GS算法在多輸入多輸出雷達信號集設(shè)計中的應(yīng)用

杜曉林蘇濤

(西安電子科技大學(xué) 雷達信號處理國家重點實驗室,陜西 西安 710071)

摘要為了高效地設(shè)計出性能良好的多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷達正交相位編碼信號集,提出一種改進的Gerchberg-Saxton(GS)算法，將最小化信號集旁瓣能量的代價函數(shù)轉(zhuǎn)化為適合求解的極小化問題;將原始GS算法擴展至多維,并改進其物面和頻譜面的約束條件,以適應(yīng)文中優(yōu)化問題的求解;利用改進的GS算法迭代優(yōu)化設(shè)計出信號集.仿真實驗表明:該算法可以有效改善所得信號集的積分旁瓣和相關(guān)性能．

關(guān)鍵詞雷達;信號處理;非周期相關(guān)函數(shù);Gerchberg-Saxton算法;信號集

中圖分類號TN957

文獻標志碼A

文章編號1005-0388(2015)04-0686-07

AbstractIn order to efficiently design good orthogonal phase coding signals for MIMO radar, an improved Gerchberg-Saxton(GS) algorithm is proposed. Firstly, a cost function minimizing the sidelobe energy of the signal set is constructed, and it is transformed into a easy-to-solve minimization problem. Then the original GS algorithm is extended to multi-dimensional form, and the object-domain and Fourier-domain constraints are improved accordingly for the optimization problem in this paper. Finally, the signal set is obtained by implementing the improved GS algorithm. Simulation results show that the proposed algorithm can improve the integrated sidelobes and the correlation property of the resulting waveform.

收稿日期：2014-08-23

作者簡介

Signal sets design for MIMO radar via GS algorithm

DU XiaolinSU Tao

(NationalLaboratoryofRadarSignalProcessing,Xidian

University,Xi’anShaanxi710071,China)

Key wordsradar; signal processing; aperiodic correlation; Gerchberg-Saxton algorithm; signal sets

資助項目: 國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金(61001204)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專向資金(JY0000902020)

聯(lián)系人： 杜曉林 E-mail：duxiaolin168@163.com

引言

多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)雷達是一種新體制雷達,其特點是具有多個發(fā)射天線和接收天線.天線陣列在布置上的靈活性以及發(fā)射單元發(fā)射波形的多樣性,使得MIMO雷達具有空間分集和波形分集能力.空間分集可以克服目標的閃爍效應(yīng)從而提高雷達對目標的探測性能;而波形分集可以提升雷達的目標檢測、參數(shù)估計、目標識別和跟蹤等性能.相比傳統(tǒng)的雷達,MIMO雷達具有較大的優(yōu)勢[1-5].

為了抑制不同目標回波的相互干擾以及從回波中提取獨立的目標信息,MIMO雷達的發(fā)射信號一般采用正交信號集.文獻[6]和文獻[7]建立了極小化信號集旁瓣能量的代價函數(shù),分別采用混合模擬退火算法和混合遺傳算法設(shè)計了非周期相關(guān)性較好的正交信號集,但是由于算法本身的限制,非周期自相關(guān)峰值旁瓣(Autocorrelation Sidelobe Peak, ASP)、非周期互相關(guān)峰值(Crosscorrelation Peak, CP)和積分旁瓣比(Integrated Sidelobe Ratio, ISR)仍然較高;文獻[8]以極小化包含多普勒信息的信號集峰值旁瓣電平函數(shù)作為準則,利用自適應(yīng)克隆選擇算法設(shè)計了一組具有較好多普勒容忍性的信號集,但其非周期相關(guān)性和積分旁瓣比并沒有得到改善.此外,文獻[6-8]所用算法的復(fù)雜度較大,所得信號集的碼長受到了一定限制,計算存儲量較大,且求解信號集所需的時間較長.

針對上述問題,本文將改進的Gerchberg-Saxton(GS)算法[9-13]應(yīng)用在MIMO雷達正交相位編碼信號集設(shè)計中.建立最小化信號集旁瓣能量的代價函數(shù),并將其轉(zhuǎn)化為適合求解的極小化問題;將原始GS算法擴展至多維,并改進其物面和頻譜面的約束條件,以適應(yīng)本文優(yōu)化問題的求解;最后利用改進的GS算法迭代優(yōu)化設(shè)計出信號集.

