鄒陽(yáng)，蔡金錠，甘露

(福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建福州 350116)

0 引言

油紙復(fù)合絕緣系統(tǒng)存在于電力變壓器、電容器和電力電纜等高壓設(shè)備中．通過(guò)診斷油紙絕緣狀態(tài)可以評(píng)估電力設(shè)備的總體絕緣狀況．回復(fù)電壓法(RVM)、極化/去極化電流法(PDC)和頻域介電譜(FDS)作為一種新的無(wú)損診斷工具已經(jīng)在國(guó)內(nèi)外廣泛應(yīng)用于電氣設(shè)備，尤其是電力變壓器絕緣系統(tǒng)的微水含量評(píng)估［1－2］．目前，絕大部分的研究主要集中在利用試驗(yàn)手段定性地判斷絕緣系統(tǒng)的受潮及老化狀況［3－5］．此外，還有部分研究者從等效電路模型及其參數(shù)變化的角度去分析絕緣特征量的變化規(guī)律［6－9］，該方法把絕緣系統(tǒng)微觀機(jī)構(gòu)在極化響應(yīng)中提供的信息分開(kāi)來(lái)，從而使研究宏觀物質(zhì)與微觀結(jié)構(gòu)關(guān)系變得特別方便．

在等效模型及參數(shù)研究方面，大部分學(xué)者傾向于使用擴(kuò)展德拜模型．在該模型基礎(chǔ)上，TK Saha等［6］中利用極化/去極化電流辨識(shí)等效模型參數(shù)，但由于PDC測(cè)量對(duì)噪聲敏感，易受干擾導(dǎo)致測(cè)量誤差，不利于準(zhǔn)確辨識(shí)參數(shù)．Xu Shuzhen等［7］分別利用回復(fù)電壓法及頻域介電譜法辨識(shí)模型參數(shù)，但在辨識(shí)過(guò)程中忽略了積分下限而使得辨識(shí)結(jié)果不夠精確．文獻(xiàn)［8］中利用回復(fù)電壓法中的極化譜(Urmax－tc)特征量——初始斜率、回復(fù)電壓最大值及峰值時(shí)間來(lái)求解電路參數(shù)．但是求解參數(shù)時(shí)需要的已知量較多，當(dāng)僅有為數(shù)不多的回復(fù)電壓響應(yīng)曲線(Ur－t)而非極化譜時(shí)此法無(wú)法奏效．此外，S．Birlasekaran在文獻(xiàn)［9］中采用回復(fù)電壓響應(yīng)曲線求模型參數(shù)，利用運(yùn)算電路法推導(dǎo)回復(fù)電壓的數(shù)學(xué)模型，但該數(shù)學(xué)模型相當(dāng)復(fù)雜，涉及高次的傳遞函數(shù)零極點(diǎn)的求解．為建立相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，本文在擴(kuò)展德拜模型的基礎(chǔ)上，依據(jù)回復(fù)電壓測(cè)試原理推導(dǎo)了回復(fù)電壓時(shí)域響應(yīng)的狀態(tài)空間模型，并結(jié)合自適應(yīng)粒子群算法進(jìn)行未知參數(shù)求解．

1 介質(zhì)響應(yīng)理論及油紙絕緣系統(tǒng)等效模型

油紙絕緣系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是一種電介質(zhì)，任何電介質(zhì)在外加電場(chǎng)作用下會(huì)產(chǎn)生電導(dǎo)和極化現(xiàn)象．極化現(xiàn)象又分為由瞬時(shí)位移極化產(chǎn)生的無(wú)損極化和由偶極子轉(zhuǎn)向極化、界面極化、空間電荷極化等組成的有損極化(亦稱(chēng)為松弛極化)．絕緣的老化主要影響的是松弛極化，其老化信息隱藏在松弛極化現(xiàn)象中［10］．在恒定電場(chǎng)中，松弛極化隨著時(shí)間的變化表現(xiàn)出惰性，而串聯(lián)的電阻電容電路與松弛極化有相同的效應(yīng)，故經(jīng)典的“德拜”模型用一個(gè)電阻和電容串聯(lián)來(lái)等效單一電介質(zhì)的松弛極化過(guò)程．后來(lái)，Jonscher［11］指出復(fù)合電介質(zhì)的松弛極化可以用n個(gè)RC串聯(lián)支路并聯(lián)來(lái)等效，在數(shù)學(xué)上表示為n個(gè)松弛單元的指數(shù)函數(shù)之和．

