李星云

數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)教育的一個重要主題，自20世紀(jì)70年代開始逐步成為一門獨(dú)立的學(xué)科分支。近20年來，其不僅成為英、美等國數(shù)學(xué)教育界一項(xiàng)重點(diǎn)研究課題，還成為國際數(shù)學(xué)教育大會討論的熱點(diǎn)之一。緊隨國際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的步伐，我國自20世紀(jì)80年代中期在借鑒英、美等國經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，逐步開設(shè)了“數(shù)學(xué)建?！闭n程并組織開展有關(guān)數(shù)學(xué)建模競賽活動，但是對于數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用與探究大多聚焦于高等教育階段，義務(wù)教育階段的相關(guān)研究相對較少。建模作為連接數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，是實(shí)施“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)化”教育思想的重要手段之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出：“在向?qū)W生展示知識與技能的數(shù)學(xué)答案的同時，應(yīng)重視學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生可以感受到從實(shí)際生活背景中抽象、概括出來的數(shù)學(xué)問題、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、求解結(jié)果和問題答案的過程?！盵1]可以看出，我國新一輪課程改革已將“數(shù)學(xué)建?！彼枷霛B透到中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，重視與現(xiàn)實(shí)生活情境的結(jié)合，倡導(dǎo)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型并學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)，而不僅僅是套用公式獲得答案。由于建模本身的難度以及教師缺乏相關(guān)培訓(xùn)等原因，許多一線教師對于如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于生活中感到比較陌生。在此，筆者對數(shù)學(xué)模型的概念、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的意義及策略等問題進(jìn)行分析闡述，期望為一線教師提供理論與實(shí)踐層面的借鑒。

一、數(shù)學(xué)模型的基本概況

（一）數(shù)學(xué)模型的概念

數(shù)學(xué)模型的概念比較寬泛，它是指用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言，包括公式，描述和表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題中的等量關(guān)系、空間圖形等，其特點(diǎn)是用數(shù)學(xué)語言的形式將生活中客觀事物或現(xiàn)象的核心特征、關(guān)系大概地或近似地呈現(xiàn)出來，形成一種數(shù)學(xué)模型。從外延上說，數(shù)學(xué)知識就是數(shù)學(xué)模型，一切數(shù)學(xué)教科書中所涵蓋的概念、公式、方程式、函數(shù)及相應(yīng)的計算系統(tǒng)都可稱為數(shù)學(xué)模型。[2]

簡單來說，數(shù)學(xué)模型就是那些能夠反映、刻畫客觀事物本質(zhì)屬性與內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如數(shù)學(xué)符號、公式、圖表等。小學(xué)數(shù)學(xué)涉及的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)較為簡單，因而小學(xué)階段所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，是指用課堂上所學(xué)的數(shù)字（1～10）、字母（a、b等）及各種不同的數(shù)學(xué)符號排列組合而成的公式等，學(xué)生所學(xué)的平面幾何圖形等都是數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)建模即建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)情境問題的求解過程。如我們將所考察的生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識的求解，建構(gòu)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，使得原來生活中的實(shí)際問題得以解答，這種解題方法叫做建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方法，也就是數(shù)學(xué)建模。[3]

（二）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的意義

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，小學(xué)階段的主要任務(wù)是培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，鍛煉數(shù)學(xué)建模能力，使學(xué)生學(xué)會把所學(xué)的數(shù)學(xué)理論知識應(yīng)用于生活實(shí)踐中。有效的建?；顒硬粌H有利于發(fā)展學(xué)生的思維，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和學(xué)習(xí)主動性?？梢姡瑪?shù)學(xué)建模思想在日常教學(xué)的有效融入，對提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著非常關(guān)鍵的作用。

1.有利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維的方法觀察分析生活中的問題

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，即教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、語言文字來描述和表達(dá)生活情境中的問題，將所學(xué)的理論知識運(yùn)用到實(shí)際生活中解決真實(shí)的問題，深化“數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活”的理念內(nèi)涵。數(shù)學(xué)建模不同于傳統(tǒng)意義的應(yīng)用題，它是對實(shí)際的復(fù)雜問題進(jìn)行分析，并在發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律與數(shù)學(xué)關(guān)系的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題。這個過程本身為學(xué)生提供了自我學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考、綜合應(yīng)用分析的機(jī)會，學(xué)生從不同的問題中探索出問題的本質(zhì)，從而豐富了學(xué)生的想象力，提高了洞察力和創(chuàng)新思維能力。同時，“數(shù)學(xué)模型的組建依賴于建模者對實(shí)際問題的理解，并需要一定的創(chuàng)造性和想象力將有關(guān)的變量按照實(shí)際問題的要求組合在一起”[4]，且對于同一問題，學(xué)生能夠建立出多種不同的模型，因而在開放的構(gòu)建模型過程中，有助于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

