岳書常，許英姿，劉燦昌，鞏慶梅，任傳波，周繼磊

(山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院， 山東淄博255049)

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基于線性控制參數(shù)的非線性汽車懸架最優(yōu)控制

岳書常，許英姿，劉燦昌，鞏慶梅，任傳波，周繼磊

(山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院， 山東淄博255049)

摘要：為研究非線性汽車懸架的振動(dòng)控制問題，提出一種基于線性控制參數(shù)的最優(yōu)控制方法。建立了兩自由度懸架非線性動(dòng)力學(xué)和數(shù)學(xué)模型，引入速度和位移線性控制參數(shù)，采用平均法導(dǎo)出懸架的主共振幅頻響應(yīng)特性，分析了激勵(lì)幅值、非線性程度及控制參數(shù)的變化對(duì)共振幅值的影響。對(duì)懸架的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，在保證振動(dòng)方程存在穩(wěn)定解的條件下，得到控制參數(shù)的取值范圍。以懸架的衰減率和振動(dòng)能量為目標(biāo)函數(shù)，以控制參數(shù)取值范圍為約束條件，利用最優(yōu)化方法得到最優(yōu)控制參數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，懸架的非線性振動(dòng)特性受激勵(lì)幅值和系統(tǒng)非線性程度的共同影響，在控制過程中速度控制參數(shù)起主要作用，當(dāng)兩種控制參數(shù)取得最佳值時(shí)，懸架共振峰值較無控制參數(shù)可衰減88%左右，且懸架的非線性振動(dòng)特性得到消除。最后利用數(shù)值仿真，驗(yàn)證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：非線性汽車懸架；線性控制參數(shù)；平均法；衰減率；能量函數(shù)；最優(yōu)控制

0引言

受能源、環(huán)境、技術(shù)等條件的制約，傳統(tǒng)汽車的發(fā)展逐漸放緩，在現(xiàn)有技術(shù)的基礎(chǔ)上，提高用戶乘車的舒適性和安全性顯得尤為重要，而對(duì)這兩個(gè)性能指標(biāo)影響最大的便是汽車懸架[1-4]。

基于線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制在線性懸架的主動(dòng)控制中有效地提高了懸架的性能[1, 5-9]，但這些工作主要圍繞線性汽車懸架的動(dòng)力響應(yīng)分析、參數(shù)優(yōu)化及主動(dòng)與半主動(dòng)控制方法的研究，而懸架作為典型的非線性系統(tǒng)[10-11]，受路面激勵(lì)時(shí)會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，采用此方法在一定程度上存在很大的局限性。因此，眾多學(xué)者圍繞非線性汽車懸架的控制問題開展了廣泛的研究。梁山等[11]利用仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了非線性汽車懸架受路面激勵(lì)而發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的可能性。馮菲等[12]對(duì)4種路面激勵(lì)下汽車非線性懸架最優(yōu)控制展開研究，通過設(shè)計(jì)合適的系統(tǒng)參數(shù)能夠得到較好的振動(dòng)控制效果。江雄[13]采用等效線性化的方法研究了不同工況下1/4車非線性懸架的隨機(jī)最優(yōu)控制，雖然能取得較好的減振效果，但僅限于四分之一車懸架的隨機(jī)響應(yīng)及主動(dòng)控制。在改進(jìn)控制策略方面，陳寧等[14]基于分?jǐn)?shù)階微分理論結(jié)合天棚阻尼控制策略得到一種改進(jìn)的主動(dòng)控制策略，雖然控制效果較好，但結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜。范建文等[15]提出一種最優(yōu)控制與模糊控制相結(jié)合的復(fù)合控制策略，這實(shí)際上是在一定程度上對(duì)最優(yōu)控制及模糊控制進(jìn)行優(yōu)化，二者結(jié)合有效提高控制效果。

就上述研究現(xiàn)狀來看，在非線性控制方法的理論研究方面取得了一定的進(jìn)展，但在控制過程中得到合適的反饋控制增益卻不容易。另外，懸架作為機(jī)電液耦合系統(tǒng)，不可避免的存在時(shí)間滯后，這會(huì)導(dǎo)致控制系統(tǒng)失穩(wěn)或出現(xiàn)混沌等復(fù)雜運(yùn)動(dòng)[2,16]。

為了更好的實(shí)現(xiàn)非線性汽車懸架的控制，提高振動(dòng)控制對(duì)激勵(lì)變化的適應(yīng)性。本文以1/4車懸架模型為對(duì)象，通過引入線性控制參數(shù)，分析汽車懸架非線性振動(dòng)特性影響因素，在保證振動(dòng)方程存在穩(wěn)定解的基礎(chǔ)上得到控制參數(shù)的取值范圍，以衰減率和能量函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，利用最優(yōu)化方法得到最優(yōu)控制參數(shù)，進(jìn)而得到滿意的振動(dòng)控制效果。

