第一作者 李金錄 女，碩士生，1988年生

通信作者 丁千 男，教授，1963年生

郵箱：qding@tju.edu.cn

局部約束結構振動的模態(tài)研究

李金錄1，丁千2

(1.天津大學 力學系，天津300072; 2.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津300072)

摘要：制動盤/摩擦塊系統(tǒng)的制動過程屬于局部接觸振動問題。摩擦塊局部接觸(約束)會對系統(tǒng)模態(tài)及固有頻率造成影響，進而影響制動噪聲的產(chǎn)生。將剎車盤簡化為一維循環(huán)梁結構，并建立了在摩擦塊作用下的運動方程。首先計算無接觸時梁自由振動的模態(tài)(參考模態(tài))。然后用線性彈簧代替局部接觸，列寫出連續(xù)條件并計算模態(tài)，得到所謂局部非連續(xù)基函數(shù)。將局部非連續(xù)基函數(shù)與參考模態(tài)進行正交化處理后，作為參考模態(tài)的補充，用于計算系統(tǒng)響應。與差分法結果比較表明，與傳統(tǒng)模態(tài)方法相比，局部非連續(xù)基函數(shù)法更為準確。研究發(fā)現(xiàn)局部接觸會抑制循環(huán)結構振動的對稱性，導致正弦或余弦模態(tài)消失，以及剛度非線性和摩擦作用，會使振動是波動型的。該工作為基于局部非連續(xù)基函數(shù)法研究摩擦結構不穩(wěn)定振動機理打下了基礎。

關鍵詞：摩擦盤；振動；模態(tài)；局部非連續(xù)基函數(shù)法

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11272228);高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20120032110011)

收稿日期：2013-07-23修改稿收到日期：2014-01-21

中圖分類號:TB533文獻標志碼： A

Modal approach for vibration of a structure with local constraints

LIJin-lu1,DINGQian2(1. Department of Mechanics, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, Tianjin 300072, China)

Abstract:Braking process of a brake disc is a vibration problem with local contacting, local contact has an influence on the modes and natural frequencies of the disc system. The method of local discontinuous basis function can be used to estimate the modes of the system accurately. Here, a brake disc contacted by a brake boot or a friction block was simplified as a one-dimensional beam with loop structures. Its equation of motion was established. Firstly, the free vibration modes of the beam without contact defined as the reference modes were calculated. Then the contact of the friction block was simplified as several linear springs. Using the continuous conditions, the system’s modes were calculated and orthogonalized with the reference modes, they were taken as the supplements of the reference modes and named the local discontinuoas basis functions. They were used to calculate the system response. Based on the discontinuous mode analysis, vibration of the brake disk under action of external excitation is calculated. The results showed that the local discontinuous basis function method is more accurate than the traditional modal method; the local contact of the friction piece can restrain the vibration symmetry of the brake disc to lead to disappearance of sine or cosine modes; nonlinear stiffness and friction make the vibration be wave type. This study laid a foundation for studying unstable vibration mechanism of structures with friction using the local discontinuous basis function method.

Key words: brake disc; vibration; model; local discontinuous basis function method

摩擦制動噪聲機理研究包括滯-滑自激振動(stick-slip)機理和結構不穩(wěn)定振動機理。滯-滑振動的典型物理模型為質量塊-平置/斜置移動帶模型，采用非線性摩擦力模型進行研究，結果十分豐富[1]。隨著計算條件提高，人們開始注重從結構不穩(wěn)定角度解釋制動噪聲，例如應用有限元和模態(tài)綜合技術進行建模，揭示結構參數(shù)不匹配對不穩(wěn)定模態(tài)的影響[2]。Hochlenert[3]指出，摩擦和結構的非線性耦合提高了耦合固有頻率，增加盤的旋轉能量向面外振動轉移，使尖叫能量更大。新的實驗技術也應用于剎車盤的振動和噪聲測試，如多普勒和全息攝影技術[4-5]。一些實驗也證明，摩擦盤的尖叫現(xiàn)象是摩擦塊與盤相互作用而產(chǎn)生的面外振動所造成的[6]。實驗和計算還發(fā)現(xiàn)，局部接觸使得盤失去振動軸對稱，存在由雙重特征頻率模態(tài)分裂導致的正、余弦模態(tài)尖叫和轉動尖叫三種可能(取決于剎車片尺寸與剎車盤的彎曲模態(tài)波長比值，并與結構非線性耦合有關[7])。