2.有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力

數(shù)學(xué)建模作為一種新型的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生相互合作、主動探究提供了平臺。不管是日益成熟的中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM），還是逐步興起的美國中學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（HIMCM），均以團(tuán)隊(duì)為單位參賽，3—4人為一組，在規(guī)定的時間內(nèi)共同解決問題。在這個過程中，學(xué)生不僅需要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還要具有較強(qiáng)的合作精神和探究意識。因此，將數(shù)學(xué)建模融入日常數(shù)學(xué)教學(xué)時，教師引領(lǐng)學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)的方式，在小組內(nèi)彼此交流思想、集思廣益，共同探究出問題的答案，同樣鍛煉了學(xué)生的探究與合作學(xué)習(xí)的能力。正如《標(biāo)準(zhǔn)》中所提出的：“數(shù)學(xué)教學(xué)理念必須創(chuàng)設(shè)有意義的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，引發(fā)學(xué)生學(xué)會動腦筋思考問題；尤其對低年段的小學(xué)生要注重培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、掌握有效的學(xué)習(xí)方法和技巧?！盵5]學(xué)生的學(xué)習(xí)生活應(yīng)當(dāng)是充滿創(chuàng)造性和歡樂的過程，除傳統(tǒng)教學(xué)觀所提倡的學(xué)生接受學(xué)習(xí)的方式外，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生動手實(shí)踐、探究，讓學(xué)生學(xué)會與同伴合作探討的自主學(xué)習(xí)方式。此外，教師還應(yīng)給予學(xué)生充足的時間和空間，使學(xué)生可以經(jīng)歷假設(shè)、判斷、推理等探索過程。

3.有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)過程中逐漸內(nèi)化而成的數(shù)學(xué)推斷能力、思考能力及數(shù)學(xué)品質(zhì)。[6]小學(xué)階段要求學(xué)生具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)知識及以數(shù)學(xué)思維思考問題的意識、解決問題的能力、探索數(shù)學(xué)的意愿等。數(shù)學(xué)建模是“從現(xiàn)實(shí)生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”。發(fā)展建模能力一方面可以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界，因?yàn)閿?shù)學(xué)模型思想主要是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識以及動手實(shí)踐的能力。如“用字母列方程來表示數(shù)學(xué)問題求解中的等量關(guān)系”，在這個環(huán)節(jié)，學(xué)生首先要通過分析等量關(guān)系中有哪些量是等值的，然后找出題目中等式兩邊的量，最后判斷分析，求得結(jié)果。另一方面，豐富的日常生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌驇椭鷮W(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。如學(xué)習(xí)“數(shù)對”，學(xué)生需要“在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對表示位置，知道數(shù)對與方格紙上點(diǎn)的對應(yīng)”。而在日常生活中，學(xué)生購買電影票去電影院看電影的經(jīng)歷以及通過教室內(nèi)的座位表確定同學(xué)的位置等情境，有助于他們理解“數(shù)對”的概念以及“數(shù)對”與點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型能夠使學(xué)生各方面的能力得到開發(fā)，如理解能力、推理能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力、分析能力等，而學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也在不知不覺中獲得了提高。

4.有利于學(xué)生真正體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣

數(shù)學(xué)一直被許多小學(xué)生認(rèn)為是最難的科目，原因是對數(shù)學(xué)的作用與價值認(rèn)識不足，學(xué)生“不知道為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)學(xué)了有什么用處”，這令他們感到數(shù)學(xué)與生活距離非常遙遠(yuǎn)，從而逐步喪失了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，在教學(xué)中，教師需要設(shè)計與生活相關(guān)的數(shù)學(xué)活動，鼓勵學(xué)生在活動體驗(yàn)中體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，幫助他們增加對數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的認(rèn)識?！稑?biāo)準(zhǔn)》指出，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活相聯(lián)系的橋梁。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過利用有趣的、與生活相關(guān)的問題開展構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，幫助學(xué)生在解決問題中了解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，認(rèn)識到數(shù)學(xué)在解決問題中的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活息息相關(guān)，利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識可以高效地解決問題，進(jìn)而認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義。[7]

