邊，求證：（a2＋b2－c2）2－4a2b2＜0.

分析：本題可應(yīng)用平方差公式將不等式的左邊分解因式，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定各因式的符號，即可獲解.

解：（a2＋b2－c2）2－4a2b2

＝（a2＋b2－c2）2－（2ab）2

＝（a2＋b2－c2＋2ab）（a2＋b2－c2－2ab）

＝[（a＋b）2－c2][（a－b）2－c2]

＝（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b＋c）（a－b－c）.

因?yàn)閍、b、c為三角形的三邊，即a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0，

所以（a2＋b2－c2）2－4a2b2＜0.

五、在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例5在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶.原理是：如對于多項(xiàng)式x4－y4，因式分解的結(jié)果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋ y2）＝162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼.如對于多項(xiàng)式4x3－xy2，取x＝10，y＝10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是_________.（寫一個(gè)即可）

分析：這是一個(gè)實(shí)際生活中的例子，由題意可知，解本題實(shí)際上是對多項(xiàng)式4x3－xy2進(jìn)行因式分解，再計(jì)算其值即可.

解：4x3－xy2＝x（4x2－y2）

＝x（2x＋y）（2x－y）.

當(dāng)x＝10，y＝10時(shí)，

2x＋y＝30，2x－y＝10，

故密碼為101030或103010或301010（任填一個(gè)即可）

六、在數(shù)整除中的應(yīng)用

例6設(shè)n為整數(shù)，則（n＋7）2－（n－3）2的值一定能被20整除嗎？若能，請說明理由；若不能，請舉一反例.

分析：此題是一道判斷一個(gè)代數(shù)式能否被一個(gè)數(shù)整除的問題，根據(jù)題意可將此代數(shù)式應(yīng)用因式分解的方法進(jìn)行整理變形，看是否含有此個(gè)數(shù)的因式，這樣便可獲得答案.

解：（n＋7）2－（n－3）2

＝[（n＋7）＋（n－3）][（n＋7）－（n－3）]

＝（2n＋4）×10

＝2（n＋2）×10＝20（n＋2），

所以（n＋7）2－（n－3）2的值一定能被20整除.