周安安,陳天寧,王小鵬,奚延輝

(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710049,西安)

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自仿射接觸點(diǎn)及其在分形接觸理論中的應(yīng)用

周安安,陳天寧,王小鵬,奚延輝

(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710049,西安)

為了深入研究分形方法在接觸理論中的應(yīng)用,利用數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)研究了分形粗糙表面的接觸機(jī)理,并提出了自仿射接觸點(diǎn)的概念。該概念充分利用分形函數(shù)自仿射的優(yōu)點(diǎn),改善了傳統(tǒng)分形接觸理論中微凸體不滿足分形特性的缺陷,去除了接觸理論中微凸體相互作用無法考慮等假設(shè)。將自仿射概念應(yīng)用于分形接觸理論中,建立了新的接觸模型。模型基于粗糙表面均為各向同性的無潤(rùn)滑表面且可以利用W-M函數(shù)模擬的假設(shè),利用接觸中接觸點(diǎn)最大變形量與接觸面積的關(guān)系,對(duì)分形接觸模型進(jìn)行修正,得到更符合實(shí)際情況的分形接觸理論。與經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)及分形接觸模型進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果表明:G-W模型是一個(gè)彈性模型,較少考慮塑性接觸,因此G-W模型在整體上會(huì)低估粗糙表面的接觸壓力;M-B模型利用單個(gè)余弦函數(shù)模擬微凸體,得到的最大接觸變形量偏小,且微凸體尺寸分布函數(shù)的使用也不準(zhǔn)確,M-B模型高估了接觸壓力;提出的基于自仿射接觸點(diǎn)的分形接觸模型利用自仿射接觸點(diǎn)代替微凸體進(jìn)行理論推導(dǎo),能更準(zhǔn)確地計(jì)算出接觸壓力;在相同的接觸面積下,粗糙表面分形維數(shù)越大或分形特征尺度越小,接觸壓力越小。

接觸理論;數(shù)值模擬;分形;微凸體

在過去的幾十年中,接觸機(jī)理的研究一直貫穿在各個(gè)領(lǐng)域中,如物理(包括機(jī)械、電、磁和熱等)、化學(xué)及生物研究等[1]。在此期間,很多學(xué)者提出了不同的接觸模型,文獻(xiàn)[2]創(chuàng)造性地將微凸體的高度分布與赫茲接觸理論結(jié)合,推導(dǎo)了整個(gè)粗糙表面上的彈性接觸模型(G-W模型)。此后,有很多學(xué)者基于G-W模型推導(dǎo)了一系列優(yōu)化模型[3-5],但值得注意的是,G-W模型所使用的統(tǒng)計(jì)參數(shù)如表面粗糙度等對(duì)測(cè)量?jī)x器的分辨率有很大的依賴性,所以不能對(duì)粗糙表面進(jìn)行唯一表征,導(dǎo)致接觸模型也不唯一。因此,在證明了粗糙表面在一定尺度內(nèi)滿足分形特性后[6-7],文獻(xiàn)[8]將分形理論引入接觸理論的研究中,推導(dǎo)了分形接觸理論(M-B模型)。M-B模型自從被提出后,就引起很多爭(zhēng)議,如很多學(xué)者意識(shí)到M-B模型中假設(shè)每個(gè)微凸體都完全變形是不正確的,因此文獻(xiàn)[9]改進(jìn)了M-B模型,認(rèn)為每個(gè)微凸體的變形量都可以是從0到最大變形量中的任意一個(gè)(M-E模型)。但是,M-E模型僅僅是單個(gè)微凸體的接觸模型,故文獻(xiàn)[10]利用M-E模型的方法推導(dǎo)了整個(gè)接觸表面上的接觸模型。本文研究發(fā)現(xiàn)M-B模型中還有一個(gè)嚴(yán)重的問題未被意識(shí)到:M-B模型利用著名的Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)(W-M函數(shù))模擬粗糙表面,并基于Hertz接觸理論推導(dǎo)接觸點(diǎn)上的壓力和接觸面積的關(guān)系,但卻僅僅用W-M函數(shù)中波長(zhǎng)為l的余弦函數(shù)代表微凸體,該做法與分形的理念相違背。事實(shí)上,分形粗糙表面的任意接觸點(diǎn)都應(yīng)該是自仿射的,即經(jīng)過放大后,會(huì)有更多細(xì)節(jié)被觀察到。特別地,對(duì)于由W-M函數(shù)模擬生成的粗糙表面,每個(gè)接觸點(diǎn)都應(yīng)該由多個(gè)余弦函數(shù)疊加而成。另外,在M-B模型中微凸體尺寸分布函數(shù)的使用也不準(zhǔn)確。

