羅見今

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院，呼和浩特010022）

初等數(shù)論在歷史年代學(xué)中的應(yīng)用

羅見今

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院，呼和浩特010022）

應(yīng)用初等數(shù)論中的同余式、連分?jǐn)?shù)、漸近分?jǐn)?shù)、不定方程等工具，分析考古年代學(xué)提出的若干問題，以敦煌漢簡(jiǎn)、居延漢簡(jiǎn)、《史記》等出土文物和史料為證據(jù)，將《二十史朔閏表》、《三千五百年歷日天象》的記錄視為大時(shí)段日月運(yùn)行的數(shù)據(jù)庫，證明或論述中國歷法的五個(gè)周期性質(zhì)，從而闡明應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)行年代考釋的基本原理和方法。

初等數(shù)論；漢代簡(jiǎn)牘；朔閏表；歷法的周期性質(zhì)；考古年代學(xué)

一、研究的背景和問題的提出

當(dāng)人們研究一個(gè)歷史問題或遇到一件出土文物的時(shí)候，首先須回答：它是什么朝代、什么時(shí)期的？有時(shí)還須進(jìn)而了解：它是哪一年、哪一月的？這就是史學(xué)中的斷代問題，在整個(gè)歷史科學(xué)、特別是考古學(xué)中占有重要的地位。歷史、考古、文物工作者在長(zhǎng)期的實(shí)踐和研究工作中具有豐富的經(jīng)驗(yàn)，形成了年代學(xué)的基本理論，對(duì)大量年代學(xué)實(shí)際問題作出了科學(xué)而準(zhǔn)確的判斷。人們現(xiàn)在所知關(guān)于歷史上的一切，幾乎都建立在年代學(xué)的框架之中。這個(gè)基本框架經(jīng)歷了千千萬萬史實(shí)的驗(yàn)證，是不可動(dòng)搖的。

然而人們也不能忘記，史學(xué)家們所面對(duì)的是五千年悠久的歷史。由于自然和人的作用，關(guān)于古代紀(jì)年的信息所存無幾；隨著時(shí)間的流逝，“過去”離我們愈加遙遠(yuǎn)、變得模糊不清。大量的問題不是“拂去塵封”就可以探知其真的。歷史是復(fù)雜的，它充滿了矛盾。人們有理由懷疑史書中個(gè)別年月日的記錄，因它是否后來所修，或有改寫的動(dòng)機(jī)；也可以指謫歷譜中的錯(cuò)誤，認(rèn)為它主要靠推算而得，不見得是當(dāng)時(shí)的應(yīng)用歷譜；或者把希望寄托在出土的文物之上：它的年號(hào)、月朔記錄應(yīng)當(dāng)是真實(shí)的。然而，出土文物的記錄也可能出現(xiàn)牴牾，例如：1930年在今內(nèi)蒙古西部出土的“居延漢簡(jiǎn)”中有一枝（編號(hào)137·3，224·18）為：［1］

建平五年（前2）十二月丙寅朔乙亥誠北候長(zhǎng)□充□言之官下詒詣（符號(hào)“□”表示原來木簡(jiǎn)上的字難以辨認(rèn)，“”表示以下部分?jǐn)嗳?。下略）?/p>

但是另有一枝（編號(hào)495·12A，506·20A）卻是：［2］

兩簡(jiǎn)同是同年十二月，但朔日（初一日）的干支卻相差25天！究竟哪一枝記錄可信呢？如果查一查史學(xué)界通用的、陳垣先生編《二十史朔閏表》，［3］得知建平五年（即元壽元年）十二月乙未朔，與兩簡(jiǎn)所記又不相同！如果你繼續(xù)去查宋人劉羲叟的《長(zhǎng)歷》、清人汪曰楨的《歷代長(zhǎng)木輯要》［4］以及《漢書》［5］（第3冊(cè)848頁記，該年十二月有庚子日），你會(huì)得出互相矛盾的結(jié)論而莫知所從。

當(dāng)然，這個(gè)例子較典型但并不普遍。由于分治、戰(zhàn)亂、改歷等因素的影響，有些歷史階段會(huì)出現(xiàn)各地使用歷譜不完全一致的情況；而竹木簡(jiǎn)的記載也可能有筆誤、釋文錯(cuò)誤等問題。絕大多數(shù)歷史記載、歷譜、文物的時(shí)間記錄基本是真實(shí)的，但又不是絕對(duì)正確的，需要進(jìn)行具體的分析。

另一方面，史學(xué)家對(duì)同一歷史事件年代的判斷可以出現(xiàn)重大分歧。最著名的一例是武王伐紂之年代，從西漢末的劉歆開始，到1997年為止，至少發(fā)表了106種論著，提出了多達(dá)44種不同的伐紂之年，其上下限為前1130年到前1018年。［6］如果史學(xué)家都爭(zhēng)論不已，一般人更是莫所適從了。所以國家撥巨款，從事“斷代工程”的年代學(xué)研究，以確定夏、商、周的年代。其成果當(dāng)然對(duì)于中國歷史具有重要意義。

事實(shí)上，除了這類重大的課題之外，應(yīng)用傳統(tǒng)的史學(xué)方法對(duì)于判定某些文物的年代、推算某些年代的歷譜等也可能出現(xiàn)錯(cuò)誤。雖然無關(guān)重大歷史事件，但有悖于歷史的真實(shí)，也應(yīng)當(dāng)予以糾正。在下文中將舉出具體例子說明。更多的情況是傳統(tǒng)的方法無法對(duì)文物精確斷代，只好劃出一個(gè)大致的時(shí)代上下限，使之處于模糊的狀態(tài)。

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，天文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等方法開始在年代學(xué)領(lǐng)域中取得巨大成果，成為斷代的有力工具。用天文學(xué)方法進(jìn)行考古卓有成效，備受中外科學(xué)家的重視，已形成了“考古天文學(xué)”的分支。利用測(cè)定文物放射性的方法確定年代日臻完善，例如1947年利比創(chuàng)放射性同位素C14法測(cè)定年代已被大量使用。還有利用紅外線、電腦圖象識(shí)別等方法。其中，根據(jù)歷史、考古知識(shí)，利用歷法、數(shù)學(xué)方法，建立合適的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出一系列周期定理和判定定理，用來做考證年代的工具，簡(jiǎn)便、適用、精確，與傳統(tǒng)方法結(jié)合緊密，值得系統(tǒng)討論。

