第一作者李喜梅女，博士生，1979年生

通信作者杜永峰男，教授，博士生導(dǎo)師，1962年生

水平雙向地震激勵(lì)下基于序列最優(yōu)控制算法曲線梁橋控制分析

李喜梅1,2，杜永峰1,2(1．蘭州理工大學(xué)西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州730050；2.蘭州理工大學(xué)防震減災(zāi)研究所，蘭州730050)

摘要：針對(duì)曲線梁橋在地震作用下出現(xiàn)的平扭耦合作用對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的不利影響，將隔震技術(shù)與附加減震裝置相結(jié)合對(duì)平扭耦合進(jìn)行控制。建立考慮上部結(jié)構(gòu)偏心的曲線梁橋在雙向水平地震作用下的振動(dòng)控制方程，分別采用序列最優(yōu)控制算法(Sequential Optimal Control,SOC)及經(jīng)典線性最優(yōu)控制(Classical linear Optimal Control,COC)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，求解曲線橋兩種控制算法的地震響應(yīng)，并通過比較研究?jī)煞N控制算法的適用性。結(jié)果表明，序列最優(yōu)控制算法較經(jīng)典線性最優(yōu)控制能更有效減小曲線梁橋在水平雙向地震作用下的地震反應(yīng)、抑制結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)，對(duì)減少落梁震害、確保曲線橋抗震安全有較好的工程實(shí)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：曲線橋；雙向地震激勵(lì)；最優(yōu)序列控制

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51178211)

收稿日期：2014-02-10修改稿收到日期：2014-05-09

中圖分類號(hào):TU352.1；U441+.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Curved girder bridges’ control based on sequential optimal control algorithm under two-directional horizontal earthquake

LIXi-mei1,2,DUYong-feng1,2(1. MOE Western Engineering Research Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering， Lanzhou Univ. of Tech.， Lanzhou 730050，China；2. Institute of Earthquake Protection and Disaster Mitigation, Lanzhou Univ. of Tech., Lanzhou 730050, China)

Abstract:Translation-torsion coupling action of curved girder bridges causes adverse effects on structures under earthquake action. Here, the seismic isolation technique and additional damping device were combined to control the translation-torsion coupling of curved girder bridges. The equations of motion for curved girder bridges considering their upper structure’s eccentricity under two-directional horizontal earthquake were established, the sequential optimal control (SOC) and classical linear optimal control (COC) were used to solve the seismic responses of curved girder bridges. The results indicated that the SOC method can more effectively reduce the seismic responses of curved beam bridges under two-directional earthquake and suppress the translation-torsion coupling effects than the COC method can. The study results were valuable for reducing seiamic damage of falling girders and ensuring aseismic safety of curved girder bridges.

Key words:curved bridges; two-directional horizontal earthquake; sequential optimal control (SOC)

曲線梁橋已發(fā)展為大中城市最便捷、直接的交通要道及樞紐[1]。對(duì)普通直線橋梁已有多種減、隔震控制方法，但對(duì)曲線橋的減、隔震研究較少。主動(dòng)控制中控制算法為關(guān)鍵步驟，而半主動(dòng)控制算法往往可基于主動(dòng)控制算法導(dǎo)出，因此研究主動(dòng)控制算法有重要意義[2]。亓興軍等[3-5]采用經(jīng)典最優(yōu)控制算法對(duì)曲線連續(xù)梁橋建立有限元在三維地震動(dòng)下控制效果進(jìn)行分析，但計(jì)算過程需求解非線性Riccati方程，有限元模型自由度數(shù)量太多導(dǎo)致求解嚴(yán)重困難。閻石等[6-9]對(duì)曲線梁橋的振動(dòng)控制研究未考慮地震波水平雙向輸入。而對(duì)曲線橋而言，由于結(jié)構(gòu)本身不規(guī)則性，會(huì)造成縱、橫向地面運(yùn)動(dòng)相互耦合，故應(yīng)考慮地震動(dòng)兩水平分量同時(shí)作用情況。杜永峰等[10]針對(duì)經(jīng)典最優(yōu)控制算法缺點(diǎn)，借鑒離散系統(tǒng)最優(yōu)控制的Bellman最優(yōu)法則，在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)上建立目標(biāo)函數(shù)，導(dǎo)出更一般的序列最優(yōu)控制算法(SOC)，并用于隔震曲線梁橋的控制分析。本文據(jù)曲線梁橋受力特點(diǎn)，考慮隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)剛度中心與質(zhì)量中心不一致造成的平扭耦合地震效應(yīng)，建立隔震曲線梁橋的雙質(zhì)點(diǎn)6自由度簡(jiǎn)化分析模型，采用序列最優(yōu)控制算法(SOC)對(duì)一座三跨隔震曲線連續(xù)梁橋進(jìn)行分析，并與經(jīng)典控制算法對(duì)比。

