元志芳, 王連堂

(西北大學 數學學院， 陜西 西安　 710127)

?

兩個包含Gamma函數的對數完全單調函數及其應用

元志芳, 王連堂*

(西北大學 數學學院， 陜西 西安 710127)

摘要：通過對兩個包含Gamma函數的特殊函數的對數完全單調性的證明，給出了一個新的關于Γ(x+1)的不等式，由此給出了一個關于n!的新估計，并將該估計與已有文獻結果進行了比較.最后，基于這個新估計，提出了一個關于n!的最佳不等式的猜想.

關鍵詞：Gamma函數； 對數完全單調性； n!； Burnside 公式

0引言

一個函數f被稱作是區(qū)間I上的完全單調函數.如果函數f在區(qū)間I上的各階導數都存在，且滿足(-1)nf(n)(x)≥0,(?x∈I,n=0,1,2,…),若此不等式嚴格大于零，則稱函數f是區(qū)間I上的嚴格完全單調函數[1,2].

一個正函數f被稱作是區(qū)間I上的對數完全單調函數.如果它的對數lnf滿足(-1)n[lnf(x)](n)≥0,(?x∈I,n=1,2,3,…)，若此不等式嚴格大于

零，則稱函數f是區(qū)間I上的嚴格對數完全單調函數[3,4].

區(qū)間I上的對數完全單調函數，也是區(qū)間I上的完全單調函數[5].

著名的歐拉Gamma函數的定義為：

文獻[7]首先證明了對任意的正整數n,雙向不等式:

(1)

成立，后又得出不等式:

(2)

文獻[8]給出雙向不等式:

(3)

文獻[9]進一步得出雙向不等式:

(4)

文獻[10]在以上基礎上進一步優(yōu)化，得到雙向不等式:

(5)

本文利用對數完全單調函數的定義，得出了關于Γ(x+1)的一個新的不等式.進而，得到了關于n!的一個新估計：

(6)

通過計算,可得表1、表2中的近似數據.其中，αni,βni(i=1,2,…,6)為前邊不等式(1)～(6)中給出的式子.

表1　αni(i=1,2,…,6)的近似值

表2　βni(i=1,2,…,6)的近似值

由表1、表2中的數據可以看出，本文所得不等式(6)比文獻[7]中不等式(2)更加精確.不等式(6)的左側比不等式(3)的左側更加精確，右側結論比不等式(1)更加精確.不等式(6)的結論雖然沒有文獻[9,10]中的不等式(4)和(5)精確，但相差很小，而且它的結構簡單對稱，有助于我們進一步提出猜想.如果猜想的結論正確，那么它的結論將比文獻[9,10]的結論更加精確.

1引理

為了證明我們的主要結論，首先給出下面的引理.

引理1[11-13]對任意的正整數n和正實數x,下列結論成立：

引理2當x→+∞時，下列結論成立：

2主要結論及證明

證明：函數F(x)的對數函數為:

由引理1得:

其中，

通過求導運算，得：

則f′(0)=0,

則f″(0)=0，

則f1″(0)=-2，

由以上各式可推得:f′(t)<0，即函數f(t)在區(qū)間(0,∞)上是單調遞減的；從而f(t)≤f(0)=0，所以[lnF(x)]′≤0.而且，對任意正整數n≥2，有

證明：函數G(x)的對數函數為:

當正整數n≥2時，由引理1，以及文獻[13]中的積分代表

通過簡單的計算，得：

(-1)n[lnG(x)](n)=(-1)n{[lnG(x)]′}n-1=

其中，

通過求導運算可得：

則g′(0)=0,

g″(t)=

則g″(0)=0，

由以上各式可推知:g′(t)>0，即函數g(t)在區(qū)間(0,∞)上是單調遞增的，從而g(t)≥g(0)=0,所以(-1)n[lnG(x)](n)≥0.由此可知，[lnG(x)]″≥0，即函數[lnG(x)]′在區(qū)間(0,∞)上單調遞增，且由文獻[15]中給出的不等式

可計算得:

推論1對任意的正整數n，下列雙向不等式成立：

證明：用n替換定理3不等式中的x，并將等式Γ(n+1)=n!式代入其中,即可得推論1的結論.

