張也弛

（北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094）

0 引言

早在20世紀(jì)中期，Roberson 就指出：在動力吸振器中引入非線性，可以有效地增加振動抑制的帶寬，使得動力吸振器的魯棒性顯著提高[1]。非線性能量阱（nonlinear energy sink,NES）是一種可實現(xiàn)高效振動抑制的非線性吸振器，其內(nèi)部含有的強非線性立方剛度使其具有極為高效的振動能量吸收能力[2]。但同時，含有強非線性剛度也使系統(tǒng)的 力學(xué)特性十分復(fù)雜，尤其是強非線性系統(tǒng)擴充至三自由度以后，解析分析十分困難。若要對NES 的減振效果有全面認(rèn)識，則力學(xué)特性的分析必不可少。自從NES 的概念提出以來，一些學(xué)者對單自由度減振對象連接一個NES 的結(jié)構(gòu)力學(xué)特性進行了大量研究。文獻[3]給出了非線性能量阱與線性吸振器的振動抑制效果比較，證明了非線性能量阱在振動抑制方面的優(yōu)越性。文獻[4-5]給出了上述 系統(tǒng)的內(nèi)在哈密頓系統(tǒng)在1:1 內(nèi)共振條件下的力學(xué)分析。文獻[6-7]中研究了哈密頓系統(tǒng)周期解在主脊線上的分岔現(xiàn)象，并指出該哈密頓系統(tǒng)對非保守系統(tǒng)的力學(xué)特性有重要影響[8]。線性振子與NES 間的能量傳遞被廣泛研究：文獻[9-10]中通過一種新的有限相位軌跡手段深入研究能量傳遞過程，并使得多種能量傳遞機制得以揭示；文獻[11]指出，內(nèi)在哈密頓系統(tǒng)的1:1 內(nèi)共振是引發(fā)能量傳遞的最有效機制；文獻[12]在此基礎(chǔ)上進一步指出，在1:1內(nèi)共振附近的“超慢”半周期是引發(fā)最優(yōu)能量傳遞的途徑。

文獻[13-16]通過解析和試驗手段，在簡諧載荷作用下對一個線性振子連接一個NES 的結(jié)構(gòu)進行了研究。文獻[13]揭示出在產(chǎn)生準(zhǔn)周期振動時，NES具有較好的振動抑制效果。文獻[14]在文獻[13]基礎(chǔ)上研究了系統(tǒng)周期解的分岔現(xiàn)象，給出產(chǎn)生準(zhǔn)周期振動的兩種機制。基于對系統(tǒng)非線性力學(xué)的深入研究，Starosvetsky 等人[15-17]發(fā)現(xiàn)：NES 產(chǎn)生強調(diào)制響應(yīng)時，其振動抑制效果最出色，因此系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定性問題也開始受到關(guān)注。

某些對振動敏感的有效載荷對振動環(huán)境的要求較高，在進行整星振動試驗時，有時會發(fā)生局部振動環(huán)境不能滿足此類有效載荷要求的情況。如果妥善應(yīng)用NES 進行局部減振，則可在結(jié)構(gòu)定型后較方便地解決此類問題。上述研究已證明了NES對單個共振峰具有良好的振動抑制效果，但在航天應(yīng)用背景中，振動環(huán)境超標(biāo)現(xiàn)象有時不止出現(xiàn)在一個單一頻點附近，而是出現(xiàn)在一個相對單共振峰而言寬得多的頻帶范圍內(nèi)，這就要求減振裝置具備一定的寬頻振動抑制能力，但目前對NES 的寬頻減振能力的研究是有所欠缺的。

本文研究在正弦激勵作用下，NES 對減振對象的兩個不同共振峰能否同時實現(xiàn)良好的振動抑制效果，借此分析NES 對較寬頻帶內(nèi)的多共振峰的振動抑制能力。為達(dá)到這個目的，構(gòu)造了一個受簡諧激勵作用的三自由度系統(tǒng)，包括一個兩自由度線性主結(jié)構(gòu)和一個連接在其末端的單自由度NES。首先提出使用增量諧波平衡法計算該系統(tǒng)的平衡點（周期解），之后使用Floquet 理論對周期解的穩(wěn)定性進行判斷。通過上述解析分析揭示了該系統(tǒng)內(nèi)部存在的局部分岔現(xiàn)象，全面認(rèn)識了系統(tǒng)的力學(xué)特性。最后通過數(shù)值計算驗證了解析分析的結(jié)果。