眾所周知，中國傳統(tǒng)歷法又稱為“干支歷”。相傳黃帝之臣大撓創(chuàng)甲子，乙丑，……癸亥，干支相配紀(jì)日、六十周而復(fù)始，是我國先人的偉大創(chuàng)造，其意義可與數(shù)字的發(fā)明相媲美。學(xué)術(shù)界一般認(rèn)為傳統(tǒng)歷法自魯隱公元年（前722）以來，干支紀(jì)日至今未間斷，將近一百萬天的連續(xù)記錄，在世界歷法史上絕無僅有，并相信這一天的到來，更多的人們會(huì)體會(huì)到它的價(jià)值。我們把干支紀(jì)日的既不重復(fù)、又不間斷的性質(zhì)稱為“連續(xù)原理”，它是進(jìn)行一切歷法、數(shù)學(xué)的計(jì)算、推理的基礎(chǔ)。

干支紀(jì)日具有獨(dú)特之處?，F(xiàn)有一例：20世紀(jì)初出土的“敦煌漢簡(jiǎn)”中有一枝歷譜簡(jiǎn)（編號(hào)97），背面記有“閏（十二）月丙申朔大”［7］。因它是散簡(jiǎn)，并不知是哪一年的。根據(jù)簡(jiǎn)正面十二個(gè)月朔的記載，確認(rèn)此閏月應(yīng)是閏十二月；經(jīng)考證知此歷譜簡(jiǎn)屬西漢宣帝神爵三年（前59）?？甲C有許多根據(jù)；但是，僅根據(jù)“閏（十二）月丙申朔大”這一信息，就可以完全確定它為神爵三年簡(jiǎn)，因?yàn)樗欠浅＊?dú)特的：在從公元前206年西漢始，至2000年的兩千二百多年中，僅有公元前59年是“閏十二月丙申朔大”。這種唯一性受到閏十二月周期性、丙申朔的周期性、大月的周期性的限定，往往被人忽視。同樣，大量無年號(hào)的朔閏干支記錄也都包含著各自的周期性和獨(dú)特性秘密，期待著人們?nèi)テ平?。相比之下，西歷如果記有“12月1日”，它可能屬于兩千多年中的任意一年，對(duì)于斷代則無所助益。由此凸顯出干支歷的特殊性，對(duì)于考釋年代，不啻為解決問題的一把鑰匙。

中國歷法原被稱為“皇歷”，因制歷權(quán)為朝廷特有，并以皇帝名義頒行天下；后來又叫“農(nóng)歷”。在民間流行稱為“陰歷”（月亮歷），其實(shí)是不對(duì)的，應(yīng)是陰陽合歷（月亮—太陽歷），因它既含月象盈虧，又合寒暑時(shí)令。它的一年有354日（也有355日），閏年384日（也有383、385日）；它的一個(gè)月大月有30日，小月29日。但實(shí)際上1回歸年有365.242 198 78日，而1朔望月有29.530 588 67日。中國歷代天文歷法家經(jīng)過千百年持續(xù)不斷的努力，精確地觀測(cè)天象，編制優(yōu)秀的歷法，使之與日月星辰的運(yùn)行盡量相合。幾千年過去了，中國歷法作為一個(gè)整體，平均每年的日數(shù)、平均每月的日數(shù)分別與回歸年、朔望月逐漸相合，本文稱其為“趨同原理”。歷法中的許多周期性質(zhì)是由日、月的周期，干支周期共同決定的，它們建立在趨同原理的基礎(chǔ)之上。

二、應(yīng)用初等數(shù)論的方法解決歷法問題

為研究干支的周期性，須了解初等數(shù)論中的同余理論。對(duì)于整數(shù)a，b及正整數(shù)m有下列關(guān)系：

a=mq1+r1（0≤r1≤m），b=mq2+r2，（0≤r2≤m）

而r1=r2；則說：a，b對(duì)于模數(shù)的m為同余，也可以說：對(duì)于模數(shù)m，a，b同余，記作a≡b(mod m)上式叫做同余式。例如，42、50被8除，得到的余數(shù)都是2，于是說：42、50對(duì)于模數(shù)8為同余，記作42≡50（mod 8）；又如-11、16被3除，得到的余數(shù)都是1，于是說-11、16對(duì)于模數(shù)3同余，記作-11≡16（mod 3）。由定義可證明a-b可被m整除。

同余有諸多性質(zhì)，包含深刻的內(nèi)容。用它研究干支，可以得到一些計(jì)數(shù)的結(jié)果。為此，先將甲子，乙丑，……，癸亥依次用01，02，…，60表示，記作A（或B，N等）每個(gè)A都由天干a（a=1，2，…，10）和地支b（b=1，2，…，12）構(gòu)成，于是有

A=a（mod 10），A=b（mod 12），A=6a-5b（mod 60）

如果從干支A（a1,b1）計(jì)數(shù)到B（a2,b2），得到N（≤60），那么N表示兩干支之間的距離，有

任意兩干支日之間有多少天？這是一個(gè)復(fù)雜的問題，計(jì)算往往出錯(cuò)。但實(shí)際問題非常之多。例如：

建武六年七月戊戌朔乙卯甲渠障候敢言府書曰吏民毋得伐樹木……（EPT22.53A）［8］

要問：乙卯是幾號(hào)？這是公元30年7月1日戊戌（5，11）到乙卯（2，4）日，上式表明可用兩種方法計(jì)算：乙卯B=52，戊戌A=35，據(jù)式可求出N=18；在不記得A，B的干支序號(hào)時(shí)，據(jù)式亦可求出N=18。

