馬　輝，逄　旭，宋溶澤，聞邦椿

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽　110819)

第一作者馬輝男，博士，副教授，1978年生

考慮齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的最佳修形曲線研究

馬輝，逄旭，宋溶澤，聞邦椿

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽110819)

摘要：輪齒修形可減小齒輪靜態(tài)傳動(dòng)誤差，改善齒輪動(dòng)態(tài)特性?；诂F(xiàn)有文獻(xiàn)，考慮基圓與齒根圓不重合，在齒廓精確建模的基礎(chǔ)上確定齒輪的時(shí)變嚙合剛度和靜態(tài)傳動(dòng)誤差。針對(duì)不同修形曲線在不同修形量下齒輪靜態(tài)傳動(dòng)誤差的變化進(jìn)行分析，給出了不同修形量范圍內(nèi)的最佳修形曲線，并結(jié)合齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，考慮齒廓修形引起的無載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差，分析不同修形曲線下系統(tǒng)的振動(dòng)特性，進(jìn)一步確定不同轉(zhuǎn)速下最佳修形曲線。研究結(jié)果表明通過評(píng)估齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性，可更好地確定不同轉(zhuǎn)速下的輪齒的最佳修形曲線。

關(guān)鍵詞：齒廓修形；時(shí)變嚙合剛度；靜態(tài)傳動(dòng)誤差；齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；振動(dòng)響應(yīng)

基金項(xiàng)目：中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(N130403006);教育部新世紀(jì)人才支持計(jì)劃(NCET-11-0078)

收稿日期：2014-01-08修改稿收到日期：2014-05-07

中圖分類號(hào):TH113

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.004

Abstract:Tooth profile modification can decrease the loaded static transmission error, and improve the dynamic characteristics of gear pairs. Here, based on available theories and literatures, the time-varying mesh stiffness (TVMS) and static transmission error (STE) were determined with a correction method considering misalign effect between the root circle and tooth base circle and an accurate gear profile curve. The optimal profile modification curves with different amounts of profile modification were determined by analyzing the STE changing with different profile modification curves and different amounts of profile modification. Combining a gear-rotor system dynamic model and considering the effect of no-load STE caused by profile modification, the vibration responses of the gear-rotor system with different gear profile modification curves were analyzed to determine the optimal profile modification curves at different rotating speeds. The results showed that the optimal gear profile modification curves at different rotating speeds can be determined by evaluating the vibration responses of the gear-rotor system.

Optimal profile modification curves for spur gears considering vibration responses of a gear-rotor system

MAHui,PANGXu,SONGRong-ze,WENBang-chun(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Key words:profile modification; time-varying mesh stiffness; static transmission error; gear-rotor system; vibration response

受制造、安裝誤差、齒輪彈性變形及熱變形等的影響，齒輪嚙合時(shí)不可避免地產(chǎn)生沖擊、振動(dòng)和偏載，導(dǎo)致齒輪早期失效的概率增大。生產(chǎn)實(shí)踐和理論表明，適當(dāng)?shù)妮嘄X修形，對(duì)改善齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)性能、提高承載能力、延長使用壽命有明顯的效果[1]。

許多學(xué)者對(duì)齒廓修形問題進(jìn)行了研究，通過建立齒輪三維有限元模型，Ohno等[2]分析了接觸壓力和斜齒輪修形量的關(guān)系，確定了斜齒輪的最佳修形量。基于非線性接觸理論，Wagaj等[3]建立二維、三維斜齒輪副接觸有限元模型，分析了直線、拋物線齒頂修形以及齒向修形對(duì)斜齒輪靜態(tài)傳動(dòng)誤差的影響。Li[4]使用有限元法研究了加工誤差、裝配誤差和齒向修形對(duì)直齒輪輪齒表面接觸應(yīng)力、齒根彎曲應(yīng)力、載荷分布和靜態(tài)傳動(dòng)誤差的影響。通過建立的直齒輪副有限元模型，Tharmakulasingam等[5]研究發(fā)現(xiàn)齒廓修形能降低齒頂、齒根應(yīng)力以及靜態(tài)傳動(dòng)誤差的幅值，并且靜態(tài)傳動(dòng)誤差會(huì)隨著扭矩增大而增大。Tesfahunegn等[6]采用非線性有限元方法分析齒形修整對(duì)傳動(dòng)誤差、接觸壓力以及齒根應(yīng)力的影響。Tavakoli等[7]對(duì)直線修形和曲線修形下的靜態(tài)傳動(dòng)誤差進(jìn)行了頻率分析，表明傳動(dòng)誤差變化越平滑，波動(dòng)幅值越小，齒輪傳動(dòng)越平穩(wěn)。Ma等[8]通過Ansys軟件建立了齒頂修緣的直齒輪嚙合有限元模型，主要研究了齒頂漸開線修緣對(duì)齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響。Chen等通過建立解析模型，研究了齒廓修形、扭矩及齒根裂紋對(duì)齒輪嚙合剛度、負(fù)載分配及有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差的影響。