1 系統(tǒng)模型

為了研究NES 的寬頻振動抑制能力，首先構(gòu)造如圖1所示的系統(tǒng)（設(shè)為S），圖中左側(cè)兩個方形質(zhì)量塊代表主結(jié)構(gòu)的兩個自由度，主結(jié)構(gòu)具有兩階固有頻率；右側(cè)的圓形質(zhì)量塊代表單自由度NES。

圖1 耦合振子結(jié)構(gòu)圖 Fig.1 Schematic diagram of the coupled oscillators

對圖1結(jié)構(gòu)建立如下方程：

式中：m1、m2和m3分別為三部件的質(zhì)量；c1、c2和c3為線性阻尼；k1、k2為線性剛度；knl為立方剛度；f為激勵力幅值；ω為激勵圓頻率；x1、x2和x3分別代表m1、m2和m3的位移。下面分析NES能否對m1、m2的兩個不同共振峰同時實現(xiàn)良好的振動抑制效果。

2 系統(tǒng)平衡點的求解及穩(wěn)定性分析

2.1 基于增量諧波平衡法的平衡點求解

本文的研究中并不限定系統(tǒng)S 中的knl為小量，也就是說系統(tǒng)S 為三自由度強非線性系統(tǒng)。由于對NES 力學(xué)特性的研究多針對兩自由度系統(tǒng)，解析分析困難相對較小，目前分析手段集中于復(fù)變量-平均法（complexification-averaging method,CAM）和諧波平衡法。但對三自由度甚至更高自由度的強非線性系統(tǒng)來說，應(yīng)用這兩種方法簡化分析模型不僅十分煩瑣，而且由于得不到簡單的平衡點解析表達(dá)式，也喪失了這些方法的主要優(yōu)點。

增量諧波平衡（incremental harmonic balance method,IHB）法[18]基于諧波平衡法發(fā)展而來，是一種半數(shù)值、半解析的方法，具備諧波平衡法的優(yōu)點，適用于強非線性系統(tǒng)的分析，且求解多自由度非線性系統(tǒng)時，應(yīng)用IHB 法推導(dǎo)公式更簡便。因此，本文首次采用IHB 法求解含NES 的系統(tǒng)的周期解。在求解之前，首先應(yīng)該推導(dǎo)系統(tǒng)求解方程：

對系統(tǒng)S 引入時間尺度

則系統(tǒng)S 可變換為

其中：

,,分別為系統(tǒng)的質(zhì)量陣、阻尼陣和線性剛度陣，具體為

為系統(tǒng)的立方剛度矩陣，具體形式為

定義系統(tǒng)在激勵力大小為F0，激勵頻率為ω0時的振動狀態(tài)為xi0，i=1,2,3，則其臨近狀態(tài)可以用增量形式表示為

其中Δxi、ΔF和Δω表示微小增量。將式(7)代入式(3)，忽略高階小量，可得關(guān)于Δx的線性微分方程組

其中：

方程(3)內(nèi)含有立方剛度，假設(shè)其穩(wěn)態(tài)周期解為

其中：

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期解可以表示為

其中：

將式(12)代入式(8)，并應(yīng)用伽遼金平均過程，則有

其中：

應(yīng)用牛頓迭代法，可對以上方程進行求解。

2.2 平衡點的穩(wěn)定性判定

2.1 節(jié)對系統(tǒng)S 的平衡點建立了求解方程，本節(jié)進一步判定平衡點的穩(wěn)定性。

由于式(3)在其周期解附近線性化后成為線性時變周期系統(tǒng)，因此在后面的分析中，本文采用Floquet 理論判斷周期解的穩(wěn)定性，求解過程如下。

將式(3)在周期解附近線性化，得到：

其中：

設(shè)X(τ1)為方程(16)的基礎(chǔ)解矩陣，則由解的周期性易知X(τ1+2π)也為方程的基礎(chǔ)解矩陣。對于這2 個基礎(chǔ)解矩陣，一定存在非退化矩陣G，使得

其中G稱為Floquet 轉(zhuǎn)移矩陣或單值矩陣。當(dāng)G的所有特征值的模小于1 時，則系統(tǒng)的周期解漸近穩(wěn)定；當(dāng)G的所有特征值的模小于等于1，且模等于1 的特征值只有一次初等因子時，則系統(tǒng)的解穩(wěn)定；當(dāng)G至少有1 個模大于1 的特征值或至少有1 個模等于1 的特征值有非一次初等因子時，則系統(tǒng)的解不穩(wěn)定。單值矩陣G的求解方法如下：