1非線性懸架模型

以1/4車體為研究對(duì)象，建立懸架兩自由度模型，如圖1所示。圖1中，m1、m2分別為車體質(zhì)量和車輪質(zhì)量，c為懸架阻尼系數(shù)，k1、k2分別為懸架剛度系數(shù)和輪胎剛度系數(shù)，x1、x2和x0分別表示車身位移、車輪位移和路面不平度函數(shù)。

圖1所示的懸架的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

圖1　兩自由度1/4汽車懸架模型Fig.1　The quarter vehicle model with two degree-of-freedom

式中，ε(0<ε<1)表示懸架彈簧的非線性程度；x0=Acosωt，其中A表示激勵(lì)幅值，ω表示激勵(lì)頻率。

令z1=x1-x0，z2=x2-x0，則式(1)變?yōu)?/p>

(2)

在線性控制參數(shù)作用下，式(2)變?yōu)?/p>

(3)

2求解非線性振動(dòng)方程

假設(shè)式(3)的解滿足

zi=aicos(ωt-θi)i=1,2,

(4)

(5)

其中，ai、θi均為時(shí)間t的慢變函數(shù)，并記φi=ωt-θi。

對(duì)式(4)求微分，得

(6)

由式(5)、(6)可以得到

(7)

將式(4)、(5)帶入式(3)中，整理得

(8)

其中，

由式(7)、(8)可得

(9)

利用平均法，將式(9)在[02π]上平均積分，即

(10)

通過計(jì)算，得

(11)

(12)

本文只考慮激勵(lì)頻率接近懸架固有頻率ω1或ω2時(shí)的主共振情況，并且在非內(nèi)共振情況下，當(dāng)ω接近ω1時(shí)，與a1相比，a2是小量；當(dāng)ω接近ω2時(shí)，與a2相比，a1是小量。所以式(11)、(12)變?yōu)?/p>

(13)

(14)

(15)

(16)

消去θi，得到主共振幅頻響應(yīng)方程

(17)

由式(17)可得，主共振峰值大小分別為

(18)

相應(yīng)的無控制時(shí)主共振峰值大小為

(19)

為了評(píng)價(jià)振動(dòng)控制的效果，將有控制、無控制時(shí)懸架主共振振幅峰值的比值定義為衰減率，第一階和第二階主共振時(shí)的衰減率分別為

(20)

由式(20)可知，當(dāng)衰減率01時(shí)，說明振動(dòng)控制前后主共振振幅增大，未起到減振作用。

3運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性及最優(yōu)控制分析

只對(duì)車身運(yùn)動(dòng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。懸架非線性振動(dòng)解的穩(wěn)定性由式(13)的矩陣的所有特征值所決定，考慮到其特征方程為

(21)

由穩(wěn)定性定理[17]知，對(duì)于μe>0，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為

(22)

由式(22)可以得到

(23)

(24)

(25)

(26)

為了評(píng)價(jià)控制參數(shù)對(duì)懸架非線性振動(dòng)的控制效果，將最優(yōu)化控制中的衰減率和振動(dòng)能量的加權(quán)平方和作為優(yōu)化函數(shù)，將控制參數(shù)取值范圍作為最優(yōu)控制的約束條件，即

J=ρ1R2+ρ2E2,

(27)

s.t.

(28)

(29)

選擇圖1所示的懸架作為仿真模型，各參數(shù)的取值分別為：m1=240 kg，m2=36 kg，k1=16 000 N/m，k2=160 000 N/m，c=250 N·s/m，A=0.10 m，ε=0.4。

利用MATLAB，設(shè)置不同的速度控制參數(shù)限值，得到優(yōu)化計(jì)算結(jié)果如表1所示，其中g(shù)u1和gu2分別對(duì)應(yīng)于式(29)所表示的位移控制參數(shù)gu的兩種不同取值。表1表明，控制參數(shù)限值λ取值的不斷減小，使得控制參數(shù)gu和gv呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)，衰減率R由1.000變化到0.290，振動(dòng)能量E也相應(yīng)地分別取得不同值。這就是說，通過設(shè)置λ的取值，控制參數(shù)會(huì)相應(yīng)的做出變化，進(jìn)而可以得到不同的振動(dòng)控制效果。