1問題描述

假定一個MIMO雷達系統(tǒng)具有M個發(fā)射天線,每個天線發(fā)射碼長為N的相位編碼信號.信號集可以表示為

S=[s1,s2,…,sM]N×M=[y1,y2,…,yN]Τ.

(1)

式中:(·)T表示轉(zhuǎn)置; sm=[sm(1),sm(2),…,sm(N)]T是第m個天線的發(fā)射信號,yn=[s1(n),s2(n),…,sM(n)]T為M個天線發(fā)射信號的第n個碼元,sm(n)=ejφm(n) ,相位φm(n)的取值范圍是0≤φm(n)≤2π[6-8].

sm1(n)與sm2(n)的非周期互相關(guān)函數(shù)定義為

k=0,…,N-1.

(2)

式中,(·)*表示復(fù)共軛.當(dāng)m1=m2時,式(2)變?yōu)閟m1(n)的非周期自相關(guān)函數(shù)[6-8].

進而M×M維的信號協(xié)方差矩陣可表示為

(3)

式中,(·)H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置.

完全正交的信號集需滿足如下條件

(4)

式中, I為M×M維的單位矩陣.

為了設(shè)計正交信號集,建立最小化信號集相關(guān)旁瓣能量的代價函數(shù)[6-7]為

(5)

式中下標F表示矩陣的F范數(shù).本文要解決的問題就是通過極小化式(5)中的代價函數(shù),得到正交相位編碼信號集S.

2基于GS算法的正交相位編碼信號設(shè)計

2.1代價函數(shù)的轉(zhuǎn)化

由于式(5)中的代價函數(shù)是關(guān)于變量S的4次函數(shù),利用優(yōu)化算法求解高次的極小化問題較為復(fù)雜,故本文將代價函數(shù)先轉(zhuǎn)換成頻域內(nèi)的等價形式,經(jīng)過化簡,最終轉(zhuǎn)化為較容易求解的2次形式.

(6)

由式(4)和式(6)可得

E=0?S(ω)=I .

(7)

即代價函數(shù)E=0與S(ω)=I是等價的.

式(5)可以轉(zhuǎn)化為頻域內(nèi)的等價形式為

(8)

(9)

式中下標2表示向量的2范數(shù).為了化簡代價函數(shù)ε,首先求式(9)關(guān)于z(ωk)的解.忽略與變量無關(guān)的常數(shù)可得

(10)

s.t. |sm(n)|=1,m=1,…,M,n=1,…,N;

‖ak‖2=1,k=1,…,2N.

(11)

可以看出式(11)中的極小化函數(shù)為變量S的2次函數(shù).

(12)

2.2改進的GS算法求解極小化問題

針對式(11)和式(12)中的極小化問題,利用改進的GS算法進行求解.對原始GS算法進行概述,闡述改進的GS算法對本文問題的求解過程.

GS算法是一種較為著名的相位恢復(fù)算法.相位恢復(fù)是一種由可測量的光場振幅或強度確定光場相位分布的方法[9-13].該算法的核心思想是在物面(輸入面)和頻譜面(輸出面)之間交替進行傅里葉變換,并分別在兩個平面上施加已知的約束限制條件,最大限度地恢復(fù)物面上的相位分布.GS算法具有收斂速度快、設(shè)計靈活、通用性強等優(yōu)點.算法原理流程圖如圖1所示[9-10].

圖1　GS算法原理框圖

按照圖1所示的步驟進行迭代,若結(jié)果滿足收斂準則,則迭代過程結(jié)束,否則下一次迭代繼續(xù)進行,直到滿足收斂準則為止.輸出的圖像為所預(yù)先設(shè)定的輸出振幅圖像,而在輸入平面上最終迭代所得的相位信息φ即為所需的相位分布.

原始GS算法是物面和頻譜面的一維變換,而本文中的極小化問題是多維的,故先將GS算法擴展至多維,并將其物面和頻譜面的約束條件進行改進,以適應(yīng)本文優(yōu)化問題的求解.

