張海龍，陸廣華，于　慧，王東進(jìn)

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 中國(guó)科學(xué)院電磁空間信息重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,　合肥 230027)

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基于壓縮感知的分布式MIMO成像雷達(dá)網(wǎng)格失配問(wèn)題研究

張海龍，陸廣華，于慧，王東進(jìn)

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 中國(guó)科學(xué)院電磁空間信息重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230027)

摘要：在基于壓縮感知的分布式多輸入多輸出(MIMO)成像雷達(dá)系統(tǒng)中，若成像目標(biāo)不在事先劃分的網(wǎng)格點(diǎn)上，即存在網(wǎng)格失配(Off-Grid)偏差時(shí)，成像結(jié)果將急劇惡化，文中針對(duì)該問(wèn)題，分別在Off-Grid偏差一階和二階近似下提出了行之有效的解決方法。文中首先建立了系統(tǒng)存在Off-Grid偏差時(shí)的回波模型，在理想劃分網(wǎng)格點(diǎn)的基礎(chǔ)上，將Off-Grid偏差看作未知數(shù)，分別進(jìn)行一階和二階Taylor展開(kāi)，建立擾動(dòng)模型，分析Off-Grid偏差對(duì)成像結(jié)果的影響，最后給出了一種采用欠定系統(tǒng)局灶解法(FOCUSS)和約束總體最小二乘(CTLS)方法聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)位置和散射系數(shù)的算法。與傳統(tǒng)的基于壓縮感知的成像方法相比，文中所提出的算法能夠很好地解決網(wǎng)格失配問(wèn)題，提高目標(biāo)的反演精度。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞：分布式多輸入多輸出雷達(dá)；壓縮感知；網(wǎng)格失配；欠定系統(tǒng)局灶解法；約束總體最小二乘

0引言

多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)是近幾年提出的一種新體制雷達(dá)，正吸引著越來(lái)越多的學(xué)者的注意[1]。MIMO雷達(dá)采用多個(gè)發(fā)射天線和多個(gè)接收天線，并且不同于傳統(tǒng)的相控陣?yán)走_(dá)發(fā)射相干波形，MIMO雷達(dá)發(fā)射正交波形，接收端通過(guò)匹配處理來(lái)恢復(fù)各發(fā)射信號(hào)分量[2]。MIMO雷達(dá)有集中式和分布式兩大類：集中式MIMO雷達(dá)可以利用波形分集處理，提高雷達(dá)的抗截獲性能和雜波背景中探測(cè)低速、弱目標(biāo)的能力；分布式MIMO雷達(dá)可以通過(guò)大間距布陣形式獲得空間分

集增益，提高對(duì)起伏目標(biāo)的檢測(cè)性能[3]。在本文中，本文將重點(diǎn)研究分布式MIMO雷達(dá)。

當(dāng)發(fā)射機(jī)和接收機(jī)數(shù)目受限時(shí)，波數(shù)域的覆蓋范圍是不完整的，若仍采用基于匹配濾波的傳統(tǒng)成像方法將得不到好的成像效果[4]。在大多數(shù)的成像雷達(dá)應(yīng)用場(chǎng)景中，目標(biāo)散射點(diǎn)往往是稀疏分布的，也就是說(shuō)，實(shí)際散射點(diǎn)的數(shù)目遠(yuǎn)小于潛在的散射點(diǎn)數(shù)目。目前很多學(xué)者致力于研究MIMO成像雷達(dá)的稀疏恢復(fù)技術(shù)[5-7]，比如正交匹配追蹤算法(OMP)和基追蹤算法(BP)。一般地，壓縮感知(CS)將稀疏恢復(fù)問(wèn)題表示為y=Φx+e，其中x表示散射系數(shù)，y表示接收回波，Φ表示感知矩陣，e表示成像過(guò)程增加的噪聲。我們的

目的是得到x的最稀疏的解，即x中的非零元素個(gè)數(shù)最少的解。采用CS技術(shù)，利用目標(biāo)散射點(diǎn)的稀疏性，可以得到較好的成像效果[8]。