通常這種求日期算法均用歷譜或60干支表，一個(gè)個(gè)口數(shù)心計(jì)；列出算式可制程序交給計(jì)算機(jī)去完成的。

干支紀(jì)日具有順序意義、循環(huán)意義、數(shù)字意義。60甲子周期同回歸年和朔望月的日數(shù)（可以看作是無理數(shù)）不可公度，也就是不能找出三者之間都恰好合適的公倍數(shù)。在初等數(shù)論中便借助于連分?jǐn)?shù)、漸近分?jǐn)?shù)的方法來解決。

這種方法可以繼續(xù)進(jìn)行下去，得到一個(gè)層層迭迭的分?jǐn)?shù)，叫做連分?jǐn)?shù)。任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以表示成連分?jǐn)?shù)的形式。上例用一種簡(jiǎn)單的寫法可記作x=［1，1，1，1，…］。

應(yīng)用迭代法，將試值x=1代入原式，得出x=1/2；將它再代入原式右邊，得出x=2/3；循此繼進(jìn)，可求出一系列分?jǐn)?shù)：這同將試值x=1代入連分?jǐn)?shù)的第1，2，…各層后展開的結(jié)果是相同的。其實(shí)，原式本來就是方程，求出的一個(gè)根是，即黃金分割，x=0.618 033 988 7。上列分?jǐn)?shù)值逐漸向這個(gè)極限靠近，所以把它稱為漸近分?jǐn)?shù)。

我國西漢時(shí)已知求連分?jǐn)?shù)，計(jì)算歷法問題卓有成效。以下引用華羅庚［9］先生的一個(gè)例子：怎樣算農(nóng)歷的閏月？將回歸年和朔望月的日數(shù)相除：

說明一年應(yīng)有12個(gè)朔望月，另外還余0.3683個(gè)月。應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法將它展開成連分?jǐn)?shù)，得

它的漸近分?jǐn)?shù)為（用更精確的數(shù)據(jù)獲得）

這表明：兩年一閏太多，三年一閏太少；八年三閏較多，十一年四閏較少；十九年七閏較多，334年123閏略少……古人常用十九年七閏；，積17個(gè)7閏之后，在下個(gè)11年中只作4閏，就更合于日、月的運(yùn)行。以上對(duì)初等數(shù)論的同余和連分?jǐn)?shù)作了簡(jiǎn)介，對(duì)于了解以下內(nèi)容是必要的。

三、兩列漸近分?jǐn)?shù)

我國古代天文歷法可分為觀象授時(shí)時(shí)期（上古至春秋中）、歷法準(zhǔn)備時(shí)期（春秋中至戰(zhàn)國中）、歷法制定時(shí)期（戰(zhàn)國中至漢太初元年）。到《三統(tǒng)歷》臻于完備，載于《漢書·律歷志》。簡(jiǎn)言之，漢代以來歷法、史書、文物的證據(jù)較先秦為多，在年代學(xué)中應(yīng)用數(shù)字方法可以找到歷史記錄作為證據(jù)。

幾千年來中國傳統(tǒng)歷法是一個(gè)整體、一個(gè)系統(tǒng)，雖然各個(gè)時(shí)期、每種歷法都有它的特點(diǎn)，但可作為分段演繹系統(tǒng)來考察。因此，有必要將陳垣《二十史朔閏表》等看作一個(gè)數(shù)據(jù)庫、把它作為數(shù)字研究的對(duì)象，認(rèn)為歷譜中的記錄包含了日月運(yùn)行的周期性、干支紀(jì)日的周期性等多方面的信息。本文將應(yīng)用天文年歷中精確的回歸年和朔望月數(shù)值，并以出土文物（主要是簡(jiǎn)牘中的紀(jì)年）和《史記》、《漢書》等史書中的有關(guān)記載作為根據(jù)。

今記回歸年α=365.24219878，朔望月β=29. 53058867，設(shè)γ=α/β－12=0.36826678。問題是，若經(jīng)過S年使得每年所余γ月盡可能的湊足整月數(shù)t，即Sγ≈t，則稱t為閏月數(shù)（也就是閏年數(shù)）。即在S年內(nèi)應(yīng)有t個(gè)閏年。γ≈t/S，可將γ寫成連分?jǐn)?shù)，再展開為漸近分?jǐn)?shù)ti/Si。承上，利用精確的α，β值，所得結(jié)果為：

將這些理論計(jì)算的數(shù)值與朔閏表的實(shí)際結(jié)果相對(duì)照，人們會(huì)吃驚地發(fā)現(xiàn)，兩者幾乎完全吻合！翻開陳垣《二十史朔閏表》，任取相差1021年或1708年的兩年，其間的閏年數(shù)恰為376年或629年！如果不合，往往是由于數(shù)錯(cuò)造成。對(duì)于上列漸近分?jǐn)?shù)中的最后一個(gè)，問題在于2729年中是否真的有1005閏？須查張培瑜的《三千五百年歷日天象》［10］，如果從公元前721年（魯隱公元年）起算，1995年是第一個(gè)“千閏年”，2009年將迎來第1005閏，也可以看作是第六個(gè)千閏年。這充分說明我國歷代的天文歷法學(xué)家，以他們堅(jiān)持不懈的共同努力，使歷法的精度漸次密合于天象；千閏年的出現(xiàn)，是趨同原理的典型事件，具有深刻的天文—?dú)v法意義和豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。［11］

當(dāng)然，不同歷法如何置閏可以小有區(qū)別，但目的都是使所制定的歷法與太陽運(yùn)行相調(diào)，稱為調(diào)日法。同時(shí)，不同歷法又必須安排好大小月的順序和兩者間的數(shù)量比，以使歷法與月亮圓缺相諧，這里稱為諧月法。因β-29.5=0.03058867，說明大月的總數(shù)應(yīng)當(dāng)比小月多，設(shè)一個(gè)階段（比如q年）中大月數(shù)減小月數(shù)的差為諧月數(shù)φ（整數(shù)），那么諧月法就是要解決在q年中應(yīng)加入多少個(gè)諧月的問題。