有些工程結構存在局部約束現(xiàn)象，受力描述可以是光滑非線性(例如摩擦接觸)，也可以是分段線性或非線性(例如間隙、沖擊)[8]。局部約束會對系統(tǒng)模態(tài)產(chǎn)生影響，進而影響系統(tǒng)動力學行為。由于局部約束造成模態(tài)內力或剪力產(chǎn)生跳躍(模態(tài)曲線仍是連續(xù)的)，Segalman[9]提出局部非連續(xù)基函數(shù)方法，即以線性剛度代替局部約束后求得模態(tài)函數(shù)，作為不考慮約束時的參考系統(tǒng)模態(tài)函數(shù)的補充，共同構成原系統(tǒng)的模態(tài)(基)函數(shù)。對結構鉸接點摩擦局部非線性引起的模態(tài)非光滑現(xiàn)象進行了研究，并得到實驗驗證。

制動系統(tǒng)振動模型屬于局部接觸(摩擦)非線性系統(tǒng)。針對局部非連續(xù)基函數(shù)方法的應用，對簡化的剎車盤系統(tǒng)進行降維，分析局部約束對循環(huán)結構模態(tài)的影響，作為準確計算摩擦盤噪聲振動的基礎。

1摩擦盤簡化振動模型

摩擦盤是一個三維環(huán)形盤。若忽略面內徑向運動和扭轉，只考慮主要影響摩擦噪聲的圓盤邊緣處的面外運動，可近似轉化成研究一維梁的橫向振動。由于梁左右兩端力學邊界條件是接續(xù)的，從而構成一維循環(huán)梁結構[9]，如圖1(a)所示。將與摩擦盤接觸的摩擦塊離散成均布的若干質量塊(見圖1(b))，應用Hamilton原理推導出包含非線性變形因素的梁的橫向振動方程：

圖1　剎車盤/摩擦塊系統(tǒng)及簡化 Fig.1 The simplified model of brake disc/friction block system

-L1(x,t)δ(x-xi)

(1)

其中:xi是質量塊所在位置的軸向坐標，δ是單位脈沖函數(shù)。L1(x,t)中包含質量塊所在位置的橫向恢復力、局部轉動造成的摩擦力投影、彈性變形產(chǎn)生的力矩及質量塊慣性力，如下式：

其他各符號的含義見表1。

只研究局部接觸對梁橫向振動模態(tài)的影響，暫不考慮摩擦塊在盤面內的復雜運動。

表1　符號及含意

2構造局部非連續(xù)基函數(shù)

2.1參考系統(tǒng)基函數(shù)

若不考慮摩擦塊局部接觸(約束)，即得到線性參考系統(tǒng)，其自由振動方程為

(2)

取如下形式響應

(3)

式中:n=1, 2, 3…。φn(x)是系統(tǒng)(2)的第n階彎曲模態(tài)，也稱參考模態(tài)或基函數(shù)，ηn(t)是相應的模態(tài)振幅。假定梁受到橫向支撐運動y激勵下產(chǎn)生振動，則其彈性變形為u(x,t)=w(x,t)-y(x,t)。自由振動時u(x,t)=w(x,t)。由于圖1所示循環(huán)梁的兩端具有相同的位移和力邊界條件，因此選擇同時包含正弦和余弦函數(shù)作為模態(tài)函數(shù)。參考模態(tài)和對應的頻率是：

(4)

(5)

當模態(tài)階數(shù)n為奇數(shù)時，第n階與第n+1(偶數(shù))階模態(tài)頻率相同，每個頻率值對應一個正弦模態(tài)和一個余弦模態(tài)，即具有雙模態(tài)特性。這是由循環(huán)系統(tǒng)模型的軸對稱性所產(chǎn)生的現(xiàn)象。

2.2局部非連續(xù)基函數(shù)

將摩擦塊/盤接觸約束簡化成一個剛度系數(shù)k的線性彈簧(也稱附加線性彈簧)，作用于接觸部位中部，得到約束線性化系統(tǒng)。左右兩段梁的振動連續(xù)條件為(若有多個約束部位簡化成附加線性彈簧，則所有相鄰梁都需要給出連續(xù)條件)

u1,xx(-L,t)=u2,xx(L,t),u1,xxx(-L,t)=u2,xxx(L,t)

u1(0,t)=u1(0,t),u1,x(0,t)=u2,x(0,t)

u1,x(0,t)=u2(0,t),

EI(u1,xxx(0,t)-u2,xxx(0,t))=ku2(0,t)