因此,本文采用數(shù)值實(shí)驗(yàn)的方法研究粗糙表面的接觸點(diǎn),并提出一個(gè)新的、更加準(zhǔn)確的接觸點(diǎn)的概念——自仿射接觸點(diǎn),并將其應(yīng)用到分形接觸理論中,推導(dǎo)出更符合分形定義的接觸理論。

1 數(shù)值模擬

本文的目的是通過數(shù)值仿真研究粗糙表面的分形特性,然后利用此特性修正分形接觸理論。首先采用多種不同的分形曲線驗(yàn)證經(jīng)典的Korcak經(jīng)驗(yàn)法則,然后進(jìn)一步研究粗糙接觸表面上各個(gè)接觸點(diǎn)的接觸面積與該接觸點(diǎn)最大變形量的關(guān)系。

1.1 海島面積與個(gè)數(shù)的Korcak法則驗(yàn)證

分形接觸理論的研究中廣泛地應(yīng)用了文獻(xiàn)[11]中提出的Korcak經(jīng)驗(yàn)法則,即面積大于a的島嶼的個(gè)數(shù)服從以下規(guī)律

N(A>a)=Nca-B

(1)

式中:B為和島嶼輪廓有關(guān)的參數(shù);Nc為比例系數(shù)。

Korcak經(jīng)驗(yàn)法則最早由地理學(xué)家Korcak在研究島嶼分布時(shí)提出,但限于當(dāng)時(shí)的測(cè)試水平,只有3組島嶼被用做研究,而且關(guān)系式中的指數(shù)B被認(rèn)為恒等于1/2。文獻(xiàn)[11]指出,參數(shù)B是一個(gè)和島嶼所在海岸線的輪廓有關(guān)的參數(shù),B=Dc/2,Dc是海岸線的分形維數(shù)。如果轉(zhuǎn)化為適用于粗糙表面的關(guān)系式,則Dc=D-1,D為粗糙表面的分形維數(shù)。因此,對(duì)于二維粗糙表面B的范圍為[0,1/2],而對(duì)于三維表面,B的范圍為[1/2,1]。在M-B模型中,則認(rèn)為B=D/2。從Korcak法則被提出以來,就不停有學(xué)者試圖驗(yàn)證這種關(guān)系,文獻(xiàn)[7]試圖通過實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證Korcak法則,并用來預(yù)測(cè)粗糙表面微凸體的整體分布。盡管實(shí)驗(yàn)確實(shí)證明了接觸點(diǎn)尺寸和個(gè)數(shù)符合指數(shù)關(guān)系,但并沒有證明指數(shù)B和分形維數(shù)D的關(guān)系。文獻(xiàn)[12]沒有通過驗(yàn)證,而是直接利用Korcak法則計(jì)算粗糙表面的分形維數(shù)。至今為止,Korcak法則盡管被多次使用,但尚未被人明確證明是否普遍適用于任何分形表面,或者是否適用于粗糙表面上微凸體尺寸分布的研究。因此,本文將通過大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Korcak法則及其在粗糙表面研究中的適用性。

1.1.1 模擬分形表面的點(diǎn)數(shù)對(duì)模擬結(jié)果的影響 本文選用分形維數(shù)D=1.2的粗糙表面測(cè)試數(shù)值模擬結(jié)果,模擬點(diǎn)數(shù)獨(dú)立性如圖1所示。之所以要做模擬點(diǎn)數(shù)獨(dú)立性測(cè)試,是因?yàn)楫?dāng)模擬點(diǎn)數(shù)達(dá)不到一定數(shù)量時(shí),分形表面就不會(huì)表現(xiàn)出自仿射性。換言之,當(dāng)利用電腦軟件模擬一個(gè)確定輪廓時(shí),如果使用的點(diǎn)數(shù)不夠,也就是分辨率太低的話,經(jīng)過多次放大后的輪廓,不會(huì)跟原來的相似。因此,在對(duì)Korcak法則進(jìn)行驗(yàn)證之前,有必要先研究用于分形表面模擬的點(diǎn)數(shù)對(duì)模擬結(jié)果的影響。