設(shè)X含有n個元素，G可采用如下積分求得

其中：y含有n2個元素；H為n2×n2的方陣，且

積分初值為

將式(21)從0 積分至2 后，則y(2π)的前n個元素即為G的第1 列，n+1 到2n個元素為G的第2 列，依次類推。

3 結(jié)果和討論

3.1 分析結(jié)果及討論

本節(jié)對系統(tǒng)S 進行求解和分析，并用數(shù)值解法對解析求解結(jié)果進行驗證，所有計算在MATLAB軟件環(huán)境下完成編程。系統(tǒng)參數(shù)取m3=0.14,k1=1.5,k2=1.2,c1=0,c2=0.005,c3=0.005,f=0.05,m1=1,m2=1.2,knl=0.2。

圖2為由IHB 法計算得到的系統(tǒng)S 中三振子的頻率和響應(yīng)圖，A1、A2和A3分別表示x10、x20和x30周期解的幅值，仿真忽略高次諧波，即有圖2中用實線表示 經(jīng)Floquet 理論判斷為穩(wěn)定的周期解，虛線表示不穩(wěn)定周期解，用小圓圈表示四階龍格-庫塔法對穩(wěn)定周期解進行的數(shù)值驗證，數(shù)值分析時積分初始值均為0。由圖2可見，用小圓圈表示的結(jié)果全部分布在IHB 法計算得到的穩(wěn)定解分支上，即數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果吻合。圖3為無NES 連接時兩振子的幅值曲線，用來比較說明NES 的減振能力。為了最大限度地排除阻尼對振動的抑制作用，對主結(jié)構(gòu)第一個質(zhì)量塊采取極端的無阻尼假設(shè)，即令c1=0。

圖2 三個振子的幅值-頻率曲線 Fig.2 Amplitude-frequency curves of the three oscillators

圖3 無NES 時兩振子的振動峰值 Fig.3 Amplitude of the two oscillators without NES

由圖2(a)可見，A1在ω=0.648 時的一組周期解分支上有最大值10.5，雖然此時響應(yīng)幅值較大，但與圖3(a)中A1的峰值相比，該不穩(wěn)定解分支的最大值也小于無NES 時的系統(tǒng)響應(yīng)幅值（16.7），說明在該組NES 設(shè)計參數(shù)取值下，即使在最壞情況下，NES 也不會起到放大振動的作用。

另外由圖2(a)～圖2(c)可見，該系統(tǒng)存在兩種局部分岔現(xiàn)象。其中，隨ω變化，虛線與實線的交接點為Hopf 分岔點，當(dāng)激勵頻率穿越該點時，周期解的穩(wěn)定性發(fā)生改變；圖中同一個ω值對應(yīng)多個振動幅值的現(xiàn)象說明系統(tǒng)存在鞍結(jié)分岔，在鞍結(jié)分岔區(qū)域，由于存在2～3 個解，系統(tǒng)隨初始狀態(tài)（振子的初始位移、速度或加速度）的不同，對應(yīng)的周期解的幅值、穩(wěn)定性都可能發(fā)生變化，NES的振動抑制效果也會隨初始狀態(tài)的變化而不同。

在上述參數(shù)取值下，在ω=0.648 時，由四階龍格-庫塔法求解得到三振子的位移時程圖，見圖4。

圖4(a)中系統(tǒng)各初值均設(shè)為0，此時為調(diào)制響應(yīng)，響應(yīng)在幅值較小的不穩(wěn)定周期解附近擺動。圖4(b)中積分初值為[x0,] =[1 0,0,20,0,20,0]，此時 初值取在幅值較大的周期解附近，可見系統(tǒng)振幅較大，響應(yīng)落在上部周期解分支附近，與圖3比較可見，此時對峰值的削減略超過30%，遠(yuǎn)不如圖4(a)中的振動抑制效果。但由于底部周期解分支的存在，一般需要系統(tǒng)具有較大初始能量，響應(yīng)才會跳躍至上部周期解附近，而這種強擾動在實際工程情況中出現(xiàn)的概率較小。因此，一般情況下，主結(jié)構(gòu) 的振動幅值應(yīng)在底部解分支所確定的幅值附近。同時，圖4說明，在ω=0.648 時，隨初始條件的不同，系統(tǒng)確實存在2 個不同的周期解，證實了系統(tǒng)內(nèi)鞍結(jié)分岔的存在。這種力學(xué)特性使得僅靠數(shù)值計算難以得到系統(tǒng)S 的全部解，必須應(yīng)用解析方法得到系統(tǒng)的全部解分支，才能對NES 的減振效果有全面的認(rèn)識。因此應(yīng)用NES 進行航天器局部振動抑制時，必須注意分岔區(qū)域的解分支分布。

