李秀仁，王晶海

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州 350116)

0 引言

混合均衡問(wèn)題是一類十分廣泛的均衡問(wèn)題，它在非線性分析領(lǐng)域有著重要理論和應(yīng)用價(jià)值．非線性分析領(lǐng)域中的許多問(wèn)題都可以納入混合均衡問(wèn)題的框架中加以研究，例如一般均衡問(wèn)題、變分不等式問(wèn)題、最優(yōu)化問(wèn)題和Nash均衡問(wèn)題都是其特殊的情形．

設(shè)E為Banach空間，C為E的非空閉凸子集．設(shè)θ:C×C→R是一個(gè)均衡二元函數(shù)，即對(duì)任意的u∈C，θ(u，u)=0，φ:C→R是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，混合均衡問(wèn)題是求x∈C，使得MEP:θ(x，y)+φ(y)－φ(x)≥0，?y∈C．記Ω為混合均衡問(wèn)題MEP(θ，φ)的解集．

由于混合均衡問(wèn)題具有廣泛的應(yīng)用，因而備受學(xué)者們的青睞．Fan L Y［1］在Hilbert空間中研究了混合均衡問(wèn)題的解的存在性;Ceng等［2］通過(guò)使用KKM技術(shù)，得到混合均衡輔助問(wèn)題的解的存在性和唯一性;文獻(xiàn)［3－5］分別用不同迭代方法討論并得到解的強(qiáng)收斂定理;Shioji等［6］在Hilbert空間中利用隱迭代，證明了在適當(dāng)條件下序列{xn}強(qiáng)收斂于非擴(kuò)張半群的不動(dòng)點(diǎn)集中的一點(diǎn);Suzuki［7］在Hilbert空間非擴(kuò)張半群上利用隱迭代xn=αnu+(1－αn)T(tn)(xn)(n≥1)，證明了在適當(dāng)條件下序列{xn}的強(qiáng)收斂性;2005年，Xu［8］將文獻(xiàn)［7］的結(jié)論推廣到具有弱連續(xù)的對(duì)偶映射的一致凸的Banach空間上;之后，Aleyner等［9］首次在一致光滑的Banach空間上利用顯迭代xn+1=αnu+(1－αn)T(tn)(xn)，n≥0，x0∈C，證明了在適當(dāng)條件下序列{xn}的強(qiáng)收斂性;2007年，張石生等［10］在Banach空間上引入了一種新的非擴(kuò)張半群的顯式復(fù)合迭代方法，并證明了其在適當(dāng)條件下的強(qiáng)收斂性;2010年，唐金芳［11］在Hilbert空間中引進(jìn)并研究了一種新的迭代算法，借以尋求混合均衡問(wèn)題解集與非擴(kuò)張半群不動(dòng)點(diǎn)集的公共元;2011年，Ceng和Guu［12］在一致光滑和一致凸的Banach空間上建立一種求解廣義均衡問(wèn)題和一族可數(shù)的相對(duì)非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及極大單調(diào)算子的公共解的混合收縮投影算法;2012年，馬樂榮等［13］在Hilbert空間中，設(shè)計(jì)了兩種新的關(guān)于Meir－Keeler壓縮映像的粘滯型迭代算法，用以逼近非擴(kuò)張半群的公共不動(dòng)點(diǎn)，在適當(dāng)?shù)臈l件下，利用所提出的算法證明了非擴(kuò)張半群公共不動(dòng)點(diǎn)的強(qiáng)收斂定理;同年，Chang等［14］在Banach空間的框架下，借助修正的Halpern－Mann迭代算法，求解全局漸進(jìn)擬φ非擴(kuò)張半群的解集，并在適當(dāng)?shù)臈l件下，證明了該迭代序列的強(qiáng)收斂性;近來(lái)，Wattanawitoon［15］在Banach空間中通過(guò)一種混合投影算法尋求均衡問(wèn)題和兩個(gè)相對(duì)擬非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)，使研究的范疇更廣泛;2011年，Cholamjiak和Suantai［16］在Banach空間中，建立了逼近混合均衡問(wèn)題和一可數(shù)族非擴(kuò)張映射的公共解的迭代算法，并證明了算法的強(qiáng)收斂和弱收斂定理．