對式(11)的求解過程可以分為以下四個迭代步驟:

1) 求頻譜面輸出函數(shù)Q′

原始GS算法是針對一維的物面和頻譜面的波函數(shù)進行交替傅里葉變換和傅里葉逆變換,從而實現(xiàn)相位的恢復(fù).而針對式(11)中的問題,所求發(fā)射信號集S是N×M維形式的矩陣,如果利用GS算法求解該問題,須首先將其擴展至多維.

2) 頻譜面的幅度約束

(13)

則有

(14)

由式(13)和式(14)得,式(11)中‖ak‖2=1的約束條件成立.從式(14)還可以看出,頻譜面的幅度約束區(qū)別于原始GS算法簡單的幅度代入操作,通過限定不同DFT通道系數(shù)的平方和為1使優(yōu)化問題中的約束條件成立,改進的約束條件更適合求解本文問題.

3) 求物面輸入函數(shù)S′

對頻譜面函數(shù)Q(Q=[a1,a2,…,a2N]T)的每一列進行逆離散傅里葉變換(Inverse Discrete Fourier Transfomr, IDFT),即DHQ,可得物面輸入函數(shù)S′.注意到,此步驟中的IDFT同步驟1中的DFT均為M維運算.

4) 物面的幅度約束

S=J⊙exp(jarg(S′)).

(15)

式中,⊙表示Hadamard積.

按照步驟1)到4)進行迭代操作,直到兩次迭代之間的誤差小于預(yù)定值ε為

‖S(i)-S(i+1)‖F(xiàn)<ε.

(16)

式中,S(i)為第i次迭代所得信號集.

綜上所述,算法的流程圖如圖2所示.

圖2　本文算法的流程圖

3仿真實驗

3.1性能指標

為了分析本文信號集的性能,給出信號集的ASP、CP和ISR[14-16]的定義

由式(2)給出信號集M個ASP的定義

(17)

其平均值描述了整個信號集的脈沖壓縮性能.并且定義信號集M(M-1)/2個CP為

max|(rm1,m2(n))/N|,

m1≠m2,m1,m2=1,…,M.

(18)

其平均值代表了信號之間的相互干擾程度.

信號集的ISR定義為信號集的積分旁瓣電平(Integrated Sidelobe Level, ISL)[15-16]與其主瓣能量的比值,即

(19)

3.2性能分析

本文算法的DFT和IDFT操作是基于快速傅里葉變換和逆快速傅里葉變換完成,故算法的復(fù)雜度較低,優(yōu)化耗時較短,當(dāng)信號集的碼長較長時仍然適用,如N～104.而文獻[6]所用模擬退火和貪心算法的組合算法、文獻[7]所用遺傳算法和貪心算法的組合算法以及文獻[8]所用自適應(yīng)克隆選擇算法的復(fù)雜度都較高,優(yōu)化耗時較長,計算存儲量較大,僅適用于信號集碼長較短的情況.

在諸如合成孔徑雷達成像等應(yīng)用中,發(fā)射信號的序列長度較長.而文獻[6-8]算法無法產(chǎn)生碼長較長的信號集,故對于碼長較長的信號集,通過隨機相位序列和無線通信系統(tǒng)中常用的正交Hadamard序列與本文序列進行對比,來說明其先進性[17].雖然正交Hadamard序列的產(chǎn)生方法簡單,但是正交性卻很好,它在通信領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.利用偽隨機噪聲序列對正交Hadamard序列進行擾碼操作,進一步降低了正交Hadamard序列的相關(guān)旁瓣.圖3、圖4和圖5分別給出了本文序列和Hadamard序列以及隨機相位序列的平均ASP、平均CP和ISR的對比(M=3, N=256,512,…,819 2).由圖3、圖4和圖5可以看出,對于碼長較長的情形,本文算法所得信號集的平均ASP、平均CP和ISR比Hadamard序列和隨機相位序列要好.

圖3　平均ASP的對比

圖4　平均CP的對比

圖5　ISR的對比

對于碼長較短的信號集的性能分析,選取大小為M=3, N=128的信號集進行對比.表1給出了本文與文獻[6-8]中信號集的平均ASP、平均CP和ISR的對比.其中數(shù)據(jù)為100次蒙特卡洛實驗的最好結(jié)果,而文獻[6-8]數(shù)據(jù)為對應(yīng)文獻中所列出的最好結(jié)果.由表1可得信號集的平均ASP、平均CP和ISR均優(yōu)于文獻[6-8],這表明信號集的正交性能較好,相關(guān)函數(shù)的峰值旁瓣較低,而且信號集的相關(guān)旁瓣能量較小,有利于接收端的匹配濾波處理.這也同時驗證了本算法的有效性.