表1　優(yōu)化計(jì)算結(jié)果

4數(shù)值仿真

為了分析控制參數(shù)對(duì)懸架非線性振動(dòng)的減振作用，首先考慮不同激勵(lì)幅值和非線性程度對(duì)懸架主共振幅值的影響(以第一階主共振為例)。圖2表示非線性程度取固定值(ε=0.4)，激勵(lì)幅值取不同值時(shí)的第一階主共振幅頻曲線。從圖2可以看出，隨著激勵(lì)幅值的增大，主共振振幅隨之增大，而共振頻率變化不大；當(dāng)激勵(lì)幅值較小時(shí)(A=0.05 m)，懸架振動(dòng)呈現(xiàn)出線性特性，隨著激勵(lì)幅值的增大，線性特性逐漸減弱，當(dāng)A=0.10 m時(shí)，呈現(xiàn)出非線性特性。

圖3表示激勵(lì)幅值取固定值(A=0.10 m)時(shí)不同非線性程度下的主共振幅頻曲線。從圖3可以看出，當(dāng)激勵(lì)幅值一定時(shí)，隨著非線性程度的增大，懸架振動(dòng)逐漸由線性特性轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性特性，主共振振幅隨著ε的增大而增大，而主共振頻率變化不大。

圖2ε=0.4時(shí)不同激勵(lì)幅值下的幅頻曲線

Fig.2Amplitude-frequency curves with different

amplitude of the excitation, whereε=0.4

圖3A=0.1 m時(shí)不同非線性程度下的幅頻曲線

Fig.3Amplitude-frequency curves with different

nonlinear degree, whereA=0.1 m

通過圖2和圖3還可以發(fā)現(xiàn)，懸架非線性特性的出現(xiàn)受激勵(lì)幅值和非線性程度二者的共同作用，當(dāng)非線性程度較大(ε=0.4)、激勵(lì)幅值較小(A=0.05m)，或者非線性程度較小(ε=0.1)、激勵(lì)幅值較小(A=0.10m)時(shí)，均表現(xiàn)出線性特性。

取A=0.10m，ε=0.4，其他參數(shù)保持不變，得到控制參數(shù)對(duì)共振幅值的影響如圖4所示。當(dāng)A=0.10m時(shí)，在gv不變(gv=0)、gu變化的情況下，懸架振動(dòng)表現(xiàn)出非線性特性，隨著gu取值的減小，非線性程度有所增加，并且主共振峰值所對(duì)應(yīng)的激勵(lì)頻率向左偏移，而主共振峰值變化較小，如圖4(a)所示。當(dāng)gu=0、gv發(fā)生變化時(shí)，隨著gv取值的減小，主共振幅值明顯減小，而主共振峰值對(duì)應(yīng)的激勵(lì)頻率變化不大，如圖4(b)所示。從圖4(b)還可以看出，隨著gv取值的減小，懸架的非線性特性程度逐漸減弱直至完全變?yōu)榫€性特性。

圖4(c)表示gu和gv均發(fā)生變化時(shí)主共振幅值與激勵(lì)頻率之間的關(guān)系曲線。從圖4(c)中可以看出，隨著gu和gv的變化，主共振幅值逐步減小，特別是當(dāng)gu=6.16和gv=0變化到gu=0.11和gv=-8時(shí)，主共振幅值由0.85 m減小到0.10 m左右，這說明在兩種控制參數(shù)作用下，懸架振動(dòng)控制效果較無控制參數(shù)能夠提高88%。對(duì)比圖4(a) ~ (c)還可以發(fā)現(xiàn)，gv在控制過程中起主要作用，其對(duì)懸架系統(tǒng)的減振效果明顯優(yōu)于gu對(duì)系統(tǒng)的減振效果。

(a)gv=0

(b)gu=0

(c) gv≠0且gu≠0

圖5表示不同激勵(lì)頻率下速度控制參數(shù)變化曲線。由圖5可以看出，隨著激勵(lì)頻率ω的增大，速度控制參數(shù)gv逐漸減小，表明當(dāng)激勵(lì)頻率變化時(shí)，速度控制參數(shù)也會(huì)隨之變化，速度控制參數(shù)對(duì)于激勵(lì)的變化表現(xiàn)出良好的適應(yīng)性。從圖5還可以看出，當(dāng)激勵(lì)頻率ω不變時(shí)，增大非線性程度ε的取值，速度控制參數(shù)gv不斷減小，這種現(xiàn)象說明非線性程度在控制作用中的作用不可忽視。

圖6表示不同激勵(lì)頻率下非線性程度ε對(duì)衰減率R的影響。從圖6可以看出，隨著ε的增大，衰減率隨之減小，意味著懸架主共振幅值的減小，進(jìn)一步說明了減振效果。另外，對(duì)于某一固定激勵(lì)頻率ω下，隨著非線性程度ε的增大，速度控制參數(shù)gv不斷減小，同樣表現(xiàn)出控制參數(shù)對(duì)于不同非線性程度的適應(yīng)性。