從現(xiàn)有的文獻(xiàn)來看，針對(duì)齒廓修形，大多關(guān)注于載荷分布，靜態(tài)傳動(dòng)誤差及齒輪副的振動(dòng)特性，對(duì)于最佳修形曲線的確定，也僅限于修形量一定的情況。本文基于Chen等[9]建立的解析模型，獲得齒輪時(shí)變嚙合剛度和靜態(tài)傳動(dòng)誤差，分析了不同修形量范圍內(nèi)的最佳修形曲線，并結(jié)合齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，在考慮無載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差的條件下，通過齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同修形曲線下的振動(dòng)特性來驗(yàn)證最佳修形的有效性，分析流程見圖1。

圖1　分析流程圖Fig.1 Flow chart of analysis

1考慮修形的輪齒嚙合剛度及靜態(tài)傳動(dòng)誤差確定

1.1修形方法

齒廓修形有三種方式，齒頂修緣、齒根修緣及全齒廓修緣(齒頂和齒根同時(shí)修緣)，齒廓修形的設(shè)計(jì)包括確定修形長度、修形量和修形曲線。對(duì)輪齒進(jìn)行齒根修緣，可以相當(dāng)于對(duì)與之配對(duì)的輪齒進(jìn)行齒頂修緣，因此齒頂修緣、齒根修緣及全齒廓修緣可達(dá)到同樣的修形效果，本文采用齒頂修緣(見圖2)。修形量用參數(shù)Cn表示，Cn=Ca/Ca_max，Ca為齒頂修形量，最大齒頂修形量Ca_max=0.02m，m為齒輪模數(shù)，修形長度用ΔLn表示，ΔLn=ΔLa/ΔLa_max,ΔLa為沿嚙合線方向的修形長度，ΔLa_max=0.6m。修形曲線方程一般為[10]

(1)

式中:x為以修形起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)嚙合線上任一位置的坐標(biāo)，C為位置x處的修形量。本文選取三種修形曲線：n=1.5，n=2和漸開線，考慮齒頂修形方式，且修形長度ΔLa取各輪齒單雙齒嚙合區(qū)單側(cè)長度進(jìn)行分析，確定不同修形量范圍內(nèi)的最優(yōu)修形曲線。

圖2　齒廓修形示意圖Fig.2 Schematic of gear tooth profile modification

1.2考慮修形的時(shí)變嚙合剛度和傳動(dòng)誤差確定

齒輪參數(shù)見表1，假設(shè)扭矩T1=150 N·m，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的修形長度分別為各輪齒單雙齒嚙合區(qū)單側(cè)長度ΔLa1=1.595 mm，ΔLa2=1.546 mm，即ΔLn1=1.519，ΔLn2=1.472，在Chen等提出的解析模型基礎(chǔ)上，考慮基圓與齒根圓不重合[11]及真實(shí)過渡曲線[12]，針對(duì)表2所示的三種仿真工況，得到的三種工況下的時(shí)變嚙合剛度、有載荷和無載靜態(tài)傳動(dòng)誤差(見圖3)。

表1　齒輪幾何參數(shù)

表2　仿真工況

由圖3可知，相同修形量的情況下3種修形方法對(duì)應(yīng)的齒輪時(shí)變嚙合剛度幾乎完全相同，但有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差有所不同；采用同一修形方法不同修形量進(jìn)行齒頂修形時(shí)，齒輪的重合度隨著修形量的增大而減小，有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差也有明顯的變化。由此可見，通過適當(dāng)?shù)男扌慰梢越档陀休d荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差的波動(dòng)。

圖3　三種工況下的時(shí)變嚙合剛度和靜態(tài)傳動(dòng)誤差Fig.3 TVMS and STE under three conditions

1.3不同修形方法下的最佳修形確定

靜態(tài)傳動(dòng)誤差變化的相對(duì)峰峰值可用r來衡量，其表達(dá)式如下：

(2)