1模型建立

1.1模型假設(shè)

圖1　曲線梁橋計(jì)算模型簡(jiǎn)圖 Fig.1 Curved bridge deck model

分別將隔震曲線梁橋橋墩及上部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為兩個(gè)各具兩水平x、y自由度與一個(gè)圍繞質(zhì)量中心軸扭轉(zhuǎn)θ自由度的堆積質(zhì)量m1、m2模型系統(tǒng)，橋墩與上部結(jié)構(gòu)為兩質(zhì)點(diǎn)非同軸質(zhì)量偏心結(jié)構(gòu)的分析模型，上下質(zhì)點(diǎn)分別表示曲線橋下、上結(jié)構(gòu)，見圖1。

1.2運(yùn)動(dòng)方程建立

取曲線橋上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線梁橋動(dòng)力方程可表示為

(1)

式中：m1，m2分別為下、上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量；J1，J2分別為下、上部結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[11]；ri為回轉(zhuǎn)半徑；Xmi、Ymi分別為下、上部結(jié)構(gòu)質(zhì)心相對(duì)于參考軸坐標(biāo)；Kxx，Kyy分別為結(jié)構(gòu)在x、y向平動(dòng)剛度，取隔震橋梁結(jié)構(gòu)為剪切型，Kxθ，Kyθ分別為結(jié)構(gòu)x、y向平扭剛度，考慮上、下部結(jié)構(gòu)質(zhì)心與剛心的偏心距及上、下部結(jié)構(gòu)質(zhì)心間偏心距，Kθθ為結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣。

Kθx=KxθT，Kθy=KyθT

式中：Kx1，Ky1與Kx2，Ky2分別為下、上部結(jié)構(gòu)平移剛度；Kxθ12，Kyθ12分別為僅m2發(fā)生x、y向單位位移時(shí)m1需施加的繞z軸力矩；Kθθ12為m1不動(dòng)僅m2發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)m1需施加的繞z軸力矩；Kxθ11，Kxθ22,Kxθ21，Kyθ11，Kyθ22,Kyθ21，Kθθ11，Kθθ22,Kθθ21含義以此類推[12-13]。

阻尼矩陣[C]用分區(qū)瑞利阻尼模型可分解為

[C]=[C0]+[Cr]，(C0)=αs[M]+βs[K]

式中：[Cr]為體現(xiàn)非比例阻尼的余項(xiàng)阻尼矩陣；Cbr=(αb-αs)mb+(βb-βs)kb；[C0]為經(jīng)典瑞利阻尼矩陣；αs，βs，αb，βb分別為下部結(jié)構(gòu)及隔震系統(tǒng)瑞利阻尼比例系數(shù),即

式中：ξs，ξb分別為下部結(jié)構(gòu)及隔震系統(tǒng)瑞利阻尼比例系數(shù)；ωi、ωj為結(jié)構(gòu)第i,j階圓頻率。

將式(1)轉(zhuǎn)化成狀態(tài)空間表達(dá)式，即

2基于狀態(tài)反饋的序列最優(yōu)控制算法

時(shí)域內(nèi)結(jié)構(gòu)最優(yōu)控制算法大多對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，文獻(xiàn)[14-16]中序列最優(yōu)控制算法吸收了幾種常見算法優(yōu)點(diǎn)，并對(duì)現(xiàn)有算法進(jìn)行改進(jìn)，將控制目標(biāo)函數(shù)化解至每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，導(dǎo)出更一般的最優(yōu)控制算法，并用狀態(tài)轉(zhuǎn)移的數(shù)值方法實(shí)現(xiàn)。

