曹巨江， 任　升， 劉言松， 王文將

(陜西科技大學 機電工程學院， 陜西 西安　710021)

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曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的誤差計算與分析

曹巨江， 任升， 劉言松， 王文將

(陜西科技大學 機電工程學院， 陜西 西安710021)

摘要：曲柄群驅(qū)動機構(gòu)是一種新型的驅(qū)動機構(gòu)，對精度要求很高.因此，對其誤差進行計算、分析非常有必要.但由于其結(jié)構(gòu)的復雜性，使得各個誤差之間存在耦合，這為該機構(gòu)的誤差研究帶來了較大的困難.本文對曲柄群驅(qū)動機構(gòu)采用由單元到整體的方法，推導出了一種誤差計算方法，對各個誤差源做了分析，并指出了桿長誤差、間隙等影響下的誤差計算，以及曲柄輸出誤差計算.這為曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的精度實驗研究提供了理論依據(jù).

關(guān)鍵詞：曲柄群機構(gòu)； 誤差計算； 誤差分析

0引言

曲柄群驅(qū)動機構(gòu)應(yīng)用在包裝、煙草和印刷等輕工機械中，常用來驅(qū)動多個平行軸同步轉(zhuǎn)動，如圖1所示.該機構(gòu)各個桿長的制造誤差、各運動副的

間隙、安裝誤差以及各誤差的耦合等，都會影響該機構(gòu)的傳動精度.這些誤差會影響其多個軸轉(zhuǎn)動的同步性[1-3]，其動力學性能也會變差，從而對機器的性能造成很大的影響.因此，找到一種該機構(gòu)的誤差計算方法，對該機構(gòu)的誤差研究以及實際應(yīng)用具有一定的意義.

現(xiàn)有的連桿機構(gòu)的誤差分析理論與方法很多，但多為確定桿機構(gòu)的研究[4].曲柄群驅(qū)動機構(gòu)由于應(yīng)用場合的不同，其曲柄數(shù)以及桿件的布置均有很大差異;此外，曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的結(jié)構(gòu)決定了其誤差存在耦合，這都給該機構(gòu)的誤差研究帶來了困難.本文通過把曲柄群驅(qū)動機構(gòu)先單元后整體的方法，給出了一種關(guān)于該機構(gòu)誤差計算的方法.

圖1　曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的機構(gòu)簡圖

1基本結(jié)構(gòu)單元誤差模型

實際應(yīng)用中，由于場合的不同，對曲柄的數(shù)目以及連桿的長度會提出不同的要求，使得曲柄群驅(qū)動機構(gòu)在曲柄的數(shù)量和布局上存在很大差異，這給該機構(gòu)的統(tǒng)一分析帶來不便.為了簡化問題，考慮到該機構(gòu)所有的曲柄長度相同，相位也相同，任意兩個曲柄均可以組成平行雙曲柄機構(gòu)，這是曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的核心所在，從而可以把平行雙曲柄機構(gòu)作為基本單元結(jié)構(gòu)來對曲柄群驅(qū)動機構(gòu)進行研究.

在理想情況下，曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)為平行雙曲柄機構(gòu)，但由于桿長誤差以及間隙的存在，使得兩曲柄、連桿與機架的長度不一致，也不再嚴格平行[5-7]，此時，其變?yōu)榱艘粋€近似平行雙曲柄機構(gòu)的特殊雙曲柄機構(gòu).

可建立基本誤差模型，如圖2所示.以與機架連接的兩轉(zhuǎn)動副中心連線為x軸、垂直方向為y軸，建立平面直角坐標系.OA′B′C′為理想狀態(tài)下的平行雙曲柄機構(gòu)，曲柄長為Lq；OABC為存在誤差時的近似平行雙曲柄機構(gòu)，OA′與OA重合，OC′與OC重合，主動曲柄、連桿、從動曲柄以及機架的長度分別為L1、L2、L3、L4，主動曲柄與機架的夾角為φ1，AB桿與水平方向的夾角為φ2， BC桿與水平方向的夾角為φ3，Q為連桿上一點，AQ長為m，AQ與AB的夾角為γ，主動曲柄的角速度為ω.