圖1 模擬點(diǎn)數(shù)對(duì)結(jié)果的影響

由圖1發(fā)現(xiàn),隨著模擬點(diǎn)數(shù)的增加,模擬結(jié)果逐漸趨于穩(wěn)定,當(dāng)點(diǎn)數(shù)超過70 000后,數(shù)值模擬結(jié)果基本可以認(rèn)為跟模擬點(diǎn)數(shù)的選取無關(guān)。因此,本文選取最優(yōu)化點(diǎn)數(shù)為70 000來模擬粗糙表面輪廓,圖1中的縱坐標(biāo)指數(shù)x將會(huì)在后面進(jìn)一步討論。

1.1.2 Korcak海島實(shí)驗(yàn)數(shù)值仿真 本文利用數(shù)值仿真的方法驗(yàn)證Korcak測(cè)試海島分布的實(shí)驗(yàn)。首先,用經(jīng)典的W-M函數(shù)生成海底輪廓,而海平面則用一個(gè)絕對(duì)平面代替,如圖2所示。從圖2可以看到,復(fù)雜的海底輪廓被海平面截?cái)?而截?cái)嗟拿娣e就是海島的面積。

圖2 Korcak實(shí)驗(yàn)示意圖

如同Korcak在實(shí)驗(yàn)中所做的,本文利用軟件對(duì)一定取樣長(zhǎng)度內(nèi)的島嶼個(gè)數(shù)N及島嶼直徑l進(jìn)行了記錄,即所有被海平面截?cái)嗟暮５纵喞拈L(zhǎng)度和個(gè)數(shù),結(jié)果表明:大于某一確定直徑的島嶼的個(gè)數(shù)隨此直徑的增大而減小,其在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的關(guān)系如圖3所示。

圖3 島嶼個(gè)數(shù)N與島嶼直徑l的關(guān)系

從圖3可以看出,島嶼個(gè)數(shù)N與島嶼直徑l滿足指數(shù)關(guān)系,即

N(L>l)=Ncllx

(2)

式中:Ncl為比例系數(shù)。

為了研究指數(shù)x與海底輪廓的分形維數(shù)D的關(guān)系,本文分別選取從1.2到1.8的7組不同分形維數(shù)的海底輪廓進(jìn)行Korcak海島實(shí)驗(yàn),從而得到了指數(shù)x和分形維數(shù)D的關(guān)系如圖4所示。從圖4中可以看出,指數(shù)x和分形維數(shù)D的關(guān)系可表示為

x=1-D

(3)

因此式(2)可化為

N(L>l)=Ncll1-D

(4)

為了驗(yàn)證式(4)并非某種特定曲線的特例,除了W-M函數(shù)外,本文還選用分形布朗函數(shù)模擬分形表面(海洋輪廓),得到的結(jié)果如圖4所示。兩種曲線得到的結(jié)果基本無差別,從而證明式(4)所示的關(guān)系是所有分形表面的固有特性。至此,Korcak的海島實(shí)驗(yàn)已經(jīng)通過軟件模擬的方法得到了驗(yàn)證。因?yàn)镵orcak法則是分形曲線的固有特性,所以在驗(yàn)證過程中,如果將海底輪廓改為粗糙表面,亦可證明,Korcak法則同樣適用于分形粗糙表面。