將外電場(chǎng)作用下的電導(dǎo)、無(wú)損極化和松弛極化現(xiàn)象都考慮在內(nèi)，絕緣油紙系統(tǒng)的等效電路可以用擴(kuò)展德拜模型表示，如圖1．圖中R0為絕緣電阻，反映了油紙絕緣系統(tǒng)的電導(dǎo)現(xiàn)象;C0為幾何電容，表示真空幾何電容及無(wú)損極化的等效電容之和;其它的RC串聯(lián)支路表示時(shí)間常數(shù)為τi=RiCi的松弛極化［12］．目前，該線性模型已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于電力變壓器復(fù)合油紙絕緣特性的研究中［6－9］．

圖1 基于擴(kuò)展德拜模型的介質(zhì)響應(yīng)等效電路Fig．1 Dielectric response equivalent circuit based on extended Debye model

2 回復(fù)電壓時(shí)域響應(yīng)的狀態(tài)空間建模

擴(kuò)展德拜模型中的電路參數(shù)該如何辨識(shí)，首先需要建立起合理的數(shù)學(xué)模型，本文以回復(fù)電壓測(cè)試法［8］為理論依據(jù)進(jìn)行推導(dǎo)．

回復(fù)電壓法測(cè)試的第一步是用直流電壓U0對(duì)絕緣系統(tǒng)充電tc時(shí)間，電壓UCi和電容Ci滿足等式:

第二步，將絕緣系統(tǒng)短路td時(shí)間后，UCi的表達(dá)式為:

最后，絕緣系統(tǒng)開(kāi)路，根據(jù)基爾霍夫定律，剩余極化產(chǎn)生的回復(fù)電壓Ur(t)和電容電壓UCi滿足下面兩個(gè)等式:

其中:t為測(cè)量時(shí)間;UCi是支路i的極化電容的電壓．

公式(3)和(4)經(jīng)整理變形后可得:

將式(5)轉(zhuǎn)換為矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式:

其中:UC1，…，UCn和Ur稱(chēng)為狀態(tài)變量，其初始條件可以通過(guò)方程(1)和(2)計(jì)算得到:

方程(6)和方程(5)是等價(jià)的，其系統(tǒng)矩陣中包含等效電路中的2(n+1)個(gè)未知參數(shù)，即R0、C0、Ri、Ci(i=1，2，…，n)，待進(jìn)一步辨識(shí)．值得注意的是，方程(5)是個(gè)多解方程組．如果{R0，C0，R1，C1，…，Rn，Cn}是方程(5)的一個(gè)解，那么{R0×K，C0/K，R1×K，C1/K，…，Rn×K，Cn/K}也是方程(5)的解，其中K為任意正實(shí)數(shù)．但是，無(wú)論K取何值，各支路的時(shí)間常數(shù)τi=RiCi始終是定值．

公式(6)、(7)的狀態(tài)空間方程可以簡(jiǎn)寫(xiě)為［13］:

其中:x為狀態(tài)變量;y為輸出變量;A為系統(tǒng)矩陣;C為輸出矩陣．

方程(9)為線性定常齊次狀態(tài)方程．若初始時(shí)刻的狀態(tài)給定為x(t0)=x0，則式(9)有唯一確定解:

若初始時(shí)刻從t=0開(kāi)始，即x(0)=x0，則其解為

其中:eAt被稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，它不是一個(gè)常數(shù)矩陣，它的元素一般是時(shí)間的函數(shù);從時(shí)間的角度而言，這意味著它使?fàn)顟B(tài)變量隨著時(shí)間的推移，不斷地在狀態(tài)空間內(nèi)作轉(zhuǎn)移．利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以從任意指定的初始時(shí)刻x(t0)，求得任意時(shí)刻t的狀態(tài)變量x，然后再根據(jù)方程(10)即可計(jì)算出輸出變量y．

eAt的直接求解表達(dá)式為:

