第一作者 文永蓬 男，博士，副教授，1979月10月生

微陀螺動(dòng)力學(xué)建模與非線性分析

文永蓬1，尚慧琳2

(1. 上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海201620； 2. 上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，上海200235)

摘要：建立了微陀螺的動(dòng)力學(xué)模型，采用多尺度方法對(duì)微陀螺的非線性模型進(jìn)行求解，探討了驅(qū)動(dòng)微彈性梁和檢測(cè)微彈性梁的非線性剛度對(duì)微陀螺輸出的影響規(guī)律，研究了微陀螺的帶寬在非線性剛度作用下的設(shè)計(jì)原則，結(jié)果表明：微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的檢測(cè)靈敏度和帶寬呈反比關(guān)系；微彈性梁的非線性剛度會(huì)使得輸入角速度與檢測(cè)輸出呈非線性關(guān)系。因此，從微彈性梁的設(shè)計(jì)角度出發(fā)，可根據(jù)較大的輸出或者較小的非線性要求選取合適的驅(qū)動(dòng)微彈性梁；而檢測(cè)微彈性梁則需要選取較小的非線性剛度。

關(guān)鍵詞：微機(jī)電系統(tǒng)；微陀螺；微彈性梁；非線性剛度

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-01-21

中圖分類號(hào):O322; TP202文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Dynamic modeling and nonlinear analysis for a microgyroscope

WENYong-peng1,SHANGHui-lin2(1. College of Urban Railway Transportation, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China; 2. School of Mechanical Engineering, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 200235, China)

Abstract:Here, a dynamic model of a microgyroscope was built, a multi-scale method was used to solve the nonlinear model of the microgyroscope. The effects of nonlinear stiffnesses of a driving mirco elastic beam and a sensing mirco elastic beam on the output of the microgyroscope were studied. The design principles for the frequency bandwidth of the mirco-gyroscope with nonliear stiffnesses were studied. The results showed that for the vibration system of the microgyroscope, its detection sensitivity is inversely proportional to its frequency bandwidth; the input angular velocity has a nonlinear relationship with the detection output due to the nonlinear stiffnesses of mircromachined elastic beams of the microgyroscope; therefore, in the view of the design of mirco elastic beams, an appropriate driving micro elastic beam is selected according to the larger output or smaller nonlinear requirements; the sensing mirco elastic beam needs to choose a smaller nonlinear stiffness.

Key words: micro-electro-mechanical systems; mircrogyroscope; mircromachined elastic beam; nonlinear stiffness

采用微電子機(jī)械加工技術(shù)制備的振動(dòng)式微陀螺是一種用來(lái)測(cè)量物體旋轉(zhuǎn)角速度的傳感器，其特征尺寸一般在微米級(jí)，具有體積小、重量輕、功耗低等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天機(jī)載設(shè)備、狀態(tài)檢測(cè)以及姿態(tài)調(diào)控等方面[1-3]。

微陀螺的設(shè)計(jì)中，為了獲得高性能和高穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)人員格外注重靈敏度和帶寬的匹配[2]。設(shè)計(jì)新型的彈性梁用以調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)微彈性梁的剛度是常用的一種方法[3]，它使得驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)的固有頻率足夠接近或保持一定的距離，這樣獲得高靈敏度或高穩(wěn)定性。無(wú)論是高靈敏度和高穩(wěn)定性設(shè)計(jì)，理論上往往忽略系統(tǒng)的非線性影響，造成完全按照線性理論進(jìn)行的測(cè)量常常不精確[4]。隨著研究的深入，很多學(xué)者越來(lái)越關(guān)注微陀螺的非線性問(wèn)題[5-7]。Tsai等[8]指出微陀螺的非線性能夠改變系統(tǒng)共振頻率，從而對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。陳志勇等[9]認(rèn)為要避免或降低非線性振動(dòng)對(duì)諧振器正常工作狀態(tài)的影響，應(yīng)盡量降低諧振器彈性特性的非線性度。李欣業(yè)等[10]考慮具有剛度非線性的微陀螺系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)施加時(shí)滯位移和速度反饋控制，發(fā)現(xiàn)時(shí)滯反饋控制對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為存在本質(zhì)影響。上述研究里，對(duì)于微陀螺非線性振動(dòng)的問(wèn)題，目前還是集中在理論分析方面，討論了非線性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，但所得到的研究結(jié)論尚不能直接指導(dǎo)設(shè)計(jì)。如何充分考慮非線性的影響從而應(yīng)用到微陀螺的設(shè)計(jì)方面，尤其是非線性下的彈性梁的設(shè)計(jì)，有關(guān)的研究報(bào)道并不多。