本文在Banach空間中，通過(guò)建立一種新的迭代算法，研究混合均衡和相對(duì)擬非擴(kuò)張半群的不動(dòng)點(diǎn)的公共解問(wèn)題，得到該算法所產(chǎn)生的迭代序列的強(qiáng)收斂定理．

1 預(yù)備知識(shí)

為解出混合均衡問(wèn)題，假設(shè)二元函數(shù)θ滿足下列條件:

(A1)θ(x，x)=0(?x∈ C);

(A2)θ為單調(diào)的，即θ(x，y)+θ(y，x)≤0(?x，y∈C);

(A3)θ(x，y)關(guān)于第一變量x為弱上半連續(xù);

(A4)θ(x，y)關(guān)于第二變量y為凸和下半連續(xù)．

設(shè)U={x∈E:x=1}為E的單位球．稱Banach空間E為嚴(yán)格凸的如果對(duì)所有x，y∈U，x≠y有

易見，若E為Hilbert空間，則φ(x，y)= x－y2，?x，y∈H，且廣義投影算子ΠC就是通常的投影算子．廣義投影算子ΠC的存在性和唯一性可參考文獻(xiàn)［16－19］．同時(shí)從函數(shù)φ(x，y)的定義可得

1)(y － x)2≤ φ(y，x)≤(y+x)2，?x，y∈E;

2)φ(x，y)= φ(x，z)+ φ(z，y)+2〈x － z，Jz－ Jy〉，?x，y，z∈E;

3)若E為一致凸和光滑的Banach空間，對(duì)所有x，y∈E有φ(x，y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

4)φ(x，y)=〈x，Jx－Jy〉+〈y－x，Jy〉≤ x Jx－Jy+ y－x y，?x，y∈E．

設(shè)E*為E的對(duì)偶空間，C?E，T:C→C，若 Tx－Ty≤ x－y，?x，y∈C則稱映射T為非擴(kuò)張．點(diǎn)x∈C使得Tx=x則稱x為T的不動(dòng)點(diǎn)．用F(T)表示T的不動(dòng)點(diǎn)集，即F(T)={x∈C:Tx=x}．若C中有一序列{xn}且該序列弱收斂于點(diǎn)ω∈C使得極限xn－Txn=0，則稱點(diǎn)ω是T的漸近不動(dòng)點(diǎn)．用(T)表示T的漸近不動(dòng)點(diǎn)集．稱T為相對(duì)非擴(kuò)張的，若(T)=F(T)且對(duì)所有點(diǎn)x∈C及ω∈F(T)有φ(ω，Tx)≤φ(ω，x)．稱T為φ－非擴(kuò)張的，若對(duì)任意x，y∈C有φ(Tx，Ty)≤φ(x，y)．稱T為相對(duì)擬非擴(kuò)張的，如果F(T)≠Φ且對(duì)任意的x∈C，ω∈F(T)有φ(ω，Tx)≤φ(ω，x)．稱T為穩(wěn)定非擴(kuò)張(firmly－nonexpansive)，若對(duì)所有的x，y∈E有

設(shè)C為E的非空閉凸子集，一族映射{T(t):C→C，t≥0}，稱該族映射為C上的相對(duì)擬非擴(kuò)張半群．如果以下條件滿足:

1)對(duì)任意的t1，t2∈R+，x∈C有T(t1+t2)x=T(t1)T(t2)x;

2)對(duì)任意的x∈C有T(0)x=x;

3)對(duì)任意的x∈C有t|→T(t)x是連續(xù)的;

4)F≠Φ，且對(duì)任意的t∈R+，x∈C，ω∈F有φ(ω，T(t)x)≤φ(ω，x)．其中:F:={x∈E:T(t)x=x，t≥0}=∩t≥0F(T(t))為映射族{T(t):C→C，t≥0}的公共不動(dòng)點(diǎn)集．