現(xiàn)有的大多數(shù)稀疏恢復(fù)算法都要求所有的散射點(diǎn)精確地位于事先劃分好的離散網(wǎng)格點(diǎn)上，但是當(dāng)散射點(diǎn)不在事先劃分的網(wǎng)格點(diǎn)上，即存在網(wǎng)格失配(Off-Grid)偏差時(shí)，稀疏恢復(fù)性能將會(huì)受到嚴(yán)重影響[9]。在MIMO雷達(dá)成像中，由于散射點(diǎn)分布在連續(xù)場(chǎng)景中，所以即使所劃分的離散網(wǎng)格點(diǎn)很密集，Off-Grid問(wèn)題還是存在的。使用密集的網(wǎng)格點(diǎn)劃分可能會(huì)減輕失配的程度，但是對(duì)于Off-Grid目標(biāo)成像問(wèn)題，這不是一個(gè)好的補(bǔ)救措施，因?yàn)槊芗木W(wǎng)格點(diǎn)劃分會(huì)顯著地增加感知矩陣的列相關(guān)性，違背可靠稀疏恢復(fù)所要遵循的限制等距條件(RIP)[10]?，F(xiàn)在已經(jīng)有一些學(xué)者致力于研究感知矩陣的失配問(wèn)題，并將其研究成果應(yīng)用到波達(dá)角(DOA)的Off-Grid問(wèn)題估算當(dāng)中。ZHU等[11]提出了一種稀疏總體最小二乘的方法(S-TLS)來(lái)緩和矩陣失配問(wèn)題，但是該方法效率較低并且耗時(shí)較長(zhǎng)。HAN等[12]提出了更快更穩(wěn)定的算法，總體最小欠定系統(tǒng)局灶解法(TLS-FOCUSS)和同步下降欠定系統(tǒng)局灶解法(SD-FOCUSS)，并將SD-FOCUSS算法應(yīng)用到DOA多次測(cè)量矢量(MMV)當(dāng)中。YANG等[13]建立了采用稀疏貝葉斯推理(SBI)對(duì)DOA的Off-Grid問(wèn)題進(jìn)行估計(jì)的公式并通過(guò)期望最大化(EM)迭代得到源信號(hào)和矩陣偏差。

本文針對(duì)分布式MIMO雷達(dá)成像過(guò)程中所遇到的Off-Grid問(wèn)題，提出了一種聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)位置和散射系數(shù)的方法。

1網(wǎng)格失配下的成像方法

1.1網(wǎng)格失配一階近似下的成像方法

1.1.1網(wǎng)格失配一階近似下的成像模型

考慮分布式MIMO雷達(dá)，并且假設(shè)發(fā)射機(jī)、接收機(jī)和目標(biāo)位于同一個(gè)兩維平面上。系統(tǒng)共有M臺(tái)發(fā)射機(jī)和N臺(tái)接收機(jī)，第m臺(tái)發(fā)射機(jī)位于tm=[tmx,tmy]，第n臺(tái)接收機(jī)位于rn=[rnx,rny]。假設(shè)不同發(fā)射機(jī)所發(fā)射的信號(hào)是正交的且第m臺(tái)發(fā)射機(jī)所發(fā)射的基帶信號(hào)為sm(t)，則相應(yīng)的帶通信號(hào)可以表示為

sm=Re{sm(t)ej2πfct}

(1)

式中：Re{·}表示取實(shí)部；j表示虛數(shù)單位；fc表示載波頻率，并且在不同延時(shí)情況下不同發(fā)射信號(hào)之間的互相關(guān)為零。

假設(shè)成像目標(biāo)包含K個(gè)各向同性散射的散射點(diǎn)，σk和pk=[pkx,pky]分別表示第k個(gè)散射點(diǎn)的散射系數(shù)和位置。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)每個(gè)散射點(diǎn)的散射特性不隨觀察角度的改變而改變，并且系統(tǒng)發(fā)射窄帶信號(hào)，則第n臺(tái)接收機(jī)接收到的回波可以表示為

(2)

(3)

式中：c表示光速。

將所接收到的信號(hào)經(jīng)過(guò)一組匹配濾波器，由于發(fā)射信號(hào)是正交的，則在第q(q=1, 2, …,Q)個(gè)采樣時(shí)刻，第n臺(tái)接收機(jī)的第m個(gè)匹配濾波器的輸出可以表示為

(4)