這個(gè)公式如果通過(guò)手工計(jì)算是很困難的，但是在計(jì)算機(jī)上可以利用MATLAB中的“initial．m”或“control．m”函數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)的x0、A、C求解出輸出量y．

3 結(jié)合改進(jìn)粒子群算法實(shí)現(xiàn)參數(shù)辨識(shí)

3．1 自適應(yīng)粒子群算法

粒子群(PSO)算法的核心思路是通過(guò)跟蹤粒子當(dāng)前的局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解來(lái)更新粒子的速度和位置，當(dāng)達(dá)到中止條件時(shí)，將當(dāng)前的全局最優(yōu)解作為該問(wèn)題的最優(yōu)解［14］．為提高標(biāo)準(zhǔn)粒子群的效率及保證收斂，通常采用帶線性遞減的慣性權(quán)重或收縮因子的粒子群．本文將使用Clerc［15］提出的采用收縮因子粒子群算法(CPSO)為基本粒子群，并在其基礎(chǔ)之上略加改進(jìn)．

設(shè)種群搜索空間大小為X，粒子Pi的位置Xi=(xi1，xi2，…，xin)，速度Vi=(vi1，vi2，…，vin)，個(gè)體極值Pbi=(Pbi1，Pbi2，…，Pbin)，種群全局極值Pgi=(Pgi1，Pgi2，…，Pgin)．CPSO的粒子速度和位置更新公式為:

其中:μ=0．729為收縮因子，用來(lái)控制速度的權(quán)值;r1和r2為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù);c1和c2為學(xué)習(xí)因子，通常取為2．

CPSO算法雖然收斂快速，但粒子在不斷迭代的過(guò)程中迅速喪失種群的多樣性，向局部最優(yōu)解聚攏，呈現(xiàn)趨同性，容易發(fā)生早熟現(xiàn)象［14］．因此本文在CPSO算法中引入變異和交叉算子，使種群獲得新的基因，改變粒子群的前進(jìn)方向，讓粒子進(jìn)入其它區(qū)域進(jìn)行搜索，從而降低其陷入局部最優(yōu)的可能性［16］．因其具有自動(dòng)適應(yīng)粒子在搜索過(guò)程中的不同分布情況而調(diào)整搜索方向的功能，故屬于自適應(yīng)粒子群算法(簡(jiǎn)寫(xiě)為ACPSO)．

對(duì)所有粒子速度的各維分配分布于［0，1］的隨機(jī)數(shù)λi，判斷小于給定的變異率pm，則該粒子速度的該維相量按公式(16)在解空間重新初始化，即:

式中:vmax和vmin分別為vid的上下限;r為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)．對(duì)m個(gè)粒子都實(shí)施上述變異操作，則種群變異完成．在進(jìn)行變異操作后，各粒子迄今找到的最優(yōu)位置仍然記憶．接著，對(duì)變異后的種群再按照給定的交叉率pc進(jìn)行粒子位置交換，生成新的種群，然后進(jìn)入新一輪的尋優(yōu)搜索．

原文：Such an attachment from so true and loyal a gentleman could make no woman angry.