設(shè)m=30日為1諧月（它是1大月，也可能是蟬聯(lián)大月的后一個(gè)月），n=29.5日為1平月（大小月均值），ε=β－n=0.03058867日為1平月不足1朔望月之日數(shù)，δ=m－β=0.46941133日為1諧月多于1朔望月之日數(shù)。顯然ε+δ=m－n=0.5。設(shè)比值μ為每過qi年應(yīng)增添的pi個(gè)諧（大）月，可以證明（此略）：

表示成漸近分?jǐn)?shù)，即有

μ的意義不太直觀，最后一個(gè)分?jǐn)?shù)表示1089年中應(yīng)有824個(gè)諧月，從月朔表中我們同樣獲得了有力的證據(jù)（關(guān)鍵是按定義計(jì)算諧月數(shù)要準(zhǔn)確）。應(yīng)用這列分?jǐn)?shù)，可求出任一時(shí)段q內(nèi)諧大月數(shù)p，q大則精確。以《三統(tǒng)歷》（前104到公元85）行用的189年為例。從上列分?jǐn)?shù)中選出28/37和3/4，存在以下等式表明在5個(gè)37年中增添5次28個(gè)諧大月之后，所余4年應(yīng)加入3個(gè)諧月（此時(shí)與的相對(duì)誤差約十萬分之六）。因此p=143對(duì)q=189是最佳的選擇。而《三統(tǒng)歷》的實(shí)際情況p值偏小，我們統(tǒng)計(jì)（從公元前104年的正月起算）為142諧月。這樣，就可以從一個(gè)方面對(duì)歷法精度作出估計(jì)。

類似地，可將此法應(yīng)用到歷法研究的更多方面，還可用以分析木星（歲星）、金、火、水、土五星的運(yùn)行，對(duì)于深入認(rèn)識(shí)天文歷法，不失為一種有效的工具。歷法中常見的周期性質(zhì)也可以用連分?jǐn)?shù)、漸近分?jǐn)?shù)的方法來證明。

人們有理由關(guān)注歷譜中不同性質(zhì)的干支出現(xiàn)的周期性，這些問題有：1.任一朔干支重現(xiàn)周期，2.任一月朔干支重現(xiàn)周期，3.任一閏月朔重現(xiàn)周期，4.某一年朔序（定義見下）重現(xiàn)周期，5.任一八節(jié)（定義見下）干支重現(xiàn)周期，等。以往的研究已經(jīng)提到“農(nóng)歷的年、月也有周期性?！讶崭芍У闹芷诤娃r(nóng)歷年月聯(lián)系起來看，卻找不到一個(gè)整數(shù)的公共周期。我們從實(shí)踐中，找到了大體上五年和三十一年的兩個(gè)周期?！保?3］這個(gè)結(jié)論不夠清晰、準(zhǔn)確，也需要進(jìn)行論證，但它指出了周期性的存在。

以下列出上述五個(gè)周期的性質(zhì)定理，有的給出簡(jiǎn)要論證，有的列舉它在考古年代學(xué)中的應(yīng)用。

四、干支歷特有的與月朔、閏月朔相關(guān)的三個(gè)周期性質(zhì)

性質(zhì)一、任一朔干支會(huì)在61、63或65個(gè)月后重現(xiàn)。

設(shè)A為某月朔干支，在經(jīng)歷了p個(gè)大月和q個(gè)小月后重現(xiàn)（p，q＞0）。30p+29q一定能被60整除，即p，q的最小值應(yīng)當(dāng)滿足同余式30p≡-29q（mod 60）因29為素?cái)?shù)，必有q=30；此時(shí)p為奇數(shù)，且q≠2k·30（k=1，2，…），故只取q=30。因大月數(shù)p＞q，故可取p=31，33，35，…由歷法知在連續(xù)60多個(gè)月中如果小月僅有30個(gè)，則大月不會(huì)有37個(gè)。否則誤差就太大了。故p=31，33，35。由此性質(zhì)一得證。

31×30+30×29=1800日=30甲子周；33× 30+30×29=1860日=31甲子；35×30+30× 29=1920日=32甲子。

例如：公元前105年12月甲午朔歷61個(gè)月后到前100年12月甲午朔共經(jīng)1800日；從1991年正月丙辰朔到1995年12月丙辰朔共歷61個(gè)月。常見的是中間經(jīng)過63或65個(gè)月。上文所說“大體上五年”的周期應(yīng)被性質(zhì)一取代，它是進(jìn)一步推理的基礎(chǔ)。

性質(zhì)二、任一同月同朔干支可能在26、31或36年后重現(xiàn)?？珊?jiǎn)記為31n或31n±5年（n=1，2，…）。

設(shè)a年u月（這里暫不考慮閏月）w朔，經(jīng)s年后為b年u月w朔，求最小s之值。顯然s=b－a為正整數(shù)。如果s年中含d個(gè)月，則據(jù)性質(zhì)一，當(dāng)x, y,z為非負(fù)整數(shù)時(shí)，應(yīng)有65x+63y+61z=d；另一方面，設(shè)s年中閏t個(gè)月，則共有的月數(shù)d=12s+t，同時(shí)滿足d=平月數(shù)+諧月數(shù)?？蓪⒉欢ǚ匠毯?jiǎn)化，利用歷法中的條件淘汰不合用的解（過程較繁，從略），得出三個(gè)d值：

d1=321月=12×26+9閏=300平月+21諧月=9480日=158甲子周

d2=384月=12×31+12閏=360平月+24諧月=11340日=189甲子周

d3=445月=12×36+13閏=420平月+25諧月=13140日=219甲子周

統(tǒng)觀幾千年歷譜s1=26年和s3=36年很少出現(xiàn)。例如漢宣帝神爵二年（前60）正月丁未朔，經(jīng)26年后到漢元帝建昭五年（前34）正月丁未朔；又如漢章帝建初五年（80）正月辛亥朔，經(jīng)36年到漢安帝元初三年（116）正月辛亥朔等。較多出現(xiàn)的是31n年（n=1，2，…）的周期，對(duì)31年=384月而言，實(shí)際上由一組解確定，由性質(zhì)一來看，由4次65個(gè)月、1次63個(gè)月和1次61個(gè)月堆疊而成；這31年同時(shí)滿足閏12次、包含24個(gè)諧大月，用前文所述兩列漸近分?jǐn)?shù)可解釋為：