(6)

式中：

u1(x,t)：x∈(-L,0);u2(x,t)：x∈(0,L)

兩段梁的響應分別取如下形式

(7)

式中:ψmj(x)是約束線性化循環(huán)梁的彎曲模態(tài)，取如下形式

(8)

對應的頻率為

(9)

式中：λj為受到附加線性彈簧個數(shù)的影響，其形式是一個超越函數(shù)，只能計算得到近似值。式(8)表達的兩段梁的模態(tài)位移是連續(xù)的，但一次導數(shù)是間斷的。表明局部約束點的模態(tài)內力或剪力產(chǎn)生跳躍，因此稱為局部非連續(xù)基函數(shù)。

2.3構造局部接觸系統(tǒng)的響應

(10)

其中，j=2, 3, …，N為參考模態(tài)數(shù)量。proj定義為(引入向量v1和v2來說明)

因此，梁的振動響應

(11)

其中ηn和ηmj由模態(tài)方程確定

(12)

(13)

式中:j表示非連續(xù)基函數(shù)的階數(shù)。

3計算分析

3.1確定附加線性彈簧剛度

將接觸約束用一個剛度系數(shù)k的線性彈簧代替，計算得到約束線性化系統(tǒng)固有頻率隨著k值的變化(見圖2)。為使非連續(xù)基函數(shù)能夠恰當描述約束的影響，k值不應過大或過小，而是選在0-∞的變化過程中，固有頻率變化趨勢產(chǎn)生轉換的地方，即拐點處的值。由圖2可知，k約取為106.6N/m。

圖2　約束線性化系統(tǒng)固有頻率與線性剛度的關系 Fig.2 the relationship of inherent frequency and linear stiffness of reference system

3.2局部約束對循環(huán)梁模態(tài)的影響

表2給出了參照系統(tǒng)和約束線性化系統(tǒng)的前5階固有頻率?？梢钥闯觯瑓⒄障到y(tǒng)第一階固有頻率=0，分別對應平動和轉動兩種剛體運動。所有其他非零固有頻率都為雙頻率，即每個頻率值均對應一個正弦模態(tài)和一個余弦模態(tài)，即系統(tǒng)具有雙模態(tài)特性(這是循環(huán)對稱系統(tǒng)的特點)，參見圖3。

圖4為約束線性化系統(tǒng)的模態(tài)。附加線性彈簧帶來兩個明顯變化：① 原有第1階剛體模態(tài)轉變成產(chǎn)生彈性變形的模態(tài)，約束處為其波峰；② 破壞了原結構的振型對稱性，導致雙模態(tài)特征頻率分離。見表2中第2階線性基函數(shù)頻率對應的是正弦及余弦兩種模態(tài)，彈簧的引入使得原頻率分離成兩個頻率成分，且對應的皆為余弦模態(tài)，這是由于附加彈簧正好作用在正弦振型的零點和余弦振型的波峰處，因此第2階正弦成分被抑制，而對余弦成分的影響并不大。在第2階模態(tài)后，正弦成分均消失，失去雙模態(tài)特性。另外，表2還表明各階模態(tài)頻率較參照系統(tǒng)有所增加。這些結果與實驗基本一致[12]。

圖3　參照系統(tǒng)模態(tài) (b)、(c)、(d)、(e)分別代表 第1、第3、第4、第5階模態(tài) Fig.3 Modes of the reference system

Tab.2 The comparison of basis function of frequency

階數(shù)n線性基函數(shù)頻率非連續(xù)基函數(shù)頻率10454.9821698.901700.6,1860.5736795.596802.39415290.0815305.38527182.3727209.56

圖4　約束線性化系統(tǒng)模態(tài) (a)、(b)、(c)、(d)、(e)分別代表 第1、第2、第3、第4、第5階模態(tài) Fig.4 Modes of the constraint system

3.3非連續(xù)基函數(shù)的正交化

按照局部非連續(xù)基函數(shù)方法，若只有一處局部約束，計算系統(tǒng)響應一般只需考慮附加一個線性彈簧得到的約束線性化系統(tǒng)的第1階非連續(xù)基函數(shù)。若局部約束的相對范圍較大，則可以在約束范圍內依次引入多個附加線性彈簧，分別得到第1階非連續(xù)基函數(shù)并進行正交化處理，得到相應的模態(tài)。最后，通過線性疊加來分析系統(tǒng)響應。對于循環(huán)系統(tǒng)，依次引入的多個附加線性彈簧的剛度應該取相同的值。