3．2 等效電路參數(shù)的辨識(shí)

3．2．1 適應(yīng)度函數(shù)的建立

根據(jù)模型特點(diǎn)建立合理的適應(yīng)度函數(shù)是影響粒子群尋優(yōu)效果的重要因素之一．本文引入平均相對(duì)誤差(MRE)［9］作為適應(yīng)度函數(shù)，同時(shí)它也是評(píng)估計(jì)算值與測(cè)量值之間的誤差指標(biāo)．

其中:Nc為參與計(jì)算的不同充電時(shí)間的回復(fù)電壓響應(yīng)曲線的條數(shù);Ns為每條回復(fù)電壓響應(yīng)曲線上的采樣點(diǎn)數(shù);Nall為全部的采樣點(diǎn)數(shù)，Nall=Nc×Ns．UMeas、UCalc分別為同一充電時(shí)間、同一時(shí)刻下，回復(fù)電壓曲線的采樣值和通過(guò)狀態(tài)空間方程(6)、(7)輸出的回復(fù)電壓計(jì)算值．理想情況下，采樣值與計(jì)算值的差為零．

3．2．2 算法流程

設(shè)未知量X=［R0，C0，R1，C1，…，Rn，Cn］，通過(guò)以下步驟實(shí)現(xiàn)對(duì)未知參數(shù)的辨識(shí)．

Step1:初始化粒子群．初始化粒子位置X、速度v、個(gè)體極值Pb、全局極值Pg，設(shè)置最大迭代次數(shù)Tmax和收斂精度e及變異率pm和交叉率pc;

Step2:調(diào)用子函數(shù)計(jì)算各個(gè)粒子的適應(yīng)度值．該子函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間方程(6)、(7)的計(jì)算，得到UCalc后將其代入公式(17)求出適應(yīng)度值;

Step3:確定各粒子的個(gè)體極值Pbi和全局極值Pgi;

Step4:根據(jù)式(14)和(15)更新粒子的速度和位置．更新后的速度和位置必須在其限值范圍內(nèi)，若超出范圍，則將該速度和位置限制在它們的上、下限值;

Step5:交叉與變異．依據(jù)變異率pm和交叉率pc及公式(16)生成新的種群;

Step6:判斷全局最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值是否滿足精度要求或者達(dá)到最大迭代次數(shù)．如果滿足終止判據(jù)，則輸出該問(wèn)題的最優(yōu)解，令其為最后一次迭代更新的全局最優(yōu)解;否則返回Step2．

4 實(shí)例驗(yàn)證

文獻(xiàn)［9］提供了一臺(tái)300 MV·A油紙絕緣變壓器的回復(fù)電壓測(cè)試曲線，見(jiàn)圖2．測(cè)試當(dāng)天天氣晴朗，現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境基本無(wú)干擾．充電電壓U0=100 V，充電時(shí)間分別設(shè)置為tc=1、3、6、10、30、60、100、300、600、1 000 s;充放電時(shí)間比 tc∶td為2 ∶1，結(jié)合文獻(xiàn)［6］和［9］的結(jié)論，支路數(shù) n取3、4、5、6、7．

首先，先選取文獻(xiàn)中最常用到的n=6條支路進(jìn)行擬合．對(duì)10條不同充電時(shí)間的回復(fù)電壓曲線采樣，每條曲線采50個(gè)點(diǎn)，然后將采樣值UMeas帶入方程(17)，并根據(jù)3．2．2節(jié)介紹的算法流程進(jìn)行尋優(yōu)，X的變化范圍設(shè)置為［0．01，300］．10條充電時(shí)間不同的回復(fù)電壓響應(yīng)曲線的測(cè)量值與計(jì)算值的比較見(jiàn)圖2，表1是n=6時(shí)的等效電路參數(shù)辨識(shí)結(jié)果．從圖2的對(duì)比來(lái)看，計(jì)算值與測(cè)量值的誤差很小，大部分曲線，特別是tc=10、30、300 s基本重合，證明了本文所提出的辨識(shí)方法的有效性．

圖2 回復(fù)電壓測(cè)量曲線與計(jì)算曲線對(duì)比圖Fig．2 RVM spectrum of measured and calculated

表1 n=6時(shí)的等效電路參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab．1 Fitted ED model parameters and its time constants at n=6

接著，分別選取n=3、4、5、7條支路進(jìn)行擬合計(jì)算．表2給出了模型弛豫支路數(shù)n不同時(shí)，辨識(shí)出的各條支路的時(shí)間常數(shù)及辨識(shí)誤差，圖3描出了n個(gè)不同時(shí)10條曲線的MRE值．圖中的每個(gè)點(diǎn)代表相應(yīng)充電時(shí)間tc的單條回復(fù)電壓曲線的平均相對(duì)誤差．