性質(zhì)二對(duì)于考證年代十分有用。在許多出土文物例如簡(jiǎn)牘中，大部分未記年號(hào)，有一類僅記有月份和該月朔干支（或其月朔干支可以推算出來），叫做“月朔簡(jiǎn)”［14］，例如居延漢簡(jiǎn)“六月癸巳朔”（148.37號(hào)），“五月廿八日戊戌”等，它們的年代大部分可以準(zhǔn)確推出［15］。這是因?yàn)閷?duì)居延發(fā)掘地各探方伴出紀(jì)年簡(jiǎn)上下時(shí)限進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其平均值約為18年；而性質(zhì)二能夠保證在31年（2，36年）內(nèi)同月同朔紀(jì)錄只有一個(gè)，這對(duì)考古工作實(shí)在太有用了，結(jié)合出土信息和簡(jiǎn)上內(nèi)容。所定年代能經(jīng)得起多種考驗(yàn)。在敦煌發(fā)掘地的情況也類似。事實(shí)上性質(zhì)二對(duì)干支歷都是適用的，因此對(duì)各歷史時(shí)期的文物年代鑒定能發(fā)揮它的作用。

性質(zhì)三、閏月同朔干支經(jīng)常在51、52或57年后重現(xiàn)。

設(shè)A年閏u月w朔，經(jīng)s年后為B年閏v月w朔，求常見的最小s之值。如果s年中含d個(gè)月，則據(jù)性質(zhì)一，當(dāng)x，y，z為非負(fù)整數(shù)時(shí)，應(yīng)有65x+ 63y+61z=d另外，設(shè)s年中閏t個(gè)月，則共有的月數(shù)d=12s+t－u+v，同時(shí)滿足d=平月數(shù)+諧月數(shù)。

這些都是必要條件。閏月朔的條件較復(fù)雜，用演繹的方法去求s會(huì)遇到很大困難，所以可用歸納的方法，對(duì)朔閏表中作為閏月朔的60干支分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。我們選取從公元前206年（西漢高祖元年）到公元815年（唐憲宗十年）共1021年，其間恰有376閏（與前列漸近分?jǐn)?shù)376/1021相合，說明滿足趨同原理）。性質(zhì)三是統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，它滿足已列出的必要條件，討論如下。

d1=638月，表現(xiàn)為51或52年。在不定方程中x=7，y=0，z=3。51或52年中必有19閏，因

故對(duì)51年，d1=638=51×12+19－u+v，即vu=7。說明凡過51年出現(xiàn)同朔之閏月，相差月數(shù)為7。對(duì)52年，d2=638=52×12+19－u+v，即v－u=5。說明凡過52年出現(xiàn)同朔之閏月，相差月數(shù)為5。

在51或52年中應(yīng)有38個(gè)諧月，這時(shí)d1=638月=600平月+38諧月=18840日=314甲子周。

另一結(jié)果是d2=705月=57年。在不定方程中x=8，y=1，z=2。因19×3=57故必有7×3=21閏，有

d2=57×12+21－u+v=705，即v=u。說明凡過57年出現(xiàn)同朔之閏月，其閏月數(shù)應(yīng)相等。因此這是同月同朔干支的周期問題，它同時(shí)滿足性質(zhì)一和性質(zhì)二。事實(shí)上57年=26年+31年=321月+384月 =705月，是將兩者堆疊而成的。

在57年中應(yīng)有45諧月，這時(shí)d2=705月=660平月+45諧月=20820日=347甲子周。

以下舉出3例：

晉武帝末年太熙元年（290）閏五月己丑朔，經(jīng)51年至?xí)x成帝咸康七年（341）閏十二月己丑朔，歷638月，兩閏月份相差為7個(gè)月；

唐玄宗天寶十三年（754）閏十一月壬戌朔，經(jīng)52年至唐憲宗元和元年（806）閏六月壬戌朔，歷638月，兩閏月份相差為5個(gè)月；

漢宣帝地節(jié)元年（前69）閏正月己巳朔，經(jīng)57年至漢成帝延元年（前12）閏正月己巳朔，歷705月，兩閏月月份相同。

當(dāng)然，對(duì)于歷法系統(tǒng)而言，由于幾千年中存在的非歷法因素的影響，使得有些性質(zhì)會(huì)有例外。例如王莽建新朝（公元8），下令將當(dāng)年十二月改為正月，第二年正月改為二月，等，直到莽亡（公元23）。所以在此期間的閏月數(shù)要比正常的多1。如莽歷閏五月實(shí)際是閏四月。

在所考察的1021年中包括性質(zhì)三在內(nèi)全部閏月同朔干支相距的年代d均滿足57x+52y+51z=d，其中x，y，z為整數(shù)，意即d是57，52和51的線性組合，我們已找出考察區(qū)間內(nèi)的全部d值，并求出每個(gè)d的（x，y，z）值。這里省略。

例如前文所提到的漢宣帝神爵三年（前59）閏十二月丙申朔，要經(jīng)過d=533年后，在元徽三年（475）閏三月才出現(xiàn)第二次丙申朔，整個(gè)102年中閏月丙申朔才有三次，是閏十二月的只有一次。所以在2200多年中“閏十二月丙申朔”具有唯一性是不奇怪的了。d=533可分解為x=3，y=5，z=2。這種情況并非個(gè)別，例如漢成帝永始二年（前15）閏五月甲寅朔，要經(jīng)過d=635年后，在唐高祖武德四年（621）閏十月才出現(xiàn)第二次甲寅朔，整個(gè)1021年中閏月甲寅朔共有兩次?？梢娭袊鴼v法朔閏干支紀(jì)日法具有相當(dāng)?shù)奶厥庑?，以前沒有被揭示過。這里d=635年可分解為x=3，y=5，z=4。