式中：emn(q)為噪聲。

將成像區(qū)域按照最小分辨要求沿x方向劃分為U個(gè)離散單元、沿y方向劃分為V個(gè)離散單元，則在成像區(qū)域中共有R=UV個(gè)網(wǎng)格。假設(shè)所有的散射點(diǎn)都位于網(wǎng)格點(diǎn)上，則可以得到

(5)

其中

(6)

y=Φσ+e

(7)

若存在Off-Grid偏差，即在第r個(gè)格點(diǎn)處存在x向偏差Δxr、y向偏差Δyr，則對(duì)于?r=1,2,…,R，均有|Δxr|≤0.5ρx，|Δγr|≤0.5ρy，其中，ρx和ρy分別為x和y方向上的網(wǎng)格大小。因此，對(duì)感知矩陣做一階Taylor近似，可得

(8)

式中：Φ=[Φx, Φy],Φ為考慮Off-Grid偏差以后計(jì)算得到的感知矩陣；Φ0=[Φx0，Φy0]，Φ0為不考慮Off-Grid偏差得到的感知矩陣；Φ′=[Φ′x, Φ′y]，Φ′為感知矩陣對(duì)Off-Grid偏差的一階微分；(g)x表示對(duì)x維的操作；(g)y表示對(duì)y維的操作；Λx1、Λy1分別為由Δxr、Δyr構(gòu)成的對(duì)角線矩陣。令Δx1=vec(Δxr)，Δy1=vec(Δyr)則Δ=[Δx1,Δy1]T為Off-Grid偏差。

經(jīng)過(guò)上述推導(dǎo)，可得考慮Off-Grid偏差以后將格點(diǎn)位置偏差進(jìn)行一階Taylor展開(kāi)的成像模型為

y=(Φ+H1Λ1)σ+e

(9)

1.1.2網(wǎng)格失配一階近似下的求解方法

本節(jié)給出一種FOCUSS和CTLS相結(jié)合的CTLS-FOCUSS-1方法來(lái)求解式(9)所示問(wèn)題。其中，F(xiàn)OCUSS用于稀疏恢復(fù)，CTLS用于求解目標(biāo)位置的格點(diǎn)偏差。

步驟1：稀疏恢復(fù)

在該步驟中，通過(guò)FOCUSS理論的迭代求解方法進(jìn)行稀疏恢復(fù)。設(shè)迭代標(biāo)號(hào)為l，在更新了校正后的目標(biāo)位置以及重新計(jì)算了感知矩陣以后，尋找最優(yōu)的估計(jì)值σ(l+1)以使得如下代價(jià)函數(shù)最小

(10)

令?F1/?σ(l+1)=0，可得

(11)

式(11)的左右兩邊都含有σ，無(wú)法直接獲得σ的顯示表達(dá)，因此這里采用迭代松弛方法求解σ

(12)

式中：s為內(nèi)循環(huán)次數(shù)；W(l,s)=W(σ(l))。

當(dāng)內(nèi)循環(huán)s收斂時(shí)，即可得σ(l+1)=σ(l+1,s)。

步驟2：格點(diǎn)校正

通過(guò)CTLS方法求解格點(diǎn)偏差，進(jìn)而更新格點(diǎn)位置。

定義擾動(dòng)項(xiàng)μ1=[Bx1Δx1,By1Δy1，1/σee]T。則可以通過(guò)求解下式所示的優(yōu)化問(wèn)題來(lái)求解格點(diǎn)偏差

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：l為迭代次數(shù)。由原始劃分格點(diǎn)與Off-Grid偏差更新目標(biāo)格點(diǎn)位置

(17)

步驟3：參數(shù)更新

將步驟2中計(jì)算得到的目標(biāo)位置p(l+1)計(jì)算得到感知矩陣Φ(l+1)。

將迭代次數(shù)加1，重復(fù)步驟1到步驟3，直到σ變化很小或者達(dá)到預(yù)先設(shè)定的迭代次數(shù)。

1.2網(wǎng)格失配二階近似下的成像方法

1.2.1網(wǎng)格失配二階近似下的成像模型

前面所述方法都是基于1.1.1節(jié)中感知矩陣對(duì)Off-Grid偏差進(jìn)行泰勒展開(kāi)并保留一階近似的模型上進(jìn)行的，接下來(lái)將推導(dǎo)Off-Grid偏差的二階近似模型，并給出相應(yīng)的CTLS-FOCUSS-2算法步驟。

當(dāng