圖2　基本誤差模型

該誤差模型有傳動函數(shù)φ2=φ2(φ1,L1,L2,L3,L4)，當誤差Δφ1和ΔLi非常小時，把該函數(shù)按泰勒級數(shù)展開并忽略二階導數(shù)以上的項[8-12]，可以得到誤差表達式:

(1)

對近似平行雙曲柄機構(gòu)OABC列出矢量封閉方程得:

(2)

(3)

將桿長L1、L2、L3、L4,以及輸入角φ1,分別視為變量，對輸出角φ3求偏導數(shù)，整理可得:

(4)

對于這個近似平行雙曲柄機構(gòu)的特殊雙曲柄機構(gòu)，存在L1≈L3≈Lq,φ1≈φ3,φ2≈0 °,代入式(4)可得:

(5)

對于連桿上的點Q，由于各誤差的存在，會使Q點的坐標產(chǎn)生誤差，我們用ΔQx和ΔQy分別表示x軸與y軸方向上的誤差[5,6].

對OAQ列矢量封閉方程有:

(6)

按歐拉公式展開:

(7)

其誤差為:

(8)

我們研究機構(gòu)存在的誤差對于連桿上某一點Q的誤差影響，在這里，AQ長為m，AQ與AB的夾角為γ，均為定值，即Δm=0，Δγ=0.又φ2≈0 °，L1≈Lq，則有:

(9)

將式(5)代入式(9),得：

(10)

當φ1的值接近0 °時，φ2、φ3與φ1之間的誤差相對于φ1的值不能忽略，此時,需要用展開的歐拉公式(3)計算各個值，然后代入式(4)，從而求得Δφ2.

2曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的誤差計算

在曲柄群驅(qū)動機構(gòu)中，存在多個從動曲柄，有多個輸出，理想情況下，其輸出可以從任意一個包含該從動曲柄的平行雙曲柄機構(gòu)中得到，其輸出是確定的，相互獨立的，不會相互影響.然而，曲柄群驅(qū)動機構(gòu)作為一個整體，每一個從動曲柄的輸出誤差都是由整體機構(gòu)中各個誤差相互耦合的結(jié)果，各個從動曲柄的輸出誤差不能從包含了這個從動曲柄的某一個基本誤差模型而簡單地得到.

從機構(gòu)傳動的角度分析，整體機構(gòu)的運動是:主動曲柄驅(qū)動平面連架桁桿運動，平面連架桁桿帶動從動曲柄運動.因為平面桁架連桿的存在，使得各個從動曲柄的輸出誤差相互耦合，變得復雜.因此,研究平面連架桁桿的誤差是必要的.

對于任意一個含有n個曲柄的曲柄群驅(qū)動機構(gòu)，令其主動曲柄為L1，從動曲柄依次為L2,L3,…,Ln，任意兩個曲柄Li、Lj的桁架桿連接部分的桿長為Lij，任意兩個曲柄Li、Lj的機架連接部分的桿長為Lji，在曲柄Li、Lj和連桿Lij、機架Lji組成的平行雙曲柄機構(gòu)中，曲柄Li、Lj與機架的夾角分別為φij、φji，平面桁架連桿上Q點與曲柄Li和桁架交點的連線，其與連桿Lij的夾角為γij，連桿Lij與機架Lji的夾角為βij，以含有3個曲柄的曲柄群驅(qū)動機構(gòu)為例，如圖3所示.

圖3　含有3個曲柄的曲柄群驅(qū)動機構(gòu)

曲柄Li、Lj和連桿Lij、機架Lji組成的平行雙曲柄機構(gòu)對Q點的誤差影響為

(11)

上述分析某一平行雙曲柄機構(gòu)對Q點的誤差時，是以與機架連接的兩轉(zhuǎn)動副中心連線為x軸、垂直方向為y軸建立的平面直角坐標系，從而計算出的誤差是在該坐標系下的誤差.曲柄群機構(gòu)包含了多個平行雙曲柄機構(gòu)，其所建立的平面直角坐標系不相同，需要把這些誤差值統(tǒng)一在同一個坐標系下.

設(shè)平面直角坐標系O-XY，曲柄Li、Lj和連桿Lij、機架Lji組成的平行雙曲柄機構(gòu)的坐標系為oij-xy，而oij-xy坐標系x軸與O-XY坐標系X軸的夾角為Δij，oij-xy坐標系原點在O-XY坐標系中的值為(xij、yij).以含有3個曲柄的曲柄群機構(gòu)為例，建立如下坐標系，如圖4所示.

圖4　含有3個曲柄的曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的坐標建立

將ΔxQij、ΔyQij變換到坐標系O-XY中,有：

(12)

則綜合后的總誤差為：

(13)

3誤差的分析及控制

對式(11)分析可得，對于ΔXQij、ΔYQij的誤差可分為三部分.