引入一個線性彈簧，由式(10)得到與前N階參照系統(tǒng)模態(tài)正交化和歸一化后的非連續(xù)基函數(shù)函數(shù)

2.019 0×10-4×cos(34.783x)-5.475 3×10-2cos(8.695 7x)-

0.311 28cosh(4.5x)-1.719 3×10-4sin(8.695 7x)-

2.015 4×10-5sin(17.391x)-2.535 9×10-6sin(34.783x)-

7.953 0×10-5cos(43.478x)+0.288 49sin(4.5x)-0.287 96sinh(4.5x)-

1.248 9×10-6sin(43.478x)-6.234 2×10-4cos(26.087x)-5.872 9×10-6sin(26.087x)

( 14)

2.019 0×10-4cos(34.783x)-5.475 3×10-2cos(8.695 7x)-

0.312 21cosh(4.5x)-1.719 3×10-4sin(8.695 7x)-

2.015 4×10-5sin(17.391x)-2.535 9×10-6sin(34.783x)-

7.953 0×10-5cos(43.478x)-0.288 44sin(4.5x)+0.288 98sinh(4.5x)-

1.248 9×10-6sin(43.478x)-6.234 2×10-4cos(26.087x)-5.872 9×10-6sin(26.087x)

(15)

圖5　正交化后非連續(xù)基函數(shù) Fig.5 The discontinuous basis function after the orthogonalization (a)、(b)、(c)、(d)分別代表與0階，6階， 8階，10階參考模態(tài)正交化的約束模態(tài)

3.4振動響應計算

為驗證非連續(xù)基函數(shù)的正確性，將約束線性化為一個附加彈簧，計算得到圖6所示循環(huán)梁的響應撓曲線。響應振型函數(shù)選用兩種情況：振型A中全部為非連續(xù)基函數(shù)(針對約束線性化循環(huán)梁，該基函數(shù)是準確的模態(tài)函數(shù))，振型B是由參考基函數(shù)加上第一階非連續(xù)基函數(shù)構成?？梢钥闯觯舱駬锨€形狀基本相似，只是高階共振撓曲線形狀出現(xiàn)少許差異。因此，應用非連續(xù)基函數(shù)法(即，以非連續(xù)基函數(shù)作為傳統(tǒng)基函數(shù)的補充)，可以得到較準確模態(tài)函數(shù)。

圖6　響應撓曲線圖 Fig. 6 The chart of flexural response (a)、(b)、(c)、(d)分別代表與激振頻率分別為的第2、 第3、第4、第5階系統(tǒng)固有頻率時的響應撓曲線圖

考慮到實際摩擦塊范圍較大(約占摩擦盤邊緣周長的1/5～1/4)，我們將摩擦塊簡化成均勻分布的三個質量塊。對應于每個質量塊，分別計算接觸約束的第一階非連續(xù)基函數(shù)。將三個非連續(xù)基函數(shù)(實際上只有相位的差別)均作為傳統(tǒng)基函數(shù)的補充，計算循環(huán)梁各階共振時的撓曲線，并與僅按照傳統(tǒng)模態(tài)方法和差分法的結果進行了比較(見圖7)。

圖7　響應撓曲線圖 Fig.7 The chart of flexural response (a)、(b)、(c)、(d)分別代表與激振頻率分別為的第1、 第3、第4、第5階系統(tǒng)固有頻率時的響應撓曲線圖

總體上看，相對于傳統(tǒng)基函數(shù)方法，非連續(xù)基函數(shù)方法得到的各階共振曲線與差分法計算結果更為接近。由圖8(c)可見，由于考慮了約束的作用，約束位置的響應明顯較小，且摩擦盤的整體響應幅值減小，充分體現(xiàn)出了局部約束對摩擦盤響應的抑制作用。

圖8　梁中點的時間歷程(第二階共振) Fig.8 The chart of time course with the midpoint of the beam

第2階共振時，梁中點的響應如圖8所示。參照系統(tǒng)中，由于求解響應時忽略了剛體位移(即零頻率模態(tài))，計算出的振動幅值很小，不能充分體現(xiàn)振動的真實情況[11]。應用非連續(xù)基函數(shù)法過程中，由于考慮了彈簧的約束住用，把一個循環(huán)體分成兩個獨立的單元來計算，此時便能計算出系統(tǒng)的第一階頻率，使計算結果更符合真實情況。