3.2 與無減振裝置情況的比較

經(jīng)過3.1 節(jié)的分析，對系統(tǒng)S 的周期解及其穩(wěn)定性已經(jīng)有了全面的認(rèn)識，解析結(jié)果說明系統(tǒng)內(nèi)不存在振動放大現(xiàn)象，系統(tǒng)在一階模態(tài)附近存在鞍結(jié)分岔和Hopf 分岔，在二階模態(tài)附近的力學(xué)特性則相對簡單。下面基于前面的分析結(jié)果，使用四階龍格-庫塔法計算系統(tǒng)在積分初值為0 時的響應(yīng)，并與無附加NES 的系統(tǒng)進行響應(yīng)能量的比較，以了解NES 的減振能力。

圖5給出了上述兩自由度線性主結(jié)構(gòu)在無NES 連接時，在與3.1 節(jié)分析中同樣激勵條件下的振動響應(yīng)能量曲線。圖6為連接NES 后兩自由度結(jié)構(gòu)的振動能量圖，NES 的質(zhì)量為減振對象質(zhì)量的14%。在ω=0.643 附近，周期解受鞍結(jié)分岔影響跳躍到了較高的解分支附近，造成了一個局部峰值；但與圖5中無NES 的情況相比，NES 仍使第一個振子的2 個振動能量峰值分別降低76%和75%；第二個振子的2 個振動能量峰值分別降低了25%和94%。

圖5 兩自由度結(jié)構(gòu)（減振對象）在簡諧激勵下的 振動能量圖 Fig.5 Vibration energy of the two-DOF main structure (which structure for vibration suppression)under harmonic force

另外，本文未進行NES 振動抑制效果最優(yōu)化的研究，而通過調(diào)節(jié)NES 參數(shù)還可以取得更好的振動抑制效果。圖7中NES 的質(zhì)量為減振對象質(zhì)量的22%。通過圖7與圖5比較可知：NES 使第一個振子的 2 個振動峰值分別降低 99.95%和68.8%；第二個振子的2 個振動峰值分別降低了99.9%和92.5%?？梢?，NES 可同時對2 個振子的2 個共振峰起到良好的振動抑制作用。

圖6 連接NES 后兩自由度結(jié)構(gòu)的振動能量圖 Fig.6 Vibration energy of the two-DOF main structure with an NES attached

圖7 連接NES 后兩自由度結(jié)構(gòu)的振動能量圖 Fig.7 Vibration energy of the two-DOF main structure with an NES attached

需要說明的是，本文專注于揭示NES 的力學(xué)特性，并給出NES 用于減振時的一般性分析與設(shè)計方法，未針對某一特定問題。因此，仿真中所有參數(shù)均采用了無量綱量，但這并不與工程脫節(jié)，在本文研究基礎(chǔ)上可進一步拓展至工程實際。例如：取m1=10 kg,m2=12 kg，NES 的質(zhì)量m3=1.4 kg,k1=15 000 N/m,c3=0.5 N/(m/s),k2=12 000 N/m,c2=0.5 N/(m/s),f=500 N。再將時間尺度縮小100 倍（τ=100t,dx/dτ=dx/100dt）即可換算得到與圖2仿真中相同的參數(shù)。相對的，圖7中2 個受到抑制的振動峰值對應(yīng)的圓頻率分別約為68 和180 rad/s。NES 作為一種被動的振動抑制手段，具有不需要額外能源，魯棒性、可靠性高，簡單易用等特點，在航天器局部多共振峰的抑制方面具有良好的應(yīng)用前景。