算法的執(zhí)行效率也是衡量算法優(yōu)劣的一個重要指標.表2給出了本文算法和文獻[6-8]算法的執(zhí)行時間對比.表2所得時間均為信號集大小為M=3, N=128時,執(zhí)行10次算法所需時間的平均值.為了使算法執(zhí)行時間對比具有說服力,僅列出時間的數(shù)量級(計算機硬件條件為:Pentium(R)雙核處理器,主頻是2.50GHz,內(nèi)存2GB.采用Matlab語言編寫程序).由表2可得,本文算法在執(zhí)行效率上較文獻[6-8]算法具有一定的優(yōu)勢,這為信號集的在線設(shè)計提供了可靠的保障.

表1　本文與文獻[6-8]信號集平均ASP、

表2　本文算法與文獻[6-8]算法的執(zhí)行時間對比

文獻[18]推導(dǎo)了陣元數(shù)為M,碼長為N的信號集的ISL下界為

ISL≥N2M(M-1)=BISL

(20)

表3給出了信號集和隨機相位序列的ISL與ISL下界的比較.由表3得,對于不同大小的信號集,信號集的ISL均接近于ISL的下界,而隨機相位序列的ISL則遠遠高于ISL的下界.

表3　本文信號集和隨機相位序列的

當(dāng)陣元數(shù)M設(shè)定為1時,信號集變?yōu)閱蝹€序列.利用算法設(shè)計正交信號集的問題就變?yōu)樵O(shè)計性能良好的單個序列的問題,即需要設(shè)計自相關(guān)峰值旁瓣電平和積分旁瓣電平均較低的單個序列.圖6和圖7分別給出了執(zhí)行一次算法所得單個序列與m序列、p4序列和隨機相位序列的自相關(guān)峰值旁瓣電平和積分旁瓣電平的對比.由圖6和圖7得,本文序列比m序列、p4序列和隨機相位序列的自相關(guān)峰值旁瓣電平和積分旁瓣電平要低,隨機相位序列的自相關(guān)峰值旁瓣電平和積分旁瓣電平最高,p4序列比m序列的要低.而且,隨著碼長的增加,所有序列的自相關(guān)峰值旁瓣電平逐漸減小,積分旁瓣電平逐漸增大.

圖8給出了碼長N固定為128時,算法所得信號集平均ASP和平均CP隨陣元數(shù)M的變化規(guī)律.圖9為陣元數(shù)M固定為4時,算法所得信號集平均ASP和平均CP隨碼長N的變化規(guī)律.

圖6　本文單個序列和其他序列峰值旁瓣電平的對比

圖7　本文單個序列和其他序列積分旁瓣電平的對比

圖8　陣元數(shù)M對平均ASP和平均CP的影響

從圖8可以看出,當(dāng)碼長固定時,信號集平均ASP和平均CP隨陣元數(shù)的增加而增大,并且當(dāng)陣元數(shù)增大到一定程度時,平均ASP和平均CP趨于平穩(wěn).由圖9可得,當(dāng)陣元數(shù)固定時,信號集平均ASP和平均CP與log2N近似成負線性函數(shù)關(guān)系.

圖9　碼長N對平均ASP和平均CP的影響

4結(jié)論

針對MIMO雷達正交相位編碼信號設(shè)計算法效率較低、所得信號集相關(guān)性較差和積分旁瓣較高的問題,本文提出一種改進的GS算法.建立最小化信號集旁瓣能量的代價函數(shù),并將其轉(zhuǎn)化為適合求解的極小化問題;將原始GS算法擴展至多維,并改進其物面和頻譜面的約束條件,以適應(yīng)本文優(yōu)化問題的求解;最后，利用改進的GS算法迭代優(yōu)化設(shè)計出信號集.仿真結(jié)果表明了本文算法的執(zhí)行效率和所得信號集的性能相比已有算法具有一定的優(yōu)勢.但是改進的GS算法增加了原始算法的維度和復(fù)雜度,這對算法的實時實現(xiàn)不利,如何進一步提高算法的效率將是下一步工作的重點.

