嚴(yán)非男 陳俊

摘要：對(duì)一道有關(guān)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理競賽題目進(jìn)行了解析，突出了物理量的矢量性和分量形式，強(qiáng)調(diào)了微積分方法在大學(xué)物理中的應(yīng)用，旨在啟發(fā)學(xué)生規(guī)范解題。

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理；競賽試題；微積分

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）02-0180-02

在2013年上海理工大學(xué)大學(xué)物理競賽中，選取了一道試題，題意如下：已知空間同時(shí)存在均勻電場（電場強(qiáng)度為E），均勻磁場（磁感應(yīng)強(qiáng)度為B）和的重力場（重力加速度為g），且三者方向相互垂直。一質(zhì)量為m、帶正電荷q的質(zhì)點(diǎn)在此空間運(yùn)動(dòng)，保持速度的大小在運(yùn)動(dòng)過程中不變。（1）說明此質(zhì)點(diǎn)作何種運(yùn)動(dòng)（無須求出運(yùn)動(dòng)的軌跡方程）。（2）若電場和磁場在某時(shí)刻突然同時(shí)消失，并且將此時(shí)（即電磁場剛要消失時(shí)）的動(dòng)能稱為初始動(dòng)能，那么，已知該質(zhì)點(diǎn)在此后的運(yùn)動(dòng)過程中的動(dòng)能最小值為其初始動(dòng)能的一半，試求在電磁場剛要消失時(shí)，質(zhì)點(diǎn)速度在三個(gè)場方向的分量。

當(dāng)時(shí)提供的參考解答如下：

（1）如圖1所示，建立直角坐標(biāo)Oxyz，其中電場方向沿著Ox軸，磁場方向沿著Oy軸，而Oz軸與重力方向相反。根據(jù)洛侖茲力公式 =q × [1]可知，磁場對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力垂直于磁場方向，位于Oxz平面內(nèi)；另外，重力方向向下，電場力方向沿著x軸正向，因此在y軸方向質(zhì)點(diǎn)不受力，由此可知質(zhì)點(diǎn)沿y方向的分速度（包括大小和方向）不變；依題意，質(zhì)點(diǎn)速度的大小在運(yùn)動(dòng)中是恒定的，故質(zhì)點(diǎn)在Oxz平面內(nèi)的分速度大小也一定是恒定不變的；其次，質(zhì)點(diǎn)速度大小保持不變，意味著合力做功為零，而洛侖茲力對(duì)質(zhì)點(diǎn)不做功，因此，電場力和重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功也為零，由此可推斷質(zhì)點(diǎn)在Oxz平面內(nèi)的分速度垂直于電場力和重力的合力，而電場力和重力的合力的方向在運(yùn)動(dòng)中是不變的，故此分速度的方向保持不變。綜上所述，質(zhì)點(diǎn)速度的方向保持不變的，因此質(zhì)點(diǎn)在給定的三個(gè)場中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其軌跡在Oxz平面內(nèi)且垂直于電場力和重力的合力。

（2）設(shè)電場和磁場都存在時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度大小為v0，題中所要求的速度在三個(gè)場方向的分量分別用v0x、v0y和v0z表示。根據(jù)問題（1）中的分析，質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，這意味著質(zhì)點(diǎn)所受合力F等于0。將此合力也分解為三個(gè)分量Fx、Fy和Fz，則有

F =qE-qv B=0，得v = （1）

F =0，F(xiàn) =-mg+qv B=0，得v = ，v =v -v -v （2）

電場和磁場同時(shí)消失后，則粒子僅在重力作用下做拋體運(yùn)動(dòng)，因此任意時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度為

v =v ，v =v ，v =v -gt （3）

顯然，當(dāng)v =0時(shí)，粒子的動(dòng)能最小，為E = m

（v +v ），依題意E = （ mv ），因此有v =2（v +

v ），結(jié)合（1）和（2），得

v = （4）

該題也是第25屆全國中學(xué)生奧林匹克物理競賽預(yù)賽試題[2]。上述解答中，問題（1）是通過說明性的論證來說明質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的，比較適合高中學(xué)生。而作為大學(xué)物理競賽題目，則應(yīng)更突出學(xué)生對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)范解題方法的應(yīng)用和掌握，即從定義式和基本定理出發(fā)，突出物理量的矢量性和分量形式，突出微積分方法的應(yīng)用，以利解決更復(fù)雜的問題。這也是大學(xué)物理教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，因此，本文從這個(gè)角度，用解析的方式來解答這個(gè)問題，這對(duì)于學(xué)生用矢量和微積分方法規(guī)范解題不失為一個(gè)好的練習(xí)。

根據(jù)圖1所示的電場、磁場和重力場的方向假設(shè)，以及電場力和洛倫茲力公式，由牛頓第二定律，可列出質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程

q ×B +qE -mg =m =m （5）

在圖1所示的直角坐標(biāo)系下，分解為分量形式

qE-qBv =m （6）

m =0 （7）

m =qBv -mg （8）

由式（6）和（8）得

m =-qB =-qB ，m =qB =qB ，

整理得 + = ， + =

求解上述微分方程[3]，可得

v = +A cos（ t+φ ），v = +A cos（ t+φ ） （9）

根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)速度大小保持不變，即v +v +v =常數(shù)，由式（7）可知v =常數(shù)，因此v +v =常數(shù)，根據(jù)式（9），必有A =A =0，即v = =常數(shù)，v = =常數(shù)。由于v ，v ，v 均為常數(shù)，所以質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]袁艷紅.大學(xué)物理學(xué)（下）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010：80.

[2]第25屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題及解答[J].物理教學(xué)，2008，30（12）：34-40.

[3]朱健民，李建平.高等數(shù)學(xué)（上）[M].北京：高等教育出版社，2007：423.