上述算例的分析表明，非線性汽車懸架的振動(dòng)受激勵(lì)幅值和非線性程度二者的共同作用，在控制參數(shù)的作用下，懸架振動(dòng)所表現(xiàn)出的非線性現(xiàn)象得到抑制，并且振幅峰值大幅度衰減。另外，當(dāng)激勵(lì)或系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，由最優(yōu)化控制得到的最優(yōu)控制參數(shù)能做出相應(yīng)的變化，避免失穩(wěn)現(xiàn)象的發(fā)生。因此，相比于其他最優(yōu)化控制方法，基于線性控制參數(shù)的最優(yōu)化控制方法表現(xiàn)出了較強(qiáng)的優(yōu)越性。

圖5ε取不同值時(shí)激勵(lì)頻率ω對(duì)gv的影響

Fig.5Effect ofωongv with different values ofε

圖6ε取不同值時(shí)激勵(lì)頻率ω對(duì)R的影響

Fig.6Effect ofωonRwith different values ofε

5結(jié)論

對(duì)于兩自由度非線性汽車懸架，本文采用引入線性控制參數(shù)研究激勵(lì)和非線性程度分別變化對(duì)懸架振動(dòng)的影響以及控制參數(shù)對(duì)懸架的減振作用，得到如下結(jié)論：

①懸架的非線性特性受激勵(lì)幅值和系統(tǒng)非線性程度的共同影響，僅考慮激勵(lì)幅值或非線性程度并不足以說明懸架振動(dòng)的非線性特性，懸架的非線性振動(dòng)是激勵(lì)和彈簧非線性聯(lián)合作用下的運(yùn)動(dòng)。

②在懸架非線性振動(dòng)中引入線性控制參數(shù)gu和gv，一方面懸架共振峰值由0.85 m降到0.10 m左右，振動(dòng)衰減效果明顯，另一方面在振動(dòng)過程中出現(xiàn)的非線性特性得到消除。另外，從控制效果來看，速度控制參數(shù)gv優(yōu)于位移控制參數(shù)gu，而且gu和gv取不同值時(shí)懸架主共振幅值降低程度不同，即產(chǎn)生不同的控制效果。

③基于線性控制參數(shù)的最優(yōu)化控制是研究懸架非線性振動(dòng)的一種有效方法。當(dāng)激勵(lì)或非線性程度發(fā)生變化時(shí)，控制參數(shù)也會(huì)隨之變化，但仍取得良好的控制效果，說明控制參數(shù)對(duì)于激勵(lì)或非線性程度的變化具有一定適應(yīng)性。

④基于線性控制參數(shù)的振動(dòng)控制相對(duì)簡單且容易理解，與無線性控制參數(shù)時(shí)相比，振動(dòng)控制效果可以提高88%，為懸架減振控制研究提供了基礎(chǔ)。事實(shí)上，懸架作為強(qiáng)耦合系統(tǒng)，不可避免的存在時(shí)間滯后問題，因此基于控制參數(shù)的非線性汽車懸架最優(yōu)控制效果有待進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，這也是今后工作的重點(diǎn)。

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(責(zé)任編輯梁健)

Optimal control of nonlinear vehicle suspension based on linear control parameters

YUE Shu-chang, XU Ying-zi, LIU Can-chang, GONG Qing-mei, REN Chuan-bo, ZHOU Ji-lei

(School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:In order to study the vibration control of nonlinear vehicle suspension, an optimal control method is presented by using control parameters and applied to the control of nonlinear vibration of vehicle suspension system. The nonlinear dynamic and math model of two degree-of-freedom suspension system is built and the linear control parameters of velocity and displacement are applied. The amplitude-frequency response is obtained by averaging method. The following analysis of the effects of excitation amplitude, nonlinear degree and the control parameters on resonance amplitude are studied. The suspension system stability is analyzed, and the range of control parameters is gained on the condition of stable solution of the system. Taking the attenuation rate and vibration energy of suspension system as objective functions and the stable control parameters as constraint conditions, the optimal control parameters are calculated by the optimization method. The results show that the nonlinear vibration characteristic of vehicle suspension is influenced by the amplitude of excitation and the nonlinear degree of the system. The control parameter of velocity plays the main control role. The peak amplitude of suspension vibration can be suppressed about 88% when the optimal values of two control parameters are obtained by comparing with no control parameters, and the nonlinear characteristics can be eliminated. Finally, a simulation example validated the correctness and effectiveness of the results.

Key words:nonlinear vehicle suspension; linear control parameters; averaging method; attenuation rate; vibration energy; optimal control

中圖分類號(hào)：O322；U463.33

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-7445(2015)06-1372-09

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2015.1372

通訊作者：許英姿(1961—)，女，山東淄博人，山東理工大學(xué)副教授; E-mail：xuyz@sdut.edu.cn。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275280)

收稿日期：2015-10-26；

修訂日期：2015-11-12