圖4 指數(shù)x和分形維數(shù)D的關(guān)系

1.1.3 不同的海平面高度對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響 現(xiàn)實(shí)中,海平面處于不停的波動(dòng)狀態(tài),每次測(cè)量時(shí),海平面高度都是隨機(jī)的,因此本文做了一個(gè)有趣的數(shù)值實(shí)驗(yàn)以研究不同海平面高度對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響,結(jié)果如圖5所示。圖中選取的海底輪廓的分形維數(shù)為1.3,對(duì)于每個(gè)海平面高度,本文都分別進(jìn)行了3次Korcak海島實(shí)驗(yàn)。通過圖5可以觀察到,海平面的輕微波動(dòng)不會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果,但當(dāng)海平面過高或過低(高于海島輪廓高度的80%或低于海底輪廓高度的30%)時(shí),實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能出現(xiàn)較大誤差。這在證明Korcak經(jīng)驗(yàn)法則的穩(wěn)定性的同時(shí),也從另一方面證明,Korcak在不同時(shí)間內(nèi)測(cè)得的島嶼個(gè)數(shù)與島嶼面積的關(guān)系無太大的差別。

圖5 不同海平面高度占海底高度的比例對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響

1.2 接觸點(diǎn)面積與該接觸點(diǎn)上最大變形量的關(guān)系

看上去近乎平面的粗糙表面上其實(shí)有很多大小不一的微凸體[13-14]。當(dāng)兩粗糙表面接觸時(shí),隨著接觸壓力的增加,粗糙表面上接觸到的微凸體會(huì)逐漸消失或者結(jié)合成為更大的微凸體,所以對(duì)微凸體的跟蹤較為復(fù)雜。不同于M-B模型,本文將不再研究微凸體如何變形,而僅討論自仿射接觸點(diǎn)(簡(jiǎn)稱接觸點(diǎn))的變化。接觸點(diǎn)和微凸體的區(qū)別在于接觸點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)態(tài)概念,在接觸過程中存在,離開接觸便沒有意義,并且一個(gè)接觸點(diǎn)可能由很多微凸體組合而成。因此,接觸點(diǎn)的概念比微凸體更復(fù)雜而且更適合用于研究接觸過程。利用W-M函數(shù)生成的粗糙表面上的接觸點(diǎn)也應(yīng)該是很多余弦函數(shù)疊加的結(jié)果,因?yàn)閃-M函數(shù)本身就是多個(gè)余弦函數(shù)的疊加,而在M-B模型中,卻利用單余弦函數(shù)模擬微凸體,這必然導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。另外,使用接觸點(diǎn)的概念也可以排除分形接觸模型中的很多假設(shè),如傳統(tǒng)接觸理論中,認(rèn)為微凸體之間的相互作用可以忽略,這和實(shí)際不太相符。利用接觸點(diǎn)的概念后,將不再需要考慮微凸體的相互作用,因?yàn)榻佑|點(diǎn)本身就是微凸體相互作用的結(jié)果,如果沒有相互作用,微凸體和接觸點(diǎn)的概念將是一致的。然而,多余弦函數(shù)疊加的顯示表達(dá)式并不容易獲得,所以從M-B模型被提出到現(xiàn)在,都沒有學(xué)者提出改進(jìn)方案。鑒于以上原因,本文利用數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)方法,統(tǒng)計(jì)地研究接觸點(diǎn)最大變形量與接觸面積的關(guān)系,然后利用此關(guān)系對(duì)分形接觸模型進(jìn)行修正,得到更符合實(shí)際情況的分形接觸理論。

粗糙表面間的接觸可簡(jiǎn)化如圖6所示。首先,利用W-M函數(shù)生成一個(gè)可變形的分形粗糙表面,然后使剛性平面與該粗糙表面接觸,得到截?cái)嗪蟮谋砻?。在這個(gè)過程中,本文記錄了接觸點(diǎn)直徑l與最大接觸變形量zmax關(guān)系如圖7a所示,對(duì)圖中的點(diǎn)進(jìn)行擬合并畫在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下如圖7b所示,其中分形特征尺度G=0.12 m1/2,分形維數(shù)D=1.7。

圖6 兩粗糙表面接觸的簡(jiǎn)化示意圖

(a)接觸點(diǎn)直徑l與最大變形量zmax的關(guān)系

(b)接觸點(diǎn)直徑l與最大變形量zmax關(guān)系的雙對(duì)數(shù)形式圖7 最大變形量與接觸點(diǎn)直徑的關(guān)系

通過圖7可以發(fā)現(xiàn),在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下接觸點(diǎn)直徑和最大變形量近似滿足線性關(guān)系,因此最大變形量可以假設(shè)為

zmax=Imlxm

(5)