(1)由初始角度誤差Δφi引起的誤差.該項的影響系數(shù)與曲柄長、曲柄的方位角有關(guān).若要減小誤差大小，需要減小Lq、Δφi，即減小曲柄的長度和初始角度誤差.

(2)由各個桿長誤差ΔLi引起的誤差.該項的影響系數(shù)與曲柄的方位角有關(guān).若要減小誤差大小，需要減小ΔLi，即減小各個桿長誤差.

(3)由曲柄的相對長度誤差(ΔLi-ΔLj)、連桿和機架桿的相對長度誤差(ΔLij-ΔLji)引起的誤差.該項的影響系數(shù)與Q點的方位、曲柄長以及曲柄的方位角有關(guān).若要減小誤差大小，可以增加Lq、減小(ΔLi-ΔLj)和(ΔLij-ΔLji)，即增加曲柄的長度、減小曲柄的相對長度誤差以及連桿和機架桿的相對長度誤差.

在理想的情況下，機構(gòu)的結(jié)構(gòu)符合理論設(shè)計，則初始角度誤差不會造成輸出曲柄之間的相對輸出角度誤差，桿長誤差及間隙是導致機構(gòu)偏離理想的主要因素，對這兩個誤差因素的控制尤為重要.

在實際的工程應(yīng)用中，如果通過采取減小各個桿長誤差控制機構(gòu)的誤差，隨著加工精度的提高，會使加工成本大幅增加，因此,最大可能地去減小桿長誤差不是最優(yōu)的方法.

從誤差計算公式中可以看到，曲柄的相對長度誤差(ΔLi-ΔLj)以及連桿和機架桿的相對長度誤差(ΔLij-ΔLji)是誤差的重要來源，從減小曲柄的相對長度誤差、連桿和機架桿的相對長度誤差的角度考慮，這應(yīng)該是個較好的方法.

4各誤差源誤差的計算及輸出誤差的計算

本文推導出的誤差模型可以計算輸出角度誤差、桿長誤差與間隙引起的誤差等.當取Δφ1=0 °，即輸入角度誤差為0，Q點的誤差只與機構(gòu)的各桿的長度以及各個曲柄的相對位置有關(guān).而桿長誤差與間隙，是影響桿機構(gòu)精度的兩個非常重要的因素.

4.1桿長誤差對桁架連桿上一點誤差的影響

式(13)推導出了曲柄群驅(qū)動機構(gòu)桁架連桿上一點誤差的表達式.對于桿長誤差，取Δφ1=0 °，直接代入該式中，可以直接得到桿長誤差下的從動曲柄的輸出誤差大小.

4.2間隙對桁架連桿上一點誤差的影響

對于間隙，該公式也適用.根據(jù)文獻[13]的相關(guān)研究，在研究運動副間隙對曲柄群驅(qū)動機構(gòu)誤差的影響時，可用“含間隙機構(gòu)有效桿長計算模型”來考慮運動副間隙對機構(gòu)的影響.這樣，間隙的影響就轉(zhuǎn)化為了一種桿長誤差，取Δφ1=0 °，式(13)就可以用來計算間隙所引起的從動曲柄的輸出誤差大小.由于有效桿長是變化的，因此，這里的桿長誤差也是動態(tài)的.

4.3從動曲柄輸出誤差的計算

當在選定的Q點接入一個從動曲柄,或者把Q點選在某一從動曲柄與桁架連桿連接處，便可以得到該從動曲柄的輸出誤差.在這種情況下，所有包含該從動曲柄的平行雙曲柄機構(gòu)中的γij為0 °.

式(13)包含了輸入誤差、桿長誤差以及機構(gòu)尺寸等要素，當研究桿長誤差和運動副間隙下的曲柄群驅(qū)動機構(gòu)輸出誤差時，取Δφ1=0 °，建立統(tǒng)一坐標系，得到各個桿件的方位，將桿長、誤差值代入公式，然后分別計算桿長誤差和運動副間隙所引起的曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的輸出誤差.由于桿長誤差與間隙等相對于名義桿長很小，可以認為其對機構(gòu)的誤差影響是相互獨立的，最終誤差為兩者的線性疊加[14].