比57，52和51年小的d值有46年和47年，46年可分解為x=-1，y=1，z=1；47年為x=-1，y=2，z=0。它們出現(xiàn)的次數(shù)僅占全部d值出現(xiàn)總數(shù)的2.2％。

對(duì)公元前后的年數(shù)相加時(shí)，因無公元零年，故須將公元前年數(shù)絕對(duì)值減1后再與公元年數(shù)相加。

置閏在制歷中占有重要地位。太初元年（前104）之前，漢承秦制，以十月為一年之始，而將所有閏月排在歲尾，稱之謂“后九月”。以后歷法進(jìn)步，按“無中（氣）置閏法”（不詳論），要據(jù)當(dāng)時(shí)觀測(cè)、計(jì)算的結(jié)果來確定哪個(gè)月為閏月，后人所推出的歷譜就出現(xiàn)了不同的結(jié)果，如陳垣《二十史朔閏表》與劉曦叟的《長(zhǎng)歷》就有諸多閏月記載不合；另外出土文物的記錄又出現(xiàn)于歷譜不合的情況，成為年代學(xué)研究中較突出的一個(gè)問題。所以有必要對(duì)閏月朔干支的周期性花費(fèi)較多篇幅進(jìn)行研究。上述必要條件還不是充分的，要作出置閏確否的判斷需要用綜合的方法，特別是要注重出土文物和史書的記載。

例如諸歷表均記神爵元年（前61）閏四月壬午（19）朔。但以下證據(jù)證明此年應(yīng)閏三月壬子49朔：

①“神爵元年四月壬午朔己酉46佐解事敢言□”（居延漢簡(jiǎn)109.7號(hào)）。按照當(dāng)時(shí)記錄閏月的習(xí)慣，只寫“閏月”，不寫“閏幾月”。故此簡(jiǎn)壬午決非閏月朔，它表明應(yīng)是閏三月壬子朔。

②陳夢(mèng)家先生說：“居延漢簡(jiǎn)10.27，5.10，332.26，10.33，10.30，10.32，10.29，10.31等八簡(jiǎn)是相聯(lián)的一冊(cè)，記神爵元年二月至五月詔書之下達(dá)，其閏月丁巳54、庚申57皆屬于閏三月壬子49朔”。［18］

③“四月廿九日庚戌47寢兵五月大辛亥48一日壬子49夏至”（下略，居延漢簡(jiǎn)179.10號(hào)）。此簡(jiǎn)可據(jù)“五月大辛亥一日（朔）”按性質(zhì)二參照伴出紀(jì)年簡(jiǎn)的上下時(shí)限考為神爵元年，也可據(jù)“壬子夏至”周期性得出相同的結(jié)論。它表明非閏四月。

④《漢書·王子候表第三》載：“新利候偃膠東戴王子神爵元年四月癸巳30封”（《漢書》2冊(cè)493頁），表明該年非閏四月。

⑤應(yīng)用數(shù)字方法，從集合論的角度看，用“相連兩歷法月同屬奇（或偶）集其間必有閏月”的判定法則（不詳論），可確知是年閏三月。綜上，前61年當(dāng)閏三而非閏四，諸表皆誤。

作此修改之后，經(jīng)過108年，到東漢光武帝廿四年（公元48）閏十月才出現(xiàn)壬子朔，d=108分解為x=1，y=0，z=1，說明這樣的修改滿足上述必要條件，從一方面證明它的可信度。

史學(xué)中立論與駁論有嚴(yán)格要求，證“無三不立，無五不駁”，要駁倒成論須有大量可靠證據(jù)。

五、干支歷特有的年朔序與分至八節(jié)的周期性質(zhì)

性質(zhì)四、如果某兩年的年朔序相同，則這兩年相隔31n（n=3，4，6，7，10，13，14，17，20，21，24，27，…）年。其中n=4，7，10，14，較多，n=7最常見。

所謂年朔序，指一年中朔日干支序列。例如據(jù)陳垣表漢高祖元年（前206）的年朔序?yàn)椋阂颐矣霞滓咨昙滓镂垂锍笕晌缛勺有了刃梁ジ?，依次是?06年正月到十二月（此處暫不考慮十月歲首的規(guī)定）的朔日干支，將它譯為字符串，則成52 22 51 21 51 20 50 19 49 18 48 17。將全部歷譜的年朔序都譯為這樣的數(shù)串，要問哪一年將和它重復(fù)？

我們回答：過961年（=31×31，這里n=31）后，在唐玄宗末年天寶十五年（756）的年朔序和它完全相同。初看起來令人難以置信：時(shí)隔近千年，其間出現(xiàn)各種歷法30余種，而且756年是著名天文學(xué)家一行改用《大衍歷》的末年。

其實(shí)年朔序周期出現(xiàn)是較普遍的現(xiàn)象，它一直沒有引起重視。每次改歷，都要變更朔序，顯然對(duì)周期性有影響；但這種性質(zhì)突破各歷的差別，總會(huì)頑強(qiáng)地表現(xiàn)出來。不以大時(shí)段歷法的共同規(guī)律為研究對(duì)象則不能對(duì)它作出合理的解釋。本文是首次論述這些周期性質(zhì)。

根據(jù)性質(zhì)二，同月同朔干支可能會(huì)在31n或31n5年后（n=1，2，…）重現(xiàn)。年朔序相同就是要求一年各月朔干支皆同，條件更嚴(yán)，31n年成了必要但非充分的條件，進(jìn)而須對(duì)n作限定。其周期性十分復(fù)雜，可用對(duì)歷譜進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。我們選取從公元前206年到公元805年的1010年作為考察區(qū)間，從三方面進(jìn)行研究：①找出所有重復(fù)的年朔序；②對(duì)不同的再現(xiàn)周期進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)；③建立一個(gè)模型解釋統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象。

結(jié)論是：在1010年中年朔序重復(fù)者有264例，涉及36年，占35.74％；同時(shí)，共有649個(gè)年號(hào)在千年之內(nèi)保持年朔序的獨(dú)特性、唯一性，占64.26％。將年朔序相同的公元年數(shù)寫在括號(hào)內(nèi)，將重現(xiàn)周期（年數(shù)）寫在括號(hào)前，按n值從小到大排到，每個(gè)n值只舉1例，有