式中:Im和xm分別為最大變形量時(shí)的乘子和指數(shù)。值得注意的是,在傳統(tǒng)的M-B模型中,zmax-MB=GD-1l2-D,G被定義為粗糙表面的分形特征尺度,但這僅僅是利用單余弦函數(shù)模擬微凸體而得到的結(jié)果。

圖8 指數(shù)xm和分形維數(shù)D的關(guān)系

1.2.1 指數(shù)xm本文通過W-M函數(shù)模擬了不同的分形曲線,從而得到了指數(shù)xm和分形維數(shù)D的關(guān)系如圖8所示。圖8表明,指數(shù)xm和分形維數(shù)D近似滿足線性關(guān)系,即

(6)

對(duì)于M-B模型中的微凸體,xm-MB=2-D。本文同樣對(duì)不同的分形特征尺度G進(jìn)行了研究,同時(shí)除了W-M函數(shù)外,分形布朗函數(shù)也被用作模擬粗糙表面輪廓。研究發(fā)現(xiàn),指數(shù)xm由分形維數(shù)D唯一決定,跟其他參數(shù)無關(guān)。

1.2.2 乘子Im比起指數(shù)xm,乘子Im的確定更復(fù)雜。在不同的分形特征尺度下,乘子隨分形維數(shù)的變化情況也不同,如圖9所示。從圖9中可以總結(jié)以下兩點(diǎn)。

(a)G=1.2×10-3 m1/2

(b)G=1.2×10-2 m1/2

(c)G=1.2×10-1 m1/2

(d)G=1.2 m1/2圖9 不同分形特征尺度G下乘子與分形維數(shù)的關(guān)系

(1)乘子Im由分形特征尺度G和分形維數(shù)D共同決定。在不同的特征尺度G下,乘子隨分形維數(shù)的變化規(guī)律也不同,圖9中利用多項(xiàng)式擬合了這一關(guān)系。

(2)隨著分形特征尺度G的增加,最小乘子所對(duì)應(yīng)的分形維數(shù)逐漸減小。

本文利用多項(xiàng)式擬合乘子與分形維數(shù)及特征尺度的關(guān)系

lgIm=3-lgG+(-4+lgG)D+1.8D2

(7)

Im=GD-1101.8D2-4D+3

(8)

而對(duì)于M-B模型,Im-MB=GD-1,兩者之比為

(9)

從式(9)可以發(fā)現(xiàn),隨著分形維數(shù)的增加,兩種方法得到的最大變形量的比值也逐漸增加,當(dāng)分形維數(shù)D=1.1時(shí),比值最小。換言之,分形維數(shù)越大,多余弦函數(shù)疊加的效果也就越顯著。

為了對(duì)比單余弦函數(shù)和多余弦函數(shù)構(gòu)造接觸點(diǎn)的不同,本文選取參數(shù)G=0.12 m1/2、D=1.5來構(gòu)造接觸點(diǎn),通過圖10可以發(fā)現(xiàn),單余弦函數(shù)所構(gòu)造接觸點(diǎn)的最大變形量過小。

圖10 單余弦函數(shù)和多余弦函數(shù)構(gòu)造接觸點(diǎn)的對(duì)比

2 基于自仿射接觸點(diǎn)的分形接觸模型

在得到自仿射接觸點(diǎn)的最大變形量與接觸面積的關(guān)系后,本文將利用此關(guān)系進(jìn)一步推導(dǎo)新的分形接觸模型。本文推導(dǎo)的分形接觸模型基于粗糙表面均為各向同性的無潤(rùn)滑表面,并且可以利用W-M函數(shù)模擬的假設(shè)。如圖6所示,由于所有接觸都不完美,接觸表面由很多個(gè)不同尺度的接觸點(diǎn)組成。在經(jīng)典分形接觸模型M-B中,微凸體概念的使用并不準(zhǔn)確,因此在對(duì)其進(jìn)行改正,得到一個(gè)全新的、更加準(zhǔn)確的接觸點(diǎn)定義后,本文將推導(dǎo)更符合粗糙表面分形特性的分形接觸理論。