5結(jié)論

本文從曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的基本單元出發(fā)，推導出了連桿上一點的誤差計算.以此為基礎(chǔ).對整體

機構(gòu)先拆分為多個基本機構(gòu)單元，然后整體綜合考慮，解決了曲柄群驅(qū)動機構(gòu)由于機構(gòu)復雜而帶來的誤差耦合、計算困難的問題.

通過對推導出的誤差公式分析，指出了初始角度誤差、各個桿長誤差,以及桿長相對誤差等,對機構(gòu)整體誤差的影響;同時指出了如何控制這些誤差源對機構(gòu)誤差的影響；還指明了桿長誤差、間隙等是該機構(gòu)的主要誤差源，并采用“含間隙機構(gòu)有效桿長計算模型”對考慮間隙下該機構(gòu)誤差的計算做了初步探索.

參考文獻

[1] 汪玉琪.曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的機構(gòu)學研究及動態(tài)仿真[D].西安：陜西科技大學,2013.

[2] 汪玉琪,曹巨江.曲柄群驅(qū)動機構(gòu)概述[J].機械傳動,2013,39(4):134-136.

[3] 汪玉琪,曹巨江.曲柄群驅(qū)動機構(gòu)的運動特點研究[J].機械傳動,2013,37(4):79-81.

[4] 師忠秀,楊倩,程強.連桿機構(gòu)誤差分析與綜合的研究現(xiàn)狀與發(fā)展[J].青島大學學報(工程技術(shù)版),2004,19(3):53-58.

[5] 張飛,芮延年,喬冬冬,等.基于平行機構(gòu)約束鏈的三軸聯(lián)動平臺誤差分析與建模[J].蘇州大學學報(工科版),2011,31(6):15-19.

[6] 李娟,孫立寧,劉延杰.一種新型平面并聯(lián)定位機構(gòu)的誤差建模與分析[J].壓電與聲光,2009,31(2):284-288.

[7] 李洪忠.平面連桿機構(gòu)的誤差分析[J].機械制造與自動化,2005,34(4):24-25.

[8] 王秀葉,張明勤.鉸鏈四桿機構(gòu)的位置誤差分析[J].山東建筑工程學院學報,2002,17(2):81-83.

[9] 拓耀飛,陳建軍,徐亞蘭,等.隨機參數(shù)連桿機構(gòu)的靜動態(tài)運動精度可靠性分析[J].電子機械工程,2004,20(4):4-8.

[10] 張義民,黃賢振,賀向東.任意分布參數(shù)平面連桿機構(gòu)運動精度可靠性穩(wěn)健設(shè)計[J].農(nóng)業(yè)機械學報,2008,39(7):139-143.

[11] 吳煥芹,程強,鐘詩清.含間隙的平面四桿機構(gòu)運動特性分析[J].武漢理工大學學報(信息與管理工程版),2010,32(3):419-422.

[12] 董霞,王恪典.一種間隙副連桿模型及其在復雜機構(gòu)精度分析中的應(yīng)用[J].機械科學與技術(shù),2005,24(4):479-483.

[13] 郭惠昕,岳文輝.含間隙平面連桿機構(gòu)運動精度的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計[J].機械工程學報,2012,48(3):75-81.

[14] 張義民,黃賢振,張旭方,等.含運動副間隙平面機構(gòu)位姿誤差分析[J].東北大學學報(自然科學版),2008,29(8):1 147-1 150.

The error calculating and analysis of crank-group driving mechanism

CAO Ju-jiang， REN Sheng， LIU Yan-song， WANG Wen-jiang

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

Abstract:Crank group drive mechanism is a new drive mechanism,which requires high precision.It is very necessary to calculate and analysis the error of crank group drive mechanism.Due to the complexity structure of this mechanism,there is coupling between the various error,which makes it difficult to study the agency′s error.This paper adopted the approach from the unit to the whole to analysis the error of crank group drive mechanism.Derive an error calculating method of this mechanism,and various error sources were analyzed.Pointed out the calculation of error caused by the rod length error and the gap error, the calculate of crank output error.This paper provide a theoretical basis to experimental study of the accuracy of the institution.

Key words:crank-group mechanism; error calculating; error analysis

中圖分類號：TH112

文獻標志碼：A

文章編號：1000-5811(2015)02-0139-04

作者簡介:曹巨江(1955-),男,陜西戶縣人，教授，博士，研究方向：機械工程、凸輪機構(gòu)及先進制造技術(shù)

基金項目：國家自然科學基金項目(51175313)

收稿日期:*2014-11-30