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的策略

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)對于利用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題至關(guān)重要，但是不同學(xué)段對學(xué)生掌握建模思想的要求不一樣：第一學(xué)段的學(xué)生年齡相對較小，主要以具體形象思維為思考方式，要掌握建模的方法困難比較大，因此，教師要引導(dǎo)他們經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)生活情境，在情境中抽象出一般的學(xué)習(xí)規(guī)律，總結(jié)出一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也就是數(shù)學(xué)建模；第二學(xué)段的學(xué)生處于從具體形象思維逐漸過渡到抽象邏輯思維的關(guān)鍵期，已初步具備抽象—概括的思維能力，但是仍以具體形象思維為主，以抽象邏輯思維為輔，故在教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷一些具體的生活情境，讓他們自己發(fā)現(xiàn)問題，通過獨(dú)立思考、合作交流，最終總結(jié)出一般的數(shù)學(xué)模式，如路程、速度、時間的關(guān)系式。結(jié)合學(xué)段教學(xué)要求以及小學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，筆者總結(jié)了以下幾種建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的策略。

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的興趣

問題作為數(shù)學(xué)建模教學(xué)的載體，其設(shè)計合理與否直接影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)建模情感的激發(fā)與維持。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師首先需要思考所設(shè)計的問題是否有趣，能否讓學(xué)生具有親切感，能否吸引學(xué)生。有趣的、貼近生活的問題不僅容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心，吸引其進(jìn)一步思考和解決問題，還有助于學(xué)生理解問題。因此，教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)貼近生活以及學(xué)生熟悉的問題情境，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣和探索的熱情。

例如，“利息=本金×利率×?xí)r間”這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊的一個學(xué)習(xí)內(nèi)容，結(jié)合第二學(xué)段數(shù)學(xué)建模教學(xué)對學(xué)生的要求以及學(xué)生的心理特點(diǎn)，教師在教學(xué)中可以這樣做：首先，為學(xué)生提供“幫助媽媽選擇銀行存款項(xiàng)目”這一具體生活情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和興奮點(diǎn)；其次，教師通過給出不同類型存款方式的利率，鼓勵學(xué)生為媽媽選擇一項(xiàng)適合自家理財計劃的存款項(xiàng)目，讓學(xué)生身臨其境，感知不同類型存款方式利率的變化、利息的變化，以及如何滿足自家生活開支與理財需求；最后，教師導(dǎo)出“利息”的模型，幫助學(xué)生理解利息這一模型的背景及用途。將數(shù)學(xué)課本中的知識與生活中的具體實(shí)例結(jié)合在一起，學(xué)生可以在體驗(yàn)中感知和體會數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系及作用。

（二）積累表象，培育建構(gòu)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)建模的前提就是學(xué)生的頭腦中要有與原認(rèn)知相關(guān)聯(lián)的知識。這需要教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個良好的學(xué)習(xí)情境，刺激學(xué)生的感官，使其對所接觸的生活情境形成一定的感知，進(jìn)行表象的積累，并不斷鍛煉思維敏感性，進(jìn)而在熟能生巧的感知中自覺找到連接點(diǎn)，為建立數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。當(dāng)然，學(xué)生學(xué)會建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，離不開先行組織者的作用，因此，教師要善于應(yīng)用先行組織者的教育真諦，幫助學(xué)生理解新學(xué)習(xí)的知識與已學(xué)知識之間的聯(lián)系，使學(xué)生能夠快速掌握新知識。

例如，認(rèn)識平面圖形“圓”，教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)不同的模型來認(rèn)識圓，能夠使學(xué)生在頭腦中建立不同的關(guān)于“圓”的表象，進(jìn)而抽象概括出不同模型的連接點(diǎn)，加深對“圓”基本特征的認(rèn)識。再如，學(xué)習(xí)“編號”模型，由于學(xué)生在生活中對于郵政編碼、學(xué)號、飯店房間號等具有一定的了解，教師可以通過對有關(guān)編碼中數(shù)字含義的解釋，幫助學(xué)生構(gòu)建不同的關(guān)于“編號”的表象，在對各種編號的感知過程中建立數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)來描述事物的某些特征，進(jìn)一步體會數(shù)在日常生活中的作用。

（三）抽象出生活問題的本質(zhì)，初步建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)源于生活，在生活中抽象出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的有效途徑。具體的生活情境為學(xué)生在頭腦中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的表象提供了可能，而真正使數(shù)學(xué)與生活相結(jié)合，通過數(shù)學(xué)模型解決生活問題，學(xué)生需要通過現(xiàn)象看到本質(zhì)，總結(jié)出事物的共性。