在利用W-M函數(shù)生成的分形表面上,接觸點(diǎn)表現(xiàn)為由多個(gè)余弦函數(shù)疊加而成,如圖11所示。

圖11 分形粗糙表面接觸點(diǎn)示意圖

從圖11中可以看出,單一接觸點(diǎn)的形狀與余弦函數(shù)很相似。因此,在得到接觸點(diǎn)最大變形量與接觸直徑的關(guān)系后,本文假設(shè)直徑為l的接觸點(diǎn)的變形量可表示為

-l/2

(10)

該接觸點(diǎn)在頂點(diǎn)處的曲率半徑為[2]

(11)

在第1節(jié)中已經(jīng)證明經(jīng)典的Korcak法則適用于粗糙接觸表面,即

(12)

式中:al為接觸點(diǎn)最大接觸面積。因此,接觸點(diǎn)的尺寸分布函數(shù)可由式(12)的微分得到

(13)

根據(jù)Hertz接觸理論,接觸點(diǎn)的接觸面積和彈性接觸壓力可表示為

a=πRz

(14)

(15)

式中:E為復(fù)合彈性模量。

塑性接觸壓力為[8]

pp(a)=Kσya

(16)

式中:K為材料硬度系數(shù);σy為材料屈服強(qiáng)度。

將式(14)和式(11)帶入式(15),得到彈性接觸壓力和接觸面積的關(guān)系為

(17)

由于受力的不同,粗糙表面的接觸點(diǎn)將表現(xiàn)為彈性變形或塑性變形的狀態(tài),而彈性變形與塑性變形的臨界變形量為[2]

(18)

利用本文得到的接觸點(diǎn)的最大變形量與接觸面積的關(guān)系,可得接觸點(diǎn)的臨界接觸面積為

(19)

式中:φ=σy/E。

正如傳統(tǒng)分形接觸理論M-B模型中發(fā)現(xiàn)的一樣,本文接觸點(diǎn)的變形規(guī)律同樣為:當(dāng)接觸點(diǎn)的接觸面積大于臨界接觸面積時(shí),接觸點(diǎn)處于彈性接觸階段;當(dāng)接觸面積小于臨界接觸面積時(shí),接觸點(diǎn)處于塑性接觸階段。這一特點(diǎn)與傳統(tǒng)的認(rèn)識(shí)相悖,也有學(xué)者一直在爭(zhēng)論稱其不合理,因此本文將結(jié)合分形表面的特點(diǎn)論述這一規(guī)律。

對(duì)于分形表面上任意一個(gè)接觸點(diǎn),不論接觸面積大小,其最大接觸變形量與接觸直徑滿足式(5),因此最大接觸變形量與接觸直徑的比值為ζ=zmax/l=Iml(1-D)/2。由于分形維數(shù)1

將式(13)帶入單個(gè)接觸點(diǎn)的接觸壓力表達(dá)式,即可得到整個(gè)接觸面上的彈性和塑性接觸壓力

對(duì)于不同材料及尺寸的粗糙表面,將總壓力轉(zhuǎn)換為非量綱形式將更有利于對(duì)比研究

3 模型對(duì)比結(jié)果與討論

3.1 與M-B模型及G-W模型對(duì)比

為了驗(yàn)證推導(dǎo)得到的接觸模型,將本文模型與經(jīng)典的M-B和G-W模型進(jìn)行對(duì)比,如圖12所示。其中比較關(guān)心的參數(shù)有D=1.38,G*=10-10,Aa=10-6m2及φ=0.05[8]。

圖12 3種模型結(jié)果對(duì)比

通過圖12可以看出,由于G-W模型是一個(gè)彈性模型,較少考慮塑性接觸,因此G-W模型在整體上會(huì)低估粗糙表面的接觸壓力,M-B模型則利用W-M函數(shù)中的單個(gè)余弦函數(shù)模擬微凸體。本文的研究表明,自仿射接觸點(diǎn)比微凸體更適合應(yīng)用于分形接觸模型的推導(dǎo)中,在接觸中,單個(gè)余弦函數(shù)模擬微凸體所得到的最大接觸變形量偏小。另外,M-B模型中微凸體尺寸分布函數(shù)的使用也不準(zhǔn)確。綜上所述,M-B模型高估了接觸壓力。因此,圖12說明本文推導(dǎo)的模型能更加準(zhǔn)確地揭示接觸機(jī)理。

