弱鏈對(duì)角占優(yōu)M矩陣的‖A-1‖的上界序列

蔣建新，李艷艷

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山663000)

摘要：研究了弱鏈對(duì)角占優(yōu)M矩陣A的逆矩陣A-1的元素，與‖A-1‖界的估計(jì)問題。利用迭代的方法，給出了A-1元素收斂的上，下界序列，同時(shí)也得到了‖A-1‖單調(diào)遞減且收斂的上界序列。這些新的結(jié)果包含了關(guān)于該類問題已有的研究結(jié)果。

關(guān)鍵詞：弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣；M矩陣；范數(shù)；上界

收稿日期:2015-03-01

基金項(xiàng)目:云南省教育廳科學(xué)研究

作者簡(jiǎn)介:蔣建新(1981-),男，甘肅天水人，講師，碩士，主要從事矩陣?yán)碚摷皯?yīng)用研究。

中圖分類號(hào)：O151.21文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

關(guān)于弱鏈對(duì)角占優(yōu)M矩陣A的逆矩陣A-1的元素及‖A-1‖的估計(jì)，1996年，P.N.Shivakumar[1]就進(jìn)行了研究，并給出許多經(jīng)典結(jié)果。2010年，黃廷祝、朱燕[2]改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果。本文仍然研究該類問題，給出A-1的元素收斂的上下界序列，‖A-1‖單調(diào)遞減且收斂的上界序列。

將去掉A的前n1行，前n1列的主子矩陣用A(n1,n) 表示。

引理1 [1]若A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)的M矩陣，則B=A(2，n)∈R(n-1)×(n-1)仍是弱鏈對(duì)角占優(yōu)的M矩陣，且B的逆矩陣是非負(fù)矩陣。

引理2 [1]若A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)的M矩陣，B=A(2，n)∈R(n-1)×(n-1)，

A-1=(αij)，B-1=(βij)。則

當(dāng)J(A)=N時(shí), Δ≥a11(1-d1l1)≥a11(1-d1)。

引入一些符號(hào)

1主要結(jié)果

引理3 [3]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)的M矩陣，則A-1=(αij)存在且

(1)

(2)

定理1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M矩陣，則?i,j∈N ,j≠i ，t=1,2,…, 下列式子成立

定理2.1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)的M矩陣，則A-1=(αij)存在，?i,j∈N ,j≠i ，t=1,2,…, 且

(3)

(4)

證明：當(dāng)(3)式中的t=0時(shí)，就是(1)式。

下面證明t=1 時(shí)不等式成立。

因?yàn)锳A-1=I，則將其寫成分量形式

移項(xiàng)取絕對(duì)值得

(5)

利用(5)式，用同樣的方法再進(jìn)行放縮得

(6)

用類似的方法可證t=2,3,… 時(shí)，不等式(3)成立。

下面證明(4)式

應(yīng)用(3)式，對(duì)任意i∈N，t=1,2,… ，

注：由(3)式和(4)式的證明過程易知，(3)式和(4)式包含了(1)式和(2)式。

定理2.2設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M矩陣， B=A(1，n)，A-1=(αij)，B-1=(βij)，則

‖A-1‖。

(7)

(8)

若h1hi(2in)時(shí)，

MA

。

若h1hi(2in)時(shí)

MA=h1

綜上兩種情況

對(duì)定理2應(yīng)用迭代法得下面定理

定理3設(shè)A是弱鏈對(duì)角占優(yōu)的M矩陣，則

‖A-1‖。

(9)

數(shù)值算例

應(yīng)用定理3當(dāng)t=5時(shí)得‖A-1‖1.1134。

參考文獻(xiàn):

[1]SHIVAKUMAR P N，CHEW K H. A sufficient condition for nonvanishing of determinants [J]. Proc Amer.Math.Soc，1974(43)：63-66.

[2]HUANG T Z, ZHU Y. Estimation of ‖A-1‖for weakly chained diagonally dominant M matrices[J]. Linear Algebra and its Applications，2010(432):670-677.

[3]李艷艷，李耀堂. 弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣的‖A-1‖的新界 [J]. 云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014, 23(4)259-261.

責(zé)任編輯：程艷艷

Upper Bound Sequence of‖A-1‖for Weakly Chained Diagonal DominanceMMatrix

JIANG Jianxin, LI Yanyan

(College of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Abstract：This paper studies the elements of the inverse matrixA-1of weakly chained diagonal dominanceMmatrixAand the estimation problem of ‖A-1‖bound, which uses the iterative method to give the sequences of upper and lower bounds ofA-1convergence on the elements, and at the same time, to obtain the sequence of upper bound of ‖A-1‖monotone decreasing and convergence. These new results include the existed findings concerning this kind of problems.

Keywords：weakly chained diagonal dominance matrix;Mmatrix; norm; upper bound