引理1［16］設(shè)C為光滑的一致凸的Banach空間的非空有界閉凸子集，θ:C×C→R是一個(gè)均衡二元函數(shù)且滿足上述(A1)－(A4)條件，φ:C→R是一個(gè)實(shí)值函數(shù)且為凸下半連續(xù)．對(duì)任意r＞0，x∈E，定義映射Sr:E→2C:

則下述情況都成立:

1)對(duì)每個(gè)x∈E，Sr(x)≠Φ;

2)Sr是單值的;

3)〈Srx－Sry，J(Srx－x)〉≤〈Srx－Sry，J(Sry－y)〉，對(duì)任意x，y∈E;

4)F(Sr)=MEP(θ，φ);

5)MEP(θ，φ)是非空閉凸的．

引理2［20］設(shè)C為光滑的一致凸的Banach空間的閉凸子集，θ:C×C→R是一個(gè)均衡二元函數(shù)且滿足上述(A1)－(A4)條件，φ:C→R是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，r＞0．如果Sr為穩(wěn)定非擴(kuò)張，則對(duì)x∈E，ω∈F(Sr)有

引理3［21］設(shè)C為光滑的Banach空間的非空閉凸子集，x∈E，則x0=ΠCx當(dāng)且僅當(dāng)〈x0－y，Jx－Jx0〉≥0，?y∈ C．

引理4［21］設(shè)E為自反，嚴(yán)格凸和光滑的Banach空間，C為E的非空閉凸子集，x∈E，則φ(y，ΠCx)+φ(ΠCx，x)≤ φ(y，x)，?y∈C．

引理5［22］設(shè)E為一致凸和光滑的Banach空間，{xn}，{yn}為E中兩個(gè)序列，若φ(xn，yn)→0，且{xn}有界或{yn}有界，則xn－yn→0．

引理6［23］設(shè)E為一致凸和光滑的Banach空間，C為E的閉凸子集，T:C→C為閉的相對(duì)擬非擴(kuò)張映射，則F(T)為C的閉凸子集．

引理7［24］設(shè)E為一致凸的Banach空間，Br(0)為E的閉球，則存在一個(gè)連續(xù)嚴(yán)格遞增凸的泛函g:［0，∞)→［0，∞)，g(0)=0，使得對(duì)任意x，y∈Br(0)有

其中:λ，μ∈［0，1］且 λ+μ =1．

引理8［22］設(shè)E為光滑一致凸的Banach空間，r＞0，則存在一個(gè)嚴(yán)格遞增連續(xù)且凸的泛函g:［0，2r］→R，使得g(0)=0，且對(duì)任意x，y∈Br(0)有g(shù)(x－y)≤φ(x，y)．

引理9［25］設(shè)E*為一致凸的Banach空間，J為E的對(duì)偶映射，則J為單值的且在E的有界子集上一致連續(xù)，即B為E的有界子集，ε＞0，存在δ＞0，使得對(duì)任意x，y∈B， x－y ＜δ，有 J(x)－J(y) ＜ε．

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)E為一致光滑和一致凸的Banach空間，C為E的非空閉凸子集，θ:C×C→R是一個(gè)均衡二元函數(shù)且滿足上述(A1)－(A4)條件，φ:C→R為凸下半連續(xù)實(shí)值函數(shù)，W ={T(t):t≥0}為E中相對(duì)擬非擴(kuò)張半群．設(shè){xn}，{yn}，{zn}，{un}四個(gè)序列如下定義:

其中:J為E的正規(guī)對(duì)偶映射，un=Srnyn，序列{αn}，{βn}?(0，1)，對(duì)某個(gè)a＞0，有{rn}?［a，∞)，{tn}?［0，∞)為遞增且tn=∞．如果對(duì)rn＞0，Srn為穩(wěn)定非擴(kuò)張，且Γ:=F()∩MEP(θ，φ)=F(T(t))∩Ω≠Φ，那么序列{xn}，{un}強(qiáng)收斂于ω∈Γ，其中ω =ΠΓx0．