4 結(jié)束語

本文對非線性能量阱連接一個兩自由度線性主結(jié)構(gòu)的對象進行了研究，首次使用IHB 法求解了系統(tǒng)的周期響應(yīng)，并用Floquet 理論判斷了響應(yīng)的穩(wěn)定性。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中存在分岔現(xiàn)象，進一步分析了該現(xiàn)象對NES 的設(shè)計和使用可能造成的影響，指出在NES 設(shè)計時有必要考慮分岔問題。分析結(jié)果表明，單自由度NES 具有良好的寬頻振動抑制能力，使第一個振子的2 個振動峰值分別降低了99.95%和68.8%；第二個振子的2 個振動峰值分別降低了99.9%和92.5%。NES 在航天器局部振動抑制、星上敏感單機振動抑制等方面具有良好的應(yīng)用前景。

（References）

[1] Roberson R.Synthesis of a nonlinear dynamic vibration absorber[J].Journal of the Franklin Institute,1952,254(5): 205-220

[2] Kopidakis G,Aubry S,Tsironis G P.Targeted energy transfer through discrete breathers in nonlinear systems[J].Physical Review Letters,2001,87: 165501

[3] Starosvetsky Y,Gendelman O.Attractors of harmonically forced linear oscillator with attached nonlinear energy sink II: optimization of a nonlinear vibration absorber[J].Nonlinear Dynamics,2008,51(1/2): 47-57

[4] Gendelman O,Manevitch L,Vakakis A,et al.Energy pumping in coupled mechanical oscillators: Part I: dynamics of the underlying Hamiltonian systems[J].Journal of Applied Mechanics,2001,68(1): 34-41

[5] Vakakis A,Gendelman O.Energy pumping in coupled mechanical oscillators: Part II: resonance capture[J].Journal of Applied Mechanics,2001,68(1): 42-48

[6] Lee Y,Kerschen G,Vakakis A,et al.Complicated dynamics of a linear oscillator with a light,essentially nonlinear attachment[J].Physica D,2005,204(1/2): 41-69

[7] Kerschen G,Lee Y,Vakakis A,et al.Irreversible passive energy transfer in coupled oscillators with essential nonlinearity[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,2006,66(2): 648-679

[8] Quinn D D,Gendelman O,Kerschen G,et al.Efficiency of targeted energy transfers in coupled nonlinear oscillators associated with 1:1 resonance captures: Part I[J].Journal of Sound and Vibration,2008,311(3/4/5): 1228-1248

[9] Manevitch L I,Kovaleva A S,Manevitch E L,et al.Limiting phase trajectories and non-stationary resonance oscillations of the Duffing oscillator: Part 1: a non- dissipative oscillator[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2011,16: 1089-1097

[10] Manevitch L I,Kovaleva A S,Manevitch E L,et al.Limiting phase trajectories and nonstationary resonance oscillations of the Duffing oscillator: Part 2: a dissipative oscillator[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2011,16: 1098-1105

[11] Kerschen G,Gendelman O,Vakakis A,et al.Impulsive periodic and quasi-periodic orbits of coupled oscillators with essential stiffness nonlinearity[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2008,13(5): 959-978

[12] Sapsis T P,Vakakis A,Gendelman O,et al.Efficiency of targeted energy transfers in coupled nonlinear oscillators associated with 1:1 resonance captures: Part II: analytical study[J].Journal of Sound and Vibration,2009,325(1/2): 297-320

[13] Gendelman O,Gourdon E,Lamarque C H.Quasiperiodic energy pumping in coupled oscillators under periodic forcing[J].Journal of Sound and Vibration,2006,294(4/5): 651-662

[14] Starosvetsky Y,Gendelman O.Quasi-Periodic response regimes of linear oscillator coupled to nonlinear energy sink under periodic forcing[J].Journal of Applied Mechanics,2007,74(2): 325-332

[15] Starosvetsky Y,Gendelman O.Attractors of harmonically forced linear oscillator with attached nonlinear energy sink I: description of response regimes[J].Nonlinear Dynamics,2008,51(1/2): 31-46

[16] Starosvetsky Y,Gendelman O.Response regimes of linear oscillator coupled to nonlinear energy sink with harmonic forcing and frequency detuning[J].Journal of Sound and Vibration,2008,315(3): 746-765

[17] Starosvetsky Y,Gendelman O.Bifurcations of attractors in forced system with nonlinear energy sink: the effect of mass asymmetry[J].Nonlinear Dynamics,2010,59(4): 711-731

[18] 陳樹輝.強非線性振動系統(tǒng)的定量分析方法[M].北京: 科學(xué)出版社,2006