另外，非連續(xù)基函數(shù)法和差分方法得到時間歷程曲線，其幅值均是波動型的，體現(xiàn)了剛度非線性和摩擦的作用。

4結論

將剎車盤/摩擦塊系統(tǒng)近似為循環(huán)梁結構，利用非連續(xù)基函數(shù)法計算摩擦塊局部接觸對系統(tǒng)模態(tài)及響應的影響。結論如下：

(1) 非連續(xù)基函數(shù)方法是通過將局部約束處簡化成線性彈簧，通過估算合理的剛度值，得到約束作用下系統(tǒng)的基函數(shù)，作為傳統(tǒng)模態(tài)方法的線性基函數(shù)的補充，可以更準確地描述局部約束下的系統(tǒng)模態(tài)振型。由于每一處局部約束只需計算第一階非連續(xù)基函數(shù)，因此分析過程較為簡單。

(2) 局部摩擦接觸對循環(huán)結構的雙模態(tài)特性會產(chǎn)生較大影響，某類模態(tài)會被抑制，抑制程度取決于約束的位置。

(3) 使用非連續(xù)基函數(shù)法計算系統(tǒng)響應，可以準確計算出波動型響應，因此可用於分析各類非線性系統(tǒng)動力學的研究。

進一步的工作，需要綜合考慮剎車盤振動和制動塊振動的聯(lián)合方程，以及摩擦力的非線性和參數(shù)時變性因素，研究系統(tǒng)動力學降維和產(chǎn)生制動噪聲的結構不穩(wěn)定振動機理。

參 考 文 獻

[1] 丁千，翟紅梅.機械系統(tǒng)摩擦動力學研究進展[J].力學進展，2013，43(1): 112-131.

DING Qian, ZHAI Hong-mei. The advance in researches of friction dynamics in mechanics system[J]. Advances in Mechanics, 2013, 43 (1): 112-131.

[2] 余為高, 于學華. 應用有限元法對盤式制動器制動噪聲分析[J].科學技術與工程，2009, 9(2): 3234-3236.

YU Wei-gao YU Xue-hua.Analysis of disc brake noise based on finite element methods[J].Science Technology and Engineering,2009,9(2);3234-3236.

[3] Hochlenert D, Hagedorn P. Control of disc brake squeal-modelling and experiments[J]. Structural Control and Health Monitoring, 2006, 13:260-276.

[4] Stanbridge A B, Ewins D J. Using a continuously-scanning laser doppler vibrometer for modal testing[C].Proc. IMAC, 14th Int. Modal Analysis Conf. 1996, 816-822.

[5] Fieldhouse J D, Newcomb T P. An experimentalinvestigation into disc brake noise[J]. Proc. IMechE, 1993,C444/036, 145-159.

[6] Cunefare K A, Ryan R. Investigation of discsqueal via sound intensity and laser vibrometry[J]. 2001, SAE Paper No. 2002-01-1604.

[7] Gianninia O, Massi F. Characterization of the high-frequency squeal on a laboratory brake setup[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 310: 394-408.

[8] 呂延軍,虞烈，劉恒. 非線性轉子一軸承系統(tǒng)的動力學特性及穩(wěn)定性[J].機械強度, 2004, 26(3)：242-246.

Lü Yan-jun, YU Lie, LIU Heng.Dynamic characteristics and stability of nonlinear rotor-bearing system[J]. Journal of Mechanical Strength.2004.26(3):242-246.

[9] Segalman D J. Model reduction of systems with localized nonlinearities[J]. ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2007, 2: 249-266.

[10] Shin K, Brennan M J, Joe Y G, et al.Simple mode1s to investigate the effect of velocitydependent friction on the disk brake squeal noise[J]. Int. J.Automotive Technology, 2004,5(1):61-67.

[11] Joe Y G, Cha B G. Analysis of disc brake instability due to friction-induced vibration using a distributed parameter model[J]. International Journal of Automotive Technology, 2008, 9(2):161-171.

[12] Berger E J. Friction modeling for dynamic system simulation[J]. Trans ASME Appl Mech Rev, 2002, 55: 535-577.