將微陀螺的線性振動(dòng)模型和考慮了非線性剛度的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行對(duì)比分析，討論系統(tǒng)帶寬和靈敏度關(guān)系，研究非線性剛度作用下輸入和輸出的關(guān)系，從設(shè)計(jì)的角度，提出驅(qū)動(dòng)微彈性梁、檢測(cè)微彈性梁各自的設(shè)計(jì)要求。

1微陀螺模型和線性化分析

考慮一類典型的梳齒型振動(dòng)式微陀螺[11](見(jiàn)圖1)，該模型把微陀螺簡(jiǎn)化為具有兩個(gè)自由度的剛體。這個(gè)剛體振動(dòng)系統(tǒng)有兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)模態(tài)：一個(gè)是質(zhì)量塊沿x方向的振動(dòng)，稱為驅(qū)動(dòng)模態(tài)；另一個(gè)是質(zhì)量塊沿y方向的振動(dòng)，它是科氏效應(yīng)引起的諧振，稱為檢測(cè)模態(tài)。振動(dòng)式微陀螺的工作就是將驅(qū)動(dòng)模態(tài)能量轉(zhuǎn)換到檢測(cè)模態(tài)。由于此類微陀螺檢測(cè)方向和驅(qū)動(dòng)方向的阻尼均為滑膜阻尼，這里假設(shè)阻尼為線性,重點(diǎn)考慮非線性剛度對(duì)其振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。

圖1　微陀螺的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型 Fig.1 A simplified dynamic model of mircrogyroscope

微陀螺工作時(shí)受x方向驅(qū)動(dòng)力的作用，若外界繞x軸、y軸和z軸分別有角速度Ωx、Ωy和Ωz旋轉(zhuǎn)時(shí)，微陀螺在x-y平面內(nèi)的兩自由度剛體計(jì)算模型的動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

(2)

(3)

當(dāng)kc=0,kq=0時(shí)，式(3)退化為線性系統(tǒng)：

(4)

這也是眾多文獻(xiàn)中通常采用的微陀螺分析模型[1-2,11-14]。

在小阻尼條件下，解方程(4)中的第一式，可得到驅(qū)動(dòng)方向的穩(wěn)態(tài)解：

x=Adsin(ω0t-ψd),

(5)

式中:

將式(5)代入線性化系統(tǒng)式(4)的第二式，得到檢測(cè)方向的穩(wěn)態(tài)解：

y=Ascos(ω0t-ψd-ψs)

(6)

式中：

綜合式(5)和式(6)，可得到線性化系統(tǒng)式(4)中檢測(cè)方向幅值與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系：

(7)

由于“靈敏度”表征的是微陀螺系統(tǒng)對(duì)外界輸入的敏感程度，靈敏度越大表明陀螺越容易受到外界影響，通常可以用單位角速度輸入引起的微陀螺在檢測(cè)方向上幅值A(chǔ)s的大小來(lái)表示靈敏度S，即：

(8)

由于“帶寬”是指陀螺能夠精確測(cè)量輸入角速度的頻率范圍，通常以標(biāo)度因子在3 dB點(diǎn)處的帶寬來(lái)表示，帶寬越大表明陀螺的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力越強(qiáng)。根據(jù)帶寬的定義，可以得到微陀螺的頻率響應(yīng)帶寬表達(dá)式：

BW=0.54|ωs-ω0|

(9)

由式(9) 可知，微陀螺工作帶寬BW與驅(qū)動(dòng)頻率ω0和檢測(cè)模態(tài)固有頻率ωs的匹配相關(guān)，與驅(qū)動(dòng)頻率ω0和驅(qū)動(dòng)模態(tài)的固有頻率ωd的匹配無(wú)關(guān)。但是，為了要獲得較大的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)和檢測(cè)響應(yīng)，驅(qū)動(dòng)頻率ω0一般取ωd。

圖2　微陀螺帶寬BW與靈敏度S的關(guān)系圖 Fig.2 Relationship between bandwidth and sensitivity of micro gyroscope

不計(jì)剛度非線性的情況下，微陀螺帶寬BW與靈敏度S的關(guān)系見(jiàn)圖2。由圖2 (a)可知，外界激勵(lì)驅(qū)動(dòng)頻率ω0取ωd時(shí)，外界輸入角速度Ωz與檢測(cè)位移幅值A(chǔ)s呈線性關(guān)系，該曲線的斜率即為靈敏度，隨著帶寬BW的增大，靈敏度下降。由圖2 (b)可知，外界輸入角速度Ωz為定值，當(dāng)驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率ωd與檢測(cè)模態(tài)固有頻率ωs不相等時(shí)，在頻域上有兩個(gè)峰值，當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率ω0等于驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率ωd或檢測(cè)模態(tài)固有頻率ωs時(shí)，靈敏度較大；當(dāng)驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率ωd與檢測(cè)模態(tài)固有頻率ωs相等時(shí)，在頻域上僅有一個(gè)峰值，靈敏度最高，但此時(shí)帶寬為0；帶寬BW從0、30 Hz、46 Hz增寬到62 Hz，靈敏度S在檢測(cè)模態(tài)和驅(qū)動(dòng)模態(tài)分別都降低。因此，可以認(rèn)為帶寬與靈敏度成反比關(guān)系，微陀螺要同時(shí)具有高靈敏度和高穩(wěn)定性，它的驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率ωd和檢測(cè)模態(tài)固有頻率ωs必須有偏差。

在驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率ωd和檢測(cè)模態(tài)固有頻率ωs偏差相等時(shí)，同時(shí)增大阻尼時(shí)，線性系統(tǒng)式(4)的幅頻特性見(jiàn)圖3。由圖3可知，無(wú)論如何改變系統(tǒng)阻尼，均不影響帶寬BW，隨著驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)的阻尼增大，驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)處同時(shí)靈敏度減小，當(dāng)增大到某值時(shí)，驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)處的靈敏減小到幾乎相等，雖然能獲得大帶寬，但靈敏度幾乎為0，系統(tǒng)對(duì)外界輸入響應(yīng)過(guò)低，并且，檢測(cè)模態(tài)cs的阻尼增大的倍數(shù)較驅(qū)動(dòng)模態(tài)的阻尼cd小時(shí)，檢測(cè)模態(tài)處?kù)`敏度減小的速度會(huì)較驅(qū)動(dòng)模態(tài)處?kù)`敏度減小的速度慢。因此，在固定帶寬下的靈敏度設(shè)計(jì)中，應(yīng)盡可能的減小驅(qū)動(dòng)模態(tài)的阻尼cd和檢測(cè)模態(tài)的阻尼cs，尤其需要減小檢測(cè)模態(tài)的阻尼cs

圖3　阻尼的改變對(duì)靈敏度S的 影響關(guān)系圖(BW=30 Hz) Fig.3 The damping effect on the sensitivity with BW=30 Hz

2模型的非線性分析

在考慮微陀螺的剛度非線性時(shí)，考察系統(tǒng)式(3)。首先將系統(tǒng)式(3)進(jìn)行無(wú)量綱化，設(shè)

則系統(tǒng)式(3)成為

(10)

為得到系統(tǒng)式(10)的近似周期響應(yīng)，可運(yùn)用多尺度法，設(shè)

T0=t,T1=εt,…,

x(t,ε)=X0(T0,T1)+εX1(T0,T1)+O(ε2),

則式(10)的第1式成為

(11)

因此，

(12)

代入式(11)，比較長(zhǎng)期項(xiàng)eiω0T0的系數(shù)得到：

(13)

令等式(13)右端為0，則可以求解A和φ。由此可知

x(t,ε)≈Acos(ω0t+φ)

(14)

(15)

將式(14) 代入式(10)的第二式得到

由于A=A(T1),因此仍可以設(shè)

同理得到：

(16)

令等式(17)右端為0，則得到檢測(cè)方向的周期解

y≈-Bsin(ω0T0+ψ)

(18)

(19)

根據(jù)式(15)和(19)，檢測(cè)振幅B為Ωz的非線性函數(shù)，其非線性程度取決于檢測(cè)剛度非線性系數(shù)kq和驅(qū)動(dòng)剛度非線性系數(shù)kc。

由于系統(tǒng)檢測(cè)方向的彈性力為

F=ksy+kqy3=(ks+kqy2)y

(20)

外界輸入角速度Ωz隨檢測(cè)位移幅值B的變化見(jiàn)圖4，二者之間不再呈線性關(guān)系，造成按照線性理論計(jì)算出的角速度不夠精確，同時(shí)系統(tǒng)的靈敏度不再是一固定值，而是隨著Ωz的變大逐漸變小 。

隨著驅(qū)動(dòng)微彈性剛度非線性系數(shù)kc的增大，檢測(cè)振幅B下降，并且其非線性程度下降。kc取值在[1,1010]的范圍內(nèi), 檢測(cè)振幅B受到影響的較小。因此，驅(qū)動(dòng)微彈性非線性剛度對(duì)檢測(cè)振幅的耦合影響比較低，設(shè)計(jì)微陀螺的驅(qū)動(dòng)微彈性梁時(shí)，可以選取驅(qū)動(dòng)微彈性非線性剛度較大的微彈性梁，這樣會(huì)獲得較大的系統(tǒng)輸出響應(yīng)，或者選取驅(qū)動(dòng)微彈性非線性項(xiàng)較小的微彈性梁，盡管響應(yīng)偏小但是這樣可以獲得趨于線性的系統(tǒng)輸出。