證明 分以下六步驟完成定理的證明．

第一步，證明對(duì)任意的n≥0，Cn是閉凸集．顯然C1=C是閉凸的，假設(shè)對(duì)某個(gè)k∈N，Ck是閉凸的，對(duì)于z∈ Ck使得φ(z，uk)≤φ(z，xk)，其等價(jià)于2(〈z，Jxk〉－〈z，Juk〉)≤ xk2－ uk2，可得 Ck+1是閉凸的．因此對(duì)所有的n≥0，Cn是閉凸集，這表明ΠCn+1x0是有定義的．

第二步，證明對(duì)任意的n≥0，Γ?Cn．顯見Γ?C1=C，假設(shè)對(duì)某個(gè)k∈N，Γ?Ck，則對(duì)任意的p∈Γ?Ck有:

及

由引理2可知，若Srn為穩(wěn)定非擴(kuò)張，則Srn為相對(duì)擬非擴(kuò)張，考慮un=Srnyn，有φ(p，uk)=φ(p，Srkyk)≤φ(p，yk)≤ φ(p，xk)，即 p∈ Ck+1．因此，Γ ?Cnn=0，1，2，…．

第三步，證明{xn}為Cauchy列．由xn=ΠCnx0，則對(duì)任意z∈Cn，p∈Γ，有〈xn－z，Jx0－Jxn〉≥0及〈xn－p，Jx0－Jxn〉≥0．由引理4，當(dāng)n≥1有 φ(xn，x0)= φ(ΠCnx0，x0)≤φ(p，x0)－φ(p，xn)≤φ(p，x0)，因此序列{φ(xn，x0)}有界．由xn= ΠCnx0，有φ(xn，x0)≤φ(xn+1，x0)，則序列{φ(xn，x0)}非遞減數(shù)列，從而φ(xn，x0)存在．由Cn的結(jié)構(gòu)知，對(duì)任意正整數(shù)m≥n，有Cm?Cn，xm=ΠCmx0∈Cn，則 φ(xm，xn)= φ(xm，ΠCnx0)≤φ(xm，x0)－φ(ΠCnx0，x0)= φ(xm，x0)－φ(xn，x0)，令m，n→0有φ(xm，xn)→0．根據(jù)引理5可得，當(dāng)m，n→0有xm－xn→0．由此可見，{xn}為Cauchy列．設(shè)xn→ω∈C．

移項(xiàng)可得(1－αn)βn(1－βn)g(JT(tn)xn－Jxn)≤φ(p，xn)－φ(p，un)．另一方面有:

第五步，證明ω∈MEP(θ，φ)=Ω =F(Sr)．由Cn的結(jié)構(gòu)可知φ(z，un)≤φ(z，xn)，又因un=Srnyn和引理2可得:

φ(un，yn)= φ(Srnyn，yn)≤φ(p，yn)－ φ(p，Srnyn)≤φ(p，xn)－ φ(p，Srnyn)= φ(p，xn)－ φ(p，un)當(dāng)n→∞ 時(shí)φ(p，xn)－φ(p，un)→0，所以當(dāng)n→∞ 時(shí)φ(un，yn)→0．由引理5得yn－ un=0，所以Jyn－Jun=0，從而，．另外，u=Sy有 θ(u，y)+φ(y)－ φ(u)+

nrnnnn〈y－un，Jun－Jyn〉≥0，?y∈C，由于θ的單調(diào)性和φ的下半連續(xù)性，注意到

當(dāng)n→∞ 時(shí)，un→ω，θ(x，y)關(guān)于第二變量凸下半連續(xù)性，所以θ(y，ω)+φ(ω)－φ(y)≤0，即θ(ω，y)+φ(y)≥φ(ω)，?y∈C，則可得ω∈MEP(θ，φ)=Ω =F(Sr)．綜上可知ω∈Γ．

第六步，證明ω =ΠΓx0．因xn=ΠCnx0，對(duì)所有的z∈Cn，有〈xn－z，Jx0－Jxn〉≥0且對(duì)任意的p∈ Γ，有〈xn－p，Jx0－Jxn〉≥0，則可知〈ω －p，Jx0－Jω〉≥0，?p∈Γ，再根據(jù)引理3可得ω =ΠΓx0．

綜上所述，定理1證明完畢．