2.1基于序列最優(yōu)控制目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制力模型

據(jù)狀態(tài)反饋序列最優(yōu)控制算法構(gòu)造雙向地震作用下二次型控制目標(biāo)函數(shù)為

(2)

式中：{X(t)}為含x，y兩方向的結(jié)構(gòu)響應(yīng)；[Q]，[R]分別為對(duì)應(yīng)兩方向響應(yīng)及控制力的權(quán)重矩陣；t0，tf分別為控制起止時(shí)刻。

將地震波及控制力轉(zhuǎn)化為一系列時(shí)間域脈沖，由于地震動(dòng)及控制力均隨時(shí)間推移逐步輸入至結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，則系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻響應(yīng)由當(dāng)前時(shí)刻脈沖與過去時(shí)刻脈沖響應(yīng)疊加而成，即

{X(t)}={X∑(j-1)(t)}+{Xj(t)}

(3)

式中：下標(biāo)“∑(j-1)”代表直到第(j-1)個(gè)步長(zhǎng)上(過去時(shí)刻)脈沖影響總和。

將式(3)代入式(2)構(gòu)造Lagrange函數(shù)，原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題。因當(dāng)前時(shí)刻脈沖只影響當(dāng)前時(shí)刻及未來時(shí)刻響應(yīng)，對(duì)過去時(shí)刻響應(yīng)無影響，因此將純粹含過去時(shí)刻脈沖影響控制目標(biāo)函數(shù)分離，引用最優(yōu)控制理論的泛函極值條件，可得結(jié)構(gòu)最優(yōu)控制的一般表達(dá)式為

{fc(tA)}=-[R]-1[B]T{λ(tA)}

(4)

(5)

(6)

式中：tA為當(dāng)前時(shí)刻，式(5)、(6)定義域?yàn)閇tA,tf]。

2.2基于狀態(tài)反饋的序列最優(yōu)控制算法實(shí)現(xiàn)

在式(5)中直接求解{λ}，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移算法得

(7)

利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移算法，由式(6)建立遞推公式為

式中：m為終了時(shí)刻時(shí)間步長(zhǎng)數(shù)。

(9)

式(7)中取k=m，引入終值條件λ(tA+mΔt)=0，將式(9)代入式(7)并反復(fù)逆向遞推，最終得

{λ(tA)}=-Δt[QA(m)]({X(tA)}+

(10)

[QA(m)]=e-[Aλ]mΔt [Qλ]e[A]mΔt+

e-[Aλ](m-1)Δt [Qλ]e[A](m-1)Δt+…+

e-[Aλ]Δt [Qλ]e[A]Δt

(11)

將式(11)代入式(4)可求得狀態(tài)反饋時(shí)距控制終了時(shí)刻m個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的理想控制力，即

{fc(tA)}=Δt[IRX(m)]{X(tA)}+

(12)

式中：

[IRX(m)]=[IQ(m)]-1[RQ(m)]

{ERX(m)}=[IRX(m)]{E}

[IQ(m)]=[I]-(Δt)2[RQ(m)][B]

[RQ(m)]=[R]-1[B]T[QA(m)]

式中：IRX(m)，ERX(m)為最優(yōu)控制力系數(shù)，可由此求出每個(gè)時(shí)刻的最優(yōu)控制力。

較經(jīng)典最優(yōu)控制算法，序列最優(yōu)算法在求解過程中未對(duì)目標(biāo)函數(shù)預(yù)先引用近似簡(jiǎn)化條件，除將地震波轉(zhuǎn)化為一系列脈沖、采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移數(shù)值算法本身誤差外，該算法建立的模型在概念上更精確。