參考文獻

[1] GONG P C, SHAO Z H, TU G P, et al. Transmit beam pattern design based on convex optimization for MIMO radar systems[J]. Signal Processing, 2014, 94: 195-201.

[2] REDDY B R, KUMARI M U. Target detection using orthogonal polyphase MIMO radar waveform against compound Gaussian clutter[J]. Procedia Engineering, 2013, 64: 331-340.

[3] TANG B, TANG J, PENG Y. Waveform optimization for MIMO radar in colored noise: further results for estimation-oriented criteria[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(3): 1517-1522.

[4] WANG Y C, WANG X, LIU H W. On the design of constant modulus probing signals for MIMO radar[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(8): 4432-4438.

[5] FRIEDLANDER B. On signal models for MIMO radar[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic System, 2012, 48(4): 3655-3660.

[6] DENG H. Polyphase code design for orthogonal netted radar systems[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2004, 52(11): 3126-3135.

[7] LIU B, HE Z S, ZENG J K, et al. Polyphase orthogonal code design for MIMO radar systems[C]//Proceedings of the International Conference on Radar. Shanghai: IEEE, 2006:1-4.

[8] YANG J, QIU Z K, JIANG W D, et al. Poly-phase codes optimization for multi-input-multi-output radars[J]. IET Signal Process, 2013, 7(2): 93-100.

[9] FIENUP J R. Phase retrieval algorithms: a comparison[J]. Applied Optics, 1982, 21(15): 2758-2769.

[10]FIENUP J R. Reconstruction of an object from the modulus of its Fourier transform[J]. Optics Letters, 1978, 3(1): 27-29.

[11]ADAMS D E, MARTIN L S, SEABERG M D, et al. A generalization for optimized phase retrieval algorithms[J]. Optics Express, 2012, 20(22): 24778-24790.

[12]KRUSCHWITZ B E, BAHK S W, BROMAGE J, et al. Accurate target-plane focal-spot characterization in high-energy laser systems using phase retrieval[J]. Optics Express, 2012: 20(19): 20874-20883.

[13]YANG G Z, DONG B Z, GU B Y, et al. Gerchberg-Saxton and Yang-Gu algorithms for phase retrieval in a nonunitary transform system: a comparison[J]. Applied Optics, 1994, 33(2): 209-218.

[14]HE H, STOICA P, LI J. Unimodular sequence design for good autocorrelation properties[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. Taipei: IEEE, 2009: 2517-2520.

[15]SOLTANALIAN M, STOICA P. Computational design of sequences with good correlation properties[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(5): 2180-2193.

[16]STOICA P, HE H, LI J. Optimization of the receive filter and transmit sequence for active sensing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(4): 1730-1740.

[17] 陳顯舟, 楊源, 韓靜靜, 等. 雙基地多入多出雷達收發(fā)方位角聯(lián)合估計算法[J]. 電波科學(xué)學(xué)報, 2013, 28(1): 176-182.

CHEN Xianzhou, YANG Yuan, HAN Jingjing, et al. Joint DOD and DOA estimation using polynomial rooting for bistatic MIMO radar[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2013, 28(1): 176-182.(in Chinese)

[18]SARWATE D V. Meeting the Welch Bound with Equality [M]. London: Springer-Verlag, 1998: 79-102.

杜曉林(1985-),男,山東人,西安電子科技大學(xué)信號與信息處理專業(yè)博士研究生,主要研究方向為MIMO雷達發(fā)射波形設(shè)計.

蘇濤(1968-),男,陜西人,工學(xué)博士,西安電子科技大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師,主要從事雷達系統(tǒng)設(shè)計、雷達信號處理、高速實時信號處理及認知雷達.

張娜曼, 楊峰, 楊鵬. 低剖面雙頻雙圓極化平板縫隙天線的設(shè)計[J]. 電波科學(xué)學(xué)報,2015,30(4):693-698. doi: 10.13443/j.cjors. 2014082501

ZHANG Naman, YANG Feng, YANG Peng. Design of a novel low-profile dual-band and dual circularly polarized planar slot antenna[J]. Chinese Journal of Radio Science,2015,30(4):693-698. (in Chinese). doi: 10.13443/j.cjors. 2014082501