例如，學(xué)習(xí)“軸對稱圖形”這一內(nèi)容，學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)中常常會碰到有關(guān)軸對稱的圖形或圖標(biāo)、建筑或其他事物，如奧運(yùn)五環(huán)、天安門、蝴蝶等。如果教師僅僅以具體實(shí)物告訴學(xué)生什么是軸對稱圖形，那么就如心理學(xué)中的“魚牛圖”定理一般，由于學(xué)生的認(rèn)知不同，在頭腦中呈現(xiàn)出來的關(guān)于“軸對稱圖形”的知識也就不盡相同或不夠全面。因此，教師可以通過出示相關(guān)圖片或組織學(xué)生分組收集日常生活中看到的圖形，引導(dǎo)他們在對具體事物發(fā)現(xiàn)和尋找過程中逐漸抽象出其內(nèi)涵，進(jìn)而認(rèn)識到軸對稱圖形的基本特征——圖形沿著對稱軸折疊能夠互相重合。這樣，學(xué)生不僅能夠掌握對稱軸的畫法與簡單軸對稱圖形的補(bǔ)全，還能在這些操作活動中豐富和積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

（四）巧妙使用數(shù)學(xué)教材，擴(kuò)展數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用范圍

數(shù)學(xué)教材作為數(shù)學(xué)教學(xué)活動的核心，是連接課程與教學(xué)的橋梁，是師生之間交流互動的重要媒介。各版本數(shù)學(xué)教材依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》在“教材編寫建議”中提出的“體現(xiàn)‘知識背景—建立模型—求解驗(yàn)證的過程”這一理念與要求，對教材內(nèi)容進(jìn)行了有效編排，以問題為導(dǎo)向，重視對數(shù)學(xué)建模思想的滲透以及數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。因而在教學(xué)中，教師要結(jié)合教材內(nèi)容尋找并提煉相關(guān)的數(shù)學(xué)建模問題，以一個數(shù)學(xué)模型為依托，通過設(shè)計不同的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題過程中認(rèn)清事物的本質(zhì)，學(xué)會靈活處理各種問題并進(jìn)行有效的遷移。

例如，六年級數(shù)學(xué)教材中的“植樹”模型，教師可以結(jié)合教材內(nèi)容設(shè)計出各種不同的問題，幫助學(xué)生理解“植樹”模型的各種情況，如對于兩端都栽樹的棵樹的數(shù)學(xué)模型，可以以學(xué)生熟悉的“手”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生理解手指與間隔的關(guān)系，同時結(jié)合展示“等距的燈籠”“排列整齊的杉樹”的畫面理解“等距”“間隔”“間距”等概念，然后組織學(xué)生在動手實(shí)踐中建構(gòu)出模型為“間隔數(shù)+1”。小學(xué)生的思維以具體形象思維為主、抽象邏輯思維為輔，僅僅教授一種數(shù)學(xué)模型，他們未必會拓展延伸。因此，在兩頭都栽樹的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探尋樹與間隔的關(guān)系，將“植樹”模型進(jìn)一步擴(kuò)展為兩端都不栽樹的情況，其數(shù)學(xué)模型為“間隔數(shù)-1”，僅一端栽樹的情況，其數(shù)學(xué)模型為“間隔數(shù)”，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察循環(huán)植樹與僅一端植樹之間的關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生探尋出其數(shù)學(xué)模型也為“間隔數(shù)”。通過參與探究一系列數(shù)學(xué)活動實(shí)踐，學(xué)生對各種不同的“植樹”數(shù)學(xué)模型有了真正的認(rèn)識和理解。以教材為依托，教師還可以結(jié)合學(xué)生熟悉的生活情境，設(shè)計以下問題：圍棋盤最外層一共可以擺多少顆棋子？在團(tuán)體操表演中，四年級學(xué)生排成方陣，最外層每邊站12人，最外層一共有多少名學(xué)生？進(jìn)一步擴(kuò)展其應(yīng)用范圍，學(xué)生通過對一系列層層遞進(jìn)的問題鏈的學(xué)習(xí)，做到舉一反三，從而真正理解數(shù)學(xué)知識，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

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（作者系南京師范大學(xué)小學(xué)教育研究所所長，教授、博士生導(dǎo)師，主要從事課程與教學(xué)論研究。）

（責(zé)編 歐孔群）