3隔震曲線連續(xù)梁橋算例及討論

3.1工程背景

某立交匝道上一聯(lián)圓曲線連續(xù)梁橋，跨徑3×20 m，曲率半徑R=50 m，圓心角θ=69°，主梁為單箱單室箱梁。為簡(jiǎn)化分析，用獨(dú)柱式圓形橋墩，直徑1.5 m，墩高5 m，墩底固結(jié)，每個(gè)墩頂布置圓形鉛芯橡膠支座。下部結(jié)構(gòu)阻尼比ξs=0.05，隔震層水平阻尼比ξb=0.15，上部結(jié)構(gòu)質(zhì)心為整體坐標(biāo)系原點(diǎn)。曲線橋梁有限元模型由107個(gè)節(jié)點(diǎn)、106個(gè)單元組成。平面布置及有限元模型見圖2。

圖2　曲線梁橋布置圖 Fig.2 Curved bridge layout

圖3　徑向、切向阻尼 器布置示意圖 Fig.3 The dampers arrangement for radial and tangential

每個(gè)橋墩處切向、徑向各設(shè)置一組理想智能控制器連接墩臺(tái)與主梁，最大阻尼力2 000 kN，見圖3。采用狀態(tài)反饋序列最優(yōu)控算法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行控制，設(shè)控制器能實(shí)時(shí)提供所需控制力，且不計(jì)時(shí)滯及自身動(dòng)力效應(yīng)。地震激勵(lì)采用常用的3種地震波進(jìn)行分析，在結(jié)構(gòu)x向、y向分別同時(shí)輸入El-Centro、Kobe及Northridge地震波南北及東西分量。為比較方便，加速度峰值x方向調(diào)整為250 cm/s2，y方向調(diào)整為220 cm/s2，分別求隔震曲線梁橋在無、有控狀態(tài)下的地震響應(yīng)。

3.2控制效果分析

3圖看出，或El-Centro地震波，或Kobe、Northridge地震波，推導(dǎo)的序列最優(yōu)控制算法(SOC)與經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)消減曲線橋結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)作用相當(dāng)，而序列最優(yōu)控制算法(SOC)更有效。因此對(duì)總體控制效果而言，序列最優(yōu)控制算法優(yōu)于經(jīng)典最優(yōu)控制算法。如輸入El-Centro地震波，由圖4可知上部結(jié)構(gòu)x、y向最大位移控制率分別為51.7%及38.3%，且不僅最大值減小，在時(shí)程幾乎所有時(shí)刻均有不同程度減小。

圖4　輸入El-Centro波上部結(jié)構(gòu)位移時(shí)程圖 Fig.4 Displacement of superstructure under El-Centro

圖5　輸入Kobe波上部結(jié)構(gòu)位移時(shí)程曲線 Fig.5 Displacement of superstructure under Kobe

圖6　輸入Northridge波上部結(jié)構(gòu)位移時(shí)程曲線 Fig.6 Displacement of superstructure under Northridge

輸入El-Centro波、Kobe波、Northridge波下上部結(jié)構(gòu)的x、y向及扭轉(zhuǎn)角加速度控制時(shí)程曲線見圖7～圖9。由3圖看出，或El-Centro地震波，或Kobe、Northridge地震波，在同等控制能量條件下推導(dǎo)的序列最優(yōu)控制算法(SOC)消減結(jié)構(gòu)最大峰值加速度及結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)角加速度效果較經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)均更有效。在Kobe地震動(dòng)初期加速度反應(yīng)值有局部放大現(xiàn)象，因原結(jié)構(gòu)施加控制力或添加控制裝置后會(huì)改變結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性，部分時(shí)間點(diǎn)加速度可能增大，但大部分時(shí)間點(diǎn)加速度均會(huì)減小，能達(dá)減震控制目的。

圖7　輸入El-Centro波上部結(jié)構(gòu)絕對(duì)加速度時(shí)程曲線 Fig.7 Superstructure absolute acceleration under El-Centro

圖8　輸入Kobe波上部結(jié)構(gòu)絕對(duì)加速度時(shí)程曲線 Fig.8 Superstructure absolute acceleration under Kobe

圖9　輸Northridg波上部結(jié)構(gòu)絕對(duì)加速度時(shí)程曲線 Fig. 9 Superstructureabsolute acceleration under Northridg