式中:pn和pm為未修形和修形情況下的有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差峰峰值。有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差變化幅度越小，即相對(duì)峰峰值r越小，修形效果越好。三種修形曲線，有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差相對(duì)峰峰值r隨修形量Cn的變化情況，見圖4，A、B兩點(diǎn)將修形量區(qū)間分為3部分，在區(qū)間[0,0.608]內(nèi)，相同修形量下，漸開線修形獲得的有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差相對(duì)峰峰值r變化最小，修形效果最佳；在區(qū)間[0.608,0.837]內(nèi)，曲線n=1.5的修形效果最佳；當(dāng)Cn大于0.837時(shí)，曲線n=2的修形效果最佳。因此在修形量確定的情況下，可根據(jù)該圖選擇修形曲線，以達(dá)到最佳修形效果，但值得注意的是修形量Cn過大，重合度會(huì)降低過多，會(huì)導(dǎo)致齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)性降低，引起振動(dòng)和噪聲，反而達(dá)不到修形的作用。因此應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況，確定適當(dāng)?shù)男扌瘟?，進(jìn)而選擇最佳修形曲線進(jìn)行修形。

圖4　不同修形量下的有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差相對(duì)峰峰值Fig.4 Relative peak-peak value of loaded STE under different amounts of profile modification

2考慮齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的最佳修形

僅利用有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差相對(duì)變化來確定最佳修形曲線，不能反映修形對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)特性的影響，此外利用齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)來反映系統(tǒng)的振動(dòng)特性更具現(xiàn)實(shí)意義，因此本節(jié)將采用修形后齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性，來驗(yàn)證最佳修形曲線的選取。

2.1齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型建立

將齒輪視為通過彈簧和阻尼器連接的剛性圓盤，其嚙合動(dòng)力學(xué)模型見圖5，O1，O2為齒輪中心，Ω1、Ω2為齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，取逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；rb1、rb2為齒輪基圓半徑；齒輪時(shí)變嚙合剛度和阻尼分別用k12(t)和c12(t)(本文c12(t)=0)表示；定義y軸正向與嚙合面的夾角為：

(3)

式中:α為齒輪壓力角，α12(0≤α12≤ 2π)為主動(dòng)輪的x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至中心線的夾角。

為了考慮主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向的影響，引入σ函數(shù)：

(4)

設(shè)兩齒輪在嚙合線方向上的相對(duì)位移為p12(t)，則

p12(t)=(-x1sinψ12+x2sinψ12+y1cosψ12-

y2cosψ12+σ×rb1θz1+σ×rb2θz2)-e12(t)

(5)

式中:e12(t)為靜態(tài)傳動(dòng)誤差，本文僅考慮由于修形引起的齒廓誤差，即無載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差e0(t)。

圖5　齒輪副嚙合動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Dynamic model of gear pair

不考慮齒側(cè)間隙、嚙合摩擦力等的影響，分別建立齒輪在六個(gè)自由度方向的運(yùn)動(dòng)方程：

式中:m1、m2為齒輪1、齒輪2的質(zhì)量，Ix1、Iy1、Iz1、Ix2、Iy2、Iz2分別為齒輪1和齒輪2繞x軸、y軸和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，T1為施加在主動(dòng)輪扭矩，T2為負(fù)載扭矩。

將其簡化成矩陣形式，得到齒輪副運(yùn)動(dòng)耦合方程為：

(7)

式中:X12為齒輪副質(zhì)心的廣義坐標(biāo)，M12為齒輪副的質(zhì)量矩陣，K12為嚙合剛度矩陣，C12為嚙合阻尼矩陣，G12為陀螺矩陣。

將齒輪嚙合動(dòng)力學(xué)模型和轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型進(jìn)行耦合，得到如圖6所示的齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(8)

式中:M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，包含轉(zhuǎn)軸質(zhì)量、齒輪質(zhì)量以及集中質(zhì)量；G為陀螺力矩；C為系統(tǒng)阻尼矩陣，采用粘性阻尼；K為系統(tǒng)剛度矩陣，包括轉(zhuǎn)軸剛度、齒輪嚙合剛度以及軸承剛度。u為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，F(xiàn)u為激振力矢量。

圖6　齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型Fig.6 Finite element model of a gear-rotor system