這個(gè)表并沒有寫完；還有個(gè)別特例。限于篇幅，不贅。

把這些n值不同的年朔序作分類統(tǒng)計(jì)，可知它們出現(xiàn)的頻數(shù)各不相同，最常見的是n=7即相隔217年，可舉出98例，占264例的37.1％，其他依次為n=4（占12.1％），n=17（占9.85％），n=10（占9.47％）和n=14（占8.71％）。如果x，y為整數(shù)，則值一般滿足3x+4y=n,|x－y|≤2。

事實(shí)上除n為幾個(gè)常見值外，其他值都是據(jù)此推算出來。例如對(duì)x=5，y=3，有n=27；帶著“可能在837年（=31×27）后年朔序重現(xiàn)”的正確信息，才能發(fā)現(xiàn)從西漢惠帝二年（前193）過837年后到唐太宗貞觀十九年（645）年朔序重復(fù)出現(xiàn)。其他如當(dāng)x=1，y=2時(shí)n=11；x=2，y=3時(shí)n=18等因出現(xiàn)頻數(shù)較小，或有其他個(gè)別例外。

中國歷史上有多少不同的年朔序？這個(gè)問題還是未知的。當(dāng)修改了某年某月朔干支，可能出現(xiàn)新的年朔序，但是獨(dú)特的年朔序占60％多，重現(xiàn)的年朔序占30％多，大體是不會(huì)改變的。了解這一基本知識(shí)可以使我們避免年代考證中的錯(cuò)誤。包括一些著名的國學(xué)大師如羅振玉（1866-1940）、王國維（1877-1927）在內(nèi)，因?yàn)楹雎粤四晁沸虻闹芷谛?，?duì)敦煌漢簡(jiǎn)中兩枚歷譜簡(jiǎn)年代的確定，均推遲了217年（=31×7），這在年代學(xué)中當(dāng)然是不能允許發(fā)生的。

第1枚簡(jiǎn)：疏勒298號(hào)［7］（斯坦因編號(hào)）釋文為：“三日戊寅戊申戊寅丁未丁丑丙午丙子乙巳乙亥甲辰甲戌癸卯”。法國漢學(xué)家沙畹（E. Chavannes，1865-1918）和羅振玉［19］均考為永興元年（153），但實(shí)際上應(yīng)是元康元年（前65）；這兩年的年朔序是相同的，相差217年。

第2枚簡(jiǎn)：疏勒697號(hào)［7］（斯坦因編號(hào)）釋文為：“九月辛丑朔大（中略）辛巳立冬十月十一日乙未”，王國維、張鳳認(rèn)為它是“建安十年（公元205）歷”，但應(yīng)當(dāng)是永始四年（前13）。［20］

在我們看來，當(dāng)n=7時(shí)31×7（-65，153），（-13，205）只是周期為217年的兩例。其實(shí)從298號(hào)“三日”簡(jiǎn)不難向前推兩天而求出“一日”簡(jiǎn)的干支序列，即年朔序。它當(dāng)然與公元153年朔序相同，但這僅是判斷年代的必要條件，其充分性并未證明，羅振玉在數(shù)學(xué)上犯了一個(gè)簡(jiǎn)單的基本錯(cuò)誤。我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，重要目的便是提交數(shù)學(xué)素養(yǎng)和邏輯思維能力。

性質(zhì)五、分至八節(jié)干支的任一個(gè)都會(huì)在23年，80年或103年重現(xiàn)。

中國傳統(tǒng)歷法是陰陽合歷?！胺种痢敝复悍?、秋分、夏至、冬至，再加上立春、立夏、立秋、立冬，謂之“八節(jié)”，這是“陽歷”即太陽歷的內(nèi)容。重現(xiàn)24節(jié)氣，努力使它平均分布在一個(gè)回歸年（日）中，即節(jié)氣的確定應(yīng)符合太陽的運(yùn)動(dòng)，這樣耕種收獲就不誤農(nóng)時(shí)。

《分至八節(jié)表》［10］（前1500—公元2050年）載有3550年的2.84萬個(gè)干支數(shù)據(jù)，平均每節(jié)的每個(gè)干支出現(xiàn)59.167次。由于規(guī)律性很明顯，不必去研究480種不同八節(jié)干支的全部，只須追蹤其中的幾個(gè)，就可以歸納出性質(zhì)五來；也不必列出所有（平均）59個(gè)年代，只須選擇其中一段，例如：

壬戌春分：-190（23）-167（80）-87（23）-64（80）17（23）40（80）120（23）143（80）223…

甲子秋分：-145（103）-42（103）62（103）62（103）165（103）268（103）371（23）394（80）474（23）497（80）577…

癸巳冬至：-145（23）-122（80）-42（23）-19（80）62（23）85（80）165（23）188（80）268…

其中負(fù)號(hào)表示公元前，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字表示括號(hào)前后兩個(gè)年代的差。其規(guī)律性一目了然。

很自然要問：為什么會(huì)出現(xiàn)性質(zhì)五的周期呢？23α=8400.5706日=140甲子周+0.5706日，8α=29219.3759日=487甲子周-0.6241日，103α=37619.9465日=627甲子周-0.0535日。

在103年中只有1小時(shí)17分4.6秒的誤差，歷法當(dāng)然要盡可能與之相合。不同歷法、出土文物等對(duì)某年八節(jié)干支的記錄也可能出現(xiàn)差別，但這不會(huì)影響性質(zhì)五的周期性。偶爾有57年的周期，因57α是347甲子周少1.1947日，誤差稍大，這就是它在歷法中較少出現(xiàn)的原因。

事實(shí)上推算出上述幾萬個(gè)八節(jié)干支并不難，難的是一旦與文物、史書記載相忤時(shí)該如何解釋。由于規(guī)律性強(qiáng)，可將歷史年代劃分成若干時(shí)段（如秦漢440年可劃成三段），選定正確的初值（如前221年的八節(jié)干支），代入統(tǒng)一的八節(jié)干支算法公式，注意每段的修正值，則可推算出其間任一年的八節(jié)干支來。