曲線梁橋在El-Centro波輸入下，無控、序列最優(yōu)控制算法(SOC)及經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)三種不同控制策略響應(yīng)最大值見表1。由表1看出，兩種控制算法控制效果均較好，但在相同能量指標(biāo)下，序列最優(yōu)控制算法(SOC)位移、加速度最大值較經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)小，控制效果更明顯。在Kobe、Northridge地震波作用下，規(guī)律相同。

表1　El-Centro波下不同控制策略響應(yīng)最大值

由于墩頂共布置8 個(gè)控制器，分析單個(gè)控制器的控制力大小對(duì)比較兩種算法控制效率意義不大。因此分別將布置在徑向與切向4個(gè)控制器的控制力迭加，獲得x、y向控制力合力時(shí)程。結(jié)構(gòu)在同等控制能量條件下El-Centro波輸入的x、y向控制力合力時(shí)程曲線見圖10。由圖10看出，在時(shí)程曲線開始段，序列最優(yōu)控制算法(SOC)控制力高于經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)，而在時(shí)程曲線尾部序列最優(yōu)控制算法(SOC)控制力低于經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)。故序列最優(yōu)控制算法(SOC)所得控制力幅值隨結(jié)構(gòu)響應(yīng)衰減快速減小，在地震動(dòng)峰值較大階段能更好發(fā)揮控制效果。

圖10　輸入El-Centro波控制力時(shí)程曲線 Fig.10 The control force of time-history curve under El-Centro

4結(jié)論

曲線橋因受偏心及多維地震動(dòng)作用，使結(jié)構(gòu)反應(yīng)表現(xiàn)出平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)的耦聯(lián)效應(yīng)。本文考慮曲線橋的偏心及多維地震動(dòng)輸入，通過序列最優(yōu)控制算法(SOC)，對(duì)曲線橋地震反應(yīng)進(jìn)行控制分析，結(jié)論如下：

(1)本文所用序列最優(yōu)控制算法無需求解Riccati方程，計(jì)算量小，未預(yù)先對(duì)目標(biāo)函數(shù)引用近似簡(jiǎn)化，僅將地震波轉(zhuǎn)化為一系列脈沖及采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移的數(shù)值算法本身誤差外，本算法在概念上更合理。

(2)采用序列最優(yōu)控制算法(SOC)使上部結(jié)構(gòu)角加速度響應(yīng)及扭轉(zhuǎn)角位移響應(yīng)均得到顯著減小，由因曲線橋偏心引起的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)得以降低，并使上部結(jié)構(gòu)x、y向位移及加速度響應(yīng)得到有效控制。

(3)同等控制能量條件下，序列最優(yōu)控制算法(SOC)在時(shí)程曲線尾部可降低控制力輸入、節(jié)約輸入能量。因此SOC控制效能更高。

參考文獻(xiàn)

[1]孫廣華. 曲線梁橋計(jì)算[M]. 北京：人民交通出版社,1997.

[2]李宏男,李忠獻(xiàn),祁皚. 結(jié)構(gòu)振動(dòng)與控制[M]. 北京: 中國(guó)建筑工業(yè)出版社, 2005.

那么推什么？一言以蔽之，就是推進(jìn)廉潔政治建設(shè)。干部清正、政府清廉、政治清明，是習(xí)近平總書記推進(jìn)反腐倡廉建設(shè)思想的目標(biāo)和理念。干部清正，不僅僅對(duì)執(zhí)政黨自身的建設(shè)和國(guó)家政權(quán)體系的建設(shè)有利，更是對(duì)整個(gè)社會(huì)風(fēng)氣的健康發(fā)展有重要作用。清廉是共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)的人民政府應(yīng)有的本質(zhì)特征。政治清明，是社會(huì)主義國(guó)家的內(nèi)在要求。中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)廣大人民群眾進(jìn)行民主政治建設(shè)，理應(yīng)是清明的政治。

[3]亓興軍, 申永剛. 三維地震動(dòng)作用下曲線連續(xù)梁橋減震控制研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(6): 119-125.