2.2考慮不同輪齒修形的系統(tǒng)振動(dòng)特性分析

本節(jié)將分析表2所示的3種工況下齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。工況1 (Cn=0.5)齒輪1處x方向位移和齒輪嚙合力均方根隨嚙合頻率的變化曲線見圖7，由圖7(a)可知，未修形時(shí)，當(dāng)嚙合頻率ω12分別等于系統(tǒng)的固有頻率ω1、ω3、ω7、ω9，ω1/n(n=6,5,4,3,2)和ω7/2時(shí)位移響應(yīng)出現(xiàn)共振峰，修形后ω7/2處的共振峰消失，并且位移響應(yīng)幅值明顯降低。當(dāng)嚙合頻率大于150 Hz時(shí)，位移響應(yīng)均方根值由大到小依次為未修形、曲線n=2修形、曲線n=1.5修形和漸開線修形，即漸開線修形效果最佳，與圖4中修形量Cn=0.5時(shí)靜態(tài)傳動(dòng)誤差相對(duì)峰峰值大小順序所對(duì)應(yīng)修形曲線一致，說明了靜態(tài)傳動(dòng)誤差相對(duì)峰峰值越小，修形效果越好；當(dāng)嚙合頻率低于150 Hz時(shí)，在嚙合頻率等于ω1/3處，曲線n=2修形對(duì)應(yīng)的幅值最低；在嚙合頻率等于ω1/4處，曲線n=1.5修形對(duì)應(yīng)的幅值最低。因此，嚙合頻率較低時(shí)，僅根據(jù)有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差選取最佳修形曲線是不夠的，需根據(jù)齒輪的工作轉(zhuǎn)速，結(jié)合齒輪振動(dòng)特性選取修形曲線。由圖7(b)可知，修形后嚙合力幅值顯著降低，并且漸開線修形對(duì)應(yīng)的嚙合力變化最為平緩。

圖7　齒輪1處x方向位移和嚙合力均方根變化曲線(Cn=0.5)Fig.7 Root-mean-square of displacement in the xdirection of gear 1 and gear mesh force (Cn=0.5)

齒輪1處x方向振動(dòng)加速度隨時(shí)間變化曲線見圖8，從圖中可以看出修形后齒輪的振動(dòng)加速度幅值顯著降低。

當(dāng)嚙合頻率高于2 600 Hz時(shí)，振動(dòng)響應(yīng)的變化十分平緩(圖7)，因而對(duì)于工況2和工況3只分析轉(zhuǎn)速在0～2 600 Hz范圍內(nèi)的振動(dòng)特性。圖9為工況2 (Cn=0.7)齒輪1處x方向位移均方根值隨嚙合頻率的變化曲線，嚙合頻率較高時(shí)，n=1.5修形曲線修形效果最佳，而漸開線和n=2修形曲線的修形效果幾乎相同，規(guī)律與圖4有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差相對(duì)峰峰值變化規(guī)律相同；嚙合頻率較低時(shí)，漸開線修形效果最差。圖10為工況3 (Cn=0.9)齒輪1處x方向位移均方根值隨嚙合頻率的變化曲線，嚙合頻率較高時(shí)，n=2修形曲線修形效果最佳，其次是n=1.5修形曲線，漸開線修形效果最差，規(guī)律與圖4有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差相對(duì)峰峰值變化規(guī)律相同；嚙合頻率較低時(shí)，漸開線修形效果仍為最差。

圖8 齒輪1處x方向加速度響應(yīng)曲線(Cn=0.5)Fig.8Accelerationresponsesofgear1inxdirection(Cn=0.5)圖9 齒輪1處x方向位移均方根值(Cn=0.7)Fig.9Root-mean-squareofdisplacementinthexdirectionofgear1(Cn=0.7)圖10 齒輪1處x方向位移均方根值(Cn=0.9)Fig.10Root-mean-squareofdisplacementinthexdirectionofgear1(Cn=0.9)

3結(jié)論

(1)由于齒輪有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差峰峰值相對(duì)變化越小，修形效果越好，本文通過對(duì)比三種修形曲線在不同修形量下對(duì)應(yīng)有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差峰峰值，獲得了不同修形量對(duì)應(yīng)的最佳修形曲線。

(2)由于有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差不能反映齒輪的動(dòng)態(tài)特性，本文通過齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)一步確定最佳修形曲線，發(fā)現(xiàn)高頻情況下通過齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性確定的最佳修形曲線與根據(jù)有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差峰峰值確定的最佳修形曲線相同，但在低頻情況下，二者有所差別。根據(jù)扭矩、修形曲線、修形長度，可獲得不同修形量下有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差峰峰值，高頻時(shí)可通過比較有載荷靜態(tài)傳動(dòng)誤差峰峰值確定最佳修形曲線，低頻時(shí)需根據(jù)齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性確定最佳修形曲線。

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