表2 n不同時(shí)的時(shí)間常數(shù)及MRE值Tab．2 Relaxation time constant and MRE at different n

從表2中的MRE的變化規(guī)律看，當(dāng)支路數(shù)n≤5時(shí)，其值逐漸減小，n=6時(shí)達(dá)到最小，當(dāng)n=7時(shí)其值又略增大了些．由圖3曲線可以看出，當(dāng)n=5、6、7這三種情況時(shí)，辨識(shí)誤差相差甚微．當(dāng)n=3、4時(shí)，tc=1 s的回復(fù)電壓響應(yīng)曲線的擬合效果最差;當(dāng)n=5、6、7時(shí)，tc=100 s的回復(fù)電壓響應(yīng)曲線的擬合效果最差．總體上，n=5、6、7的擬合誤差比n=3、4來(lái)的小，效果更好，僅在tc=100 s時(shí)擬合效果不理想:

因此，從表2和圖3的分析來(lái)看，針對(duì)該臺(tái)變壓器，選擇6條支路進(jìn)行辨識(shí)最合適，根據(jù)有兩點(diǎn):一是其MRE值最小，僅為2．049 9%;二是除了tc=100 s這條曲線的MRE值比n=3和4的擬合誤差大外，其他9條曲線的擬合結(jié)果都更好．

最后，與文獻(xiàn)［9］所算結(jié)果作個(gè)對(duì)比．本文所采用的誤差指標(biāo)與文獻(xiàn)［9］相同，觀察表2的MRE值，最大為4．065 2%，最小為2．049 9%，遠(yuǎn)比文獻(xiàn)［9］的變化幅度?。?列出了文獻(xiàn)［9］中僅給出的7條支路的詳細(xì)參數(shù)及擬合誤差3．3%，而本文所計(jì)算的參數(shù)結(jié)果與其并不一樣，7條支路的誤差僅為2．051 6%，且計(jì)算的回復(fù)電壓曲線較前者重合度高;特別地，前者在tc=10和tc=30 s這兩條曲線的擬合效果明顯比較差(詳見(jiàn)文獻(xiàn)［9］的圖10)．故從數(shù)學(xué)擬合角度上看說(shuō)該方法比文獻(xiàn)［9］的辨識(shí)方法更佳．

圖3 n不同時(shí)的單條回復(fù)電壓曲線MRE值對(duì)比圖Fig．3 Comparison of MRE of each RVM response fitting

表3 n=7時(shí)本文結(jié)果與文獻(xiàn)［9］結(jié)果對(duì)比Tab．3 The paper’s results compare with reference［9］at n=7

5 結(jié)語(yǔ)

本文建立了利用回復(fù)電壓響應(yīng)曲線辨識(shí)油紙絕緣系統(tǒng)等效電路參數(shù)的狀態(tài)空間模型，結(jié)合自適應(yīng)粒子群算法有效求解出電路參數(shù)，并實(shí)例辨識(shí)了一臺(tái)油紙絕緣變壓器的等效電路參數(shù)，通過(guò)辨識(shí)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的回復(fù)電壓曲線與測(cè)量曲線的對(duì)比，驗(yàn)證了本文提出的辨識(shí)方法是可行的．此外，還對(duì)比了采用不同支路數(shù)后的辨識(shí)情況，得出在本文方法下該臺(tái)變壓器選擇6條支路辨識(shí)效果最佳．最后比較了文獻(xiàn)［9］對(duì)該臺(tái)變壓器的辨識(shí)結(jié)果，說(shuō)明了本文方法擬合精度較高．但是，本文對(duì)于支路數(shù)與辨識(shí)結(jié)果的討論都是從數(shù)學(xué)擬合角度來(lái)進(jìn)行分析，有一定的局限性，而實(shí)際物理意義上的關(guān)系及適用性還有待進(jìn)一步研究．