QI Xing-jun,SHEN Yong-gang. Seismic mitigation control for a curved continuous girder bridge with 3-D ground motion action[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(6): 119-125.

[4]亓興軍,李小軍,唐暉. 曲線橋彎扭耦合減震半主動(dòng)控制分析[J]. 公路交通科技, 2006, 23(9): 54-57.

QI Xing-jun, LI Xiao-jun, TANG Hui. Study on semi-active control of seismic bend torsion coupling for curved bridge[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2006, 23(9): 54-57.

[5]全偉,李宏男. 曲線橋多維多點(diǎn)地震激勵(lì)半主動(dòng)控制分析[J]. 工程力學(xué), 2009,26 (3): 79-85.

QUAN Wei , LI Hong-nan.Semi-active control of curved bridge under multi-component and multi-support earthquake [J]. Engineering Mechanics, 2009,26 (3): 79-85.

[6]閻石, 張海. 高架橋地震反應(yīng)半主動(dòng)控制分析[J]. 地震程與工程振動(dòng), 2003, 23(6): 169-173.

[7]陳水生. 高架橋梁地震響應(yīng)磁流變阻尼器(MR)半主動(dòng)控制[J]. 長(zhǎng)安大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2003,23(6): 40-43.

CHEN Shui-sheng.Magneto-rheological(MR) dampers semi-active control of earthquake response for elevated bridge[J]. Journal of Chang`an University(Natural Science Edition), 2003,23(6): 40-43.

[8]李忠獻(xiàn),岳福清. 城市隔震高架橋地震反應(yīng)的半主動(dòng)控制[J].土木工程學(xué)報(bào),2007,40(1):42-48.

LI Zhong-xian, YUE Fu-qing, Semi-active control on seismic responses of vibr ation-insulated urban elevated br idges[J]. China Civil Engineering Journal, 2007,40(1):42-48.

[9]陳送財(cái),李錦華. 高架橋地震響應(yīng)的半主動(dòng)控制研究[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010.33(7):1053-1056.

CHEN Song-cai,LI Jin-hua. Semi-active control on seismic responses of elevated highway bridges[J]. Journal of Hefei University of Technology(Natural Science), 2010,33(7): 1053-1056.

[10]杜永峰,劉彥輝,李慧. 雙向偏心結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)地震反應(yīng)的序列最優(yōu)控制[J]. 地震工程與工程振動(dòng),2007,27(4):133-138.

DU Yong-feng,LIU Yan-hui,LI Hui.Sequential optimal control of torsional coupled seismic response for bidirectionally eccentric structure [J]. Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration,2007,27(4): 133-138.

[11]李宏男,霍林生. 結(jié)構(gòu)多維減震控制[M].北京:科學(xué)技術(shù)出版社,2008.

[12]王麗,周錫元,閆維明. 曲線梁橋地震響應(yīng)的簡(jiǎn)化分析方法[J].工程力學(xué),2006,23(6): 77-84.

WANG Li,ZHOU Xi-yuan,YAN Wei-ming. Simplified analysis method for seismic response of curved bridges[J]. Engineering Echanics,2006,23(6): 77-84.

[13]黨育. 復(fù)雜隔震結(jié)構(gòu)的分析與軟件實(shí)現(xiàn)[D]. 武漢:武漢理工大學(xué), 2011.

[14]杜永峰. 被動(dòng)與智能隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析及控制算法[D].大連：大連理工大學(xué),2003.

[15]Chi Y, Sain M K, Pham K D, et al. Structural control paradigms for an asymmetric building[C]. Proceedings of the 8th ASCE Special Conference on Probabilistic Mechanics and Structural Reliability, 2000:152.

[16]杜永峰,李慧,趙國(guó)藩. 地震作用下結(jié)構(gòu)振動(dòng)最優(yōu)控制的一種一般算法[J].大連理工大學(xué)學(xué)報(bào),2004,44(6):864-869.

DU Yong-feng, LI Hui, ZHAO Guo-fan. a general algorithm of the structure vibration optimal control of seismic excitations[J]. Journal of Dalian University of Technology, 2004, 44(6):864-869.