同時(shí)，隨著檢測(cè)剛度非線性系數(shù)kq的增大，檢測(cè)振幅B下降，并且其非線性程度升高(見(jiàn)圖5)。因此，設(shè)計(jì)微陀螺的彈性梁時(shí)，從獲得較大的系統(tǒng)輸出響應(yīng)以及線性輸出的角度考慮這兩個(gè)方面考慮，都應(yīng)該盡量避免檢測(cè)微彈性梁較大的剛度非線性，尤其是要確保檢測(cè)位移不要超過(guò)彈性范圍，這與非線性剛度作用下驅(qū)動(dòng)微彈性梁的設(shè)計(jì)是不同的。

圖4 當(dāng)ω0=ωd,BW=62,kq=1016時(shí),系統(tǒng)輸出隨驅(qū)動(dòng)梁剛度非線性系數(shù)kc的變化Fig.4Theoutputofthesystemvarieswithkcwhenω0=ωd,BW=62,andkq=1016圖5 當(dāng)ω0=ωd,BW=62,kc=1時(shí),系統(tǒng)輸出隨檢測(cè)梁剛度非線性系數(shù)kq的變化Fig.5Theoutputofthesystemvarieswithkqwhenω0=ωd,BW=62,andkc=1圖6 當(dāng)ω0=ωd,kc=1,kq=1016時(shí),系統(tǒng)輸出隨帶寬的變化Fig.6Theoutputofthesystemvarieswithbandwidthwhenω0=ωd,kc=1,andkq=1016

而根據(jù)帶寬對(duì)系統(tǒng)式(3)的輸出的影響規(guī)律發(fā)現(xiàn)，與線性系統(tǒng)類似，隨著帶寬的增大，靈敏度下降(見(jiàn)圖6)。根據(jù)圖6，系統(tǒng)的靈敏度和輸入角度速度呈非線性關(guān)系，當(dāng)Ωz=0.1時(shí)，零帶寬的輸出明顯高于有一定帶寬值的輸出，這說(shuō)明非線性剛度會(huì)造成在零角速度附近系統(tǒng)相對(duì)大的輸出，即出現(xiàn)明顯的零點(diǎn)漂移，這非常不利于檢測(cè)。因此，在設(shè)計(jì)微陀螺帶寬的時(shí)候，雖然零帶寬會(huì)帶來(lái)較高的輸出，但是，從非線性剛度對(duì)系統(tǒng)的影響角度看，應(yīng)該盡量避免零帶寬，一般選取一定的帶寬以便減少零點(diǎn)漂移，提高系統(tǒng)測(cè)量精度。

3結(jié)論與討論

針對(duì)一類典型的梳齒型振動(dòng)式微陀螺，通過(guò)建立微陀螺的線性和非線性振動(dòng)模型，對(duì)比線性模型和非線性模型的系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系，獲得如下結(jié)論：

(1) 無(wú)論線性模型還是非線性模型，微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的檢測(cè)靈敏度和帶寬都呈反比關(guān)系；

(2) 微彈性梁的非線性剛度使輸入角速度與檢測(cè)輸出呈非線性關(guān)系，檢測(cè)微彈性梁剛度的非線性系數(shù)在1016數(shù)量級(jí)時(shí)，系統(tǒng)的非線性程度明顯增強(qiáng)，因此，為了精確測(cè)量的要求，必須考慮系統(tǒng)的非線性。

(3) 從微彈性梁的設(shè)計(jì)角度來(lái)看，驅(qū)動(dòng)微彈性非線性剛度對(duì)檢測(cè)振幅的耦合影響比較低，可根據(jù)較大的輸出或者較小的非線性需要選取合適的驅(qū)動(dòng)微彈性梁；而檢測(cè)微彈性梁則需要選取較小的非線性剛度，確保檢測(cè)位移不要超過(guò)彈性范圍。

考慮到微彈性梁的非線性剛度的影響，為了減小零點(diǎn)漂移，微陀螺的帶寬必須非零。這有別與以往在高靈敏度設(shè)計(jì)方面的一些認(rèn)知，這一點(diǎn)是令人感興趣的。此外，微機(jī)械陀螺的工作環(huán)境常置于空氣中，由此空氣阻尼中的壓膜阻尼和滑膜阻尼引起的非線性效應(yīng)也是影響器件動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)定性的重要因素。討論不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的微機(jī)械陀螺的非線性阻尼對(duì)陀螺靈敏度和穩(wěn)定性方面的影響，以及阻尼非線性和剛度非線性以及非線性靜電力等因素對(duì)微陀螺諧振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的耦合作用，將成為我們下一步的工作目標(biāo)。

參 考 文 獻(xiàn)

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