3.2 分形維數(shù)及分形特征尺度對(duì)結(jié)果的影響

在分形接觸模型中,粗糙表面的分形維數(shù)和特征尺度由接觸表面的材料決定,因此有必要研究分形維數(shù)及特征尺度對(duì)分形模型模擬結(jié)果的影響。本文選取了不同的分形維數(shù)對(duì)比理論推導(dǎo),結(jié)果如圖13所示。在相同的接觸面積下,分形維數(shù)越大的表面,接觸壓力越小。究其原因,分形維數(shù)和接觸點(diǎn)的分布有直接關(guān)系:在一定的面積內(nèi),接觸點(diǎn)越多,粗糙面的分形維數(shù)越大。因此,分形維數(shù)越小的表面,就需要越大的力以使粗糙表面發(fā)生相同的變形,從而具有相同的接觸面積。

圖13 分形維數(shù)對(duì)接觸模型的影響

本文選取不同的分形特征尺度對(duì)比理論推導(dǎo),結(jié)果如圖14所示。結(jié)果與預(yù)想的一樣,為了達(dá)到相同的接觸面積,具有較大分形特征尺度的表面需要的變形量更大,因此壓力也必須足夠大。

圖14 分形特征尺度對(duì)接觸模型的影響

4 結(jié) 論

(1)利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)方法,通過選用不同的分形曲線驗(yàn)證了分形研究中廣泛使用的Korcak法則,同時(shí)研究了不同的海岸線高度對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響,從而證明Korcak法則是分形曲線的固有特性。

(2)研究了分形粗糙表面的接觸機(jī)理,發(fā)現(xiàn)在傳統(tǒng)的分形接觸理論中,微凸體概念的使用并不恰當(dāng),因此利用自仿射接觸點(diǎn)代替微凸體進(jìn)行理論推導(dǎo)。

(3)得到了接觸點(diǎn)變形量和接觸點(diǎn)面積的關(guān)系。隨后,利用赫茲接觸理論,計(jì)算了產(chǎn)生該變形量所需的接觸壓力,結(jié)合接觸點(diǎn)的尺寸分布函數(shù)得到了整個(gè)粗糙表面的壓力分布,從而推導(dǎo)了新的接觸模型。研究表明,不同的分形維數(shù)和分形特征尺度對(duì)接觸模型的影響較大。

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(編輯 杜秀杰)

Self-Affine Contact Spot with Applications in Fractal Contact Theory

ZHOU An’an, CHEN Tianning, WANG Xiaopeng, XI Yanhui

(School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

The numerical simulation for contact essence between fractal rough surfaces is conducted, and a concept of self-affine contact spot is introduced to propose a new fractal contact model.Compared with the asperity in classical fractal contact model, the self-affine contact spot better describes the process of fractal contact.The self-affine contact spot now gets fractal, and the assumption of no interaction between asperities is unnecessary.Under the assumption that the rough surfaces are all unlubricated isotropic surfaces, this model can be simulated by W-M function.Making use of the relationship between the maximum deformation and contact area of contact spot, the classical fractal contact model is modified to further approach the engineering practice.It is found that G-W model ignores plastic deformation of contact spot thus to underestimate the contact load of rough surfaces; M-B model leads to a smaller maximum deformation to difficultly use size-distribution function and overestimates the contact load.The self-affine contact spot instead of asperity enables to accurately evaluate the contact pressure, The more the fractal dimension (or the less the fractal characteristic scale), the less the contact pressure is needed for same contact area.

contact theory; numerical simulation; fractal; asperity

2014-09-28。 作者簡(jiǎn)介:周安安(1987—),男,博士生;陳天寧(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。 基金項(xiàng)目:國(guó)家科技重大專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2011ZX04002-031);陜西省科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014SJ-09)。

時(shí)間:2015-03-23

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150323.1713.004.html

10.7652/xjtuxb201506002

TH113.1

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0253-987X(2015)06-0008-08