將性質(zhì)五應(yīng)用于簡(jiǎn)牘等文物的年代考釋，以上述居延漢簡(jiǎn)179.10號(hào)“壬子夏至”為例，據(jù)《分至八節(jié)表》：-164（103）-61（103）43（23）66（80）146…，只有公元前61年（神爵元年）符合此簡(jiǎn)的年代。據(jù)《史記·匈奴傳》：太初三年（前102）“使強(qiáng)弩都尉路博德筑居延澤上”；［21］而建武八年（公元32）之后該地屯戍活動(dòng)急劇減少，只出土了零星分散的紀(jì)年簡(jiǎn)，所以神爵元年前后各103年皆不可能成為此簡(jiǎn)的年代。

又如上述敦煌漢簡(jiǎn)697號(hào)“辛巳立冬”，有：-196（80）-116（23）-93（80）-13（23）11（80）91（23）114…，其中只有前13年（永始四年）符合此簡(jiǎn)的年代，較近的公元11年（始建國三年）是王莽時(shí)代，與697號(hào)其他信息不符。

六、結(jié)語

中國傳統(tǒng)歷法用干支紀(jì)年月日時(shí)，形成幾千年的歷譜，包含了每個(gè)歷法階段的豐富信息，有的屬于天文、觀測(cè)，有的屬于數(shù)學(xué)、計(jì)算，有的屬于社會(huì)、人事，成為人類珍貴的科學(xué)遺產(chǎn)；同時(shí)它又是歷史研究中必不可少的時(shí)間坐標(biāo)，熟練而正確使用歷表是最基本的要求。因此要走進(jìn)這座寶庫需要天文、歷法、數(shù)學(xué)的一些知識(shí)。

顧炎武說：“三代之上人人皆知天文”?，F(xiàn)代分工和教學(xué)的內(nèi)容使大多數(shù)人缺乏起碼的天文知識(shí)，干支歷對(duì)青年人也日漸陌生。然而，中國歷法已有幾千年歷史，凡有華人的地方，年復(fù)一年隆重慶祝傳統(tǒng)的春節(jié)、元宵、端午、中秋等節(jié)日，將世代相傳。

每當(dāng)提到天文、歷法、數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)文科的學(xué)生不免立即聯(lián)想到非常復(fù)雜的公式、微積分方法等，從而產(chǎn)生畏懼心理。當(dāng)然現(xiàn)代科學(xué)的確有許多領(lǐng)域不受專門訓(xùn)練便不能得其門徑而入；但是古人也同樣不懂這些，他們卻靠堅(jiān)持不懈觀測(cè)天象、不斷改進(jìn)算法和進(jìn)行主要是四則運(yùn)算而制定了精密的歷法，沿用幾千年，這是發(fā)人深省的。

本文所用的方法屬于初等數(shù)論的范疇，所提出的漸近分?jǐn)?shù)和性質(zhì)定理具有實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值。歷法研究一般是根據(jù)史書天文律歷志對(duì)天文常數(shù)、觀測(cè)數(shù)據(jù)和算法的記載去推算歷法，起止時(shí)間以某部歷法行用為始終，有一定局限性。本文則力圖以歷法系統(tǒng)為目標(biāo)，去尋求適合于各種歷法的共同規(guī)律；［22］由于傳統(tǒng)歷法不是一個(gè)完整的演繹系統(tǒng)，所以將歸納和演繹法相結(jié)合，研究統(tǒng)計(jì)的規(guī)律，推敲建立數(shù)學(xué)的模型，從而獲得一批周期性的結(jié)果。我們已據(jù)此研究了幾百枝簡(jiǎn)牘的年代學(xué)問題，在史學(xué)和漢學(xué)的專業(yè)刊物如《文史》、《敦煌研究》、臺(tái)灣《漢學(xué)研究》上發(fā)表，將此性質(zhì)應(yīng)用于年代考釋初見成效。在人文社會(huì)科學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法所見多有，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)向文科領(lǐng)域滲透的趨勢(shì)；而應(yīng)用初等數(shù)論研究歷史年代學(xué)，也將逐步完善，成為一種可以接受的輔助考釋方法。

［1］謝桂華,等編.居延漢簡(jiǎn)釋文合校上冊(cè)［M］.北京：文物出版社,1987：228.

［2］謝桂華,等編.居延漢簡(jiǎn)釋文合校下冊(cè)［M］.北京：文物出版社,1987：594.

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［21］司馬遷.史記·匈奴列傳［M］.北京：中華書局,1959：第9冊(cè)2916.

［22］羅見今.中國歷法的五個(gè)周期性質(zhì)及其在考古年代學(xué)中的應(yīng)用［M］//黃留珠主編.周秦漢唐文化研究：第三輯.西安：三秦出版社,2004：6-18.

（責(zé)任編輯：戢斗勇jidouyong@qq.com）

The Application of Elementary Number Theory in the Historical Chronology

LUOJian-jin
（Institute for the HistoryofScience＆amp;Technology,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022,China）

Based on some tools in elementary number theory,such as congruence,asymptotic fraction,the continued fraction Diophantine equation,etc.,this paper analyzes some questions presented in archaeological chronology.Taking Dunhuang bamboo slips,Ju Yan bamboo slips of Han Dynasty,the book“Historical Records”,unearthed relics and historical data as evidence,and the records of“Calendar of Twenty Dynasties in China”and“Calendar in Three Thousand Five Hundred Years”as a database of sun and moon movements, this paper proves and discusses five cycles properties in Chinese calendar so as to clarify the basic principles and methods of the archaeological chronology of mathematics.

Elementary number theory;bamboo slips in Han Dynasty;Chinese Historical Calendar;the cyclical theorems of Chinese calendar;archaeological chronology

K04

A

1008-018X（2015）06-0028-10

2015-09-20

羅見今（1942-），男，河南新野人，內(nèi)蒙古師范大學(xué)教授。