猜想對任意的正整數n，下列雙向不等式成立，

圖1　函數h(x)的圖像

由圖1可以看出，函數h(x)在區(qū)間(3,∞)上是單調遞減的，且由Burnside公式可計算得:

由洛必達法則可計算得:

再次利用Burnside公式可得:

由文獻[15]中不等式

且通過計算可得:

h(1)=0.583 658…,h(2)=0.583 970…,h(3)=0.583 939…,所以對任意的正整數n有:

由此整理即可得到猜想的結論.由此可知，要證明猜想的結論，關鍵就在于證明h(x)的單調性.

3結束語

Gamma函數和Psi函數的完全單調性以及對數完全單調性等，對一些重要不等式的證明、加強與推廣具有十分重要的作用.近年來，國內外許多著名的學者都在從事這方面的研究，對Gamma函數和Psi函數完全單調性的研究已經成為數學知識的新增點之一.

參考文獻

[1] D.S.Mitrinovic,J.E.Pecaric,A.M.Fink.Classical and new inequalities in analysis[M].Dordrecht/ Boston/London:Kluwer Academic Publishers,1993.

[2] F.Qi.Generalized weighted mean values with two parameters[J].Proceedings of the Royal Society A:Mathematical,Physical and Engineering Sciences,1998,454(2):2 723-2 732.

[3] R.D.Atanassov,U.V.Tsoukrovski.Some properties of a class of logarithmically completely monotonic functions[J].C.R.Acad.Bulgare Sci,1988,41(2):21-23.

[4] F.Qi,B.N.Guo.Complete monotonicities of functions involving the gamma and digamma functions[J].Rgmia Res.Rep,2004,7(1):63-72.

[5] F.Qi,C.P.Chen.A complete monotonicity property of the gamma function[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2004,296(2):603-607.

[6] M.Abramowitz,I.A.Stegun.Handbook of mathematical functions with formulas,graphs,and mathematical tables,national bureau of standards[M].Washington:National Bureau of Standards,1965.

[7] S.L.Guo.Monotonicty and concavity properties of some functions involving the gamma function with applications[J].Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics,2006,7(2):41-47.

[8] N.Batir.Inequalities for the gamma function[J].Archiv der Mathematik,2008,91(6):554-563.

[9] F.Qi,Z.L.Wei,Q.Yang.Generalizations and refinements of hermite-hadamard′s inequality[J].Rocky Mountain Journal of Mathematics,2005,5(1):235-251.

[10] F.Qi.Complete monotonicity of a function involving the gamma function and applications[J].Computational and Applied Mathematics,2014,69(2):159-169.

[11] I.S.Gradshteyn,I.M.Ryzhik.Table of integrals,series and products[M].6th Edition.New York:Academic Press,2000.

[12] W.Magnus,F.Oberhettinger,R.P.Soni.Formulas and theorems for the special functions of mathematical physics[M].Berlin: Springe Verlag,1966.

[13] S.L.Guo,F.Qi.A class of logarithmically completely monotonic functions associated with the gamma function[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,224(1):127-132.

[14] F.Qi.Integral representations and complete monotonicity related to the remainder of Burnside′s formula for the Gamma function[J].Computational and Applied Mathematics,2014,135(6):377-427.

[15] Ch.P.Chen.Some properties of functions related to the gamma,psi and tetragamma functions[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,62(9):3 389-3 395.

Logarithmically complete monotonicity of two specific

functions involving Gamma function and applications

YUAN Zhi-fang， WANG Lian-tang﹡

(School of Mathmatics, Northwest University, Xi′an 710127, China)

Abstract:In the article,the logarithmically complete monotonicity of two specific functions involving Gamma function was proved.Thus,a new inequality about Γ(x+1) was obtained.And then,a double inequality about factorial n was proposed and compared with the existing conclusions.Lastly,a best conjecture was made on the new estimate.

Key words:Gamma function； logarithmically complete monotonicity； factorial n； Burnside′s formula

中圖分類號：O174.6

文獻標志碼：A

文章編號：1000-5811(2015)02-0177-05

通訊作者:王連堂(1959-)，男，陜西西安人，教授，碩士生導師，研究方向：積分方程、聲波散射、特殊函數論,wlt800@nwu.cn

作者簡介:元志芳(1988-)，女，山西朔州人，在讀碩士研究生，研究方向：特殊函數論

基金項目：陜西省科技廳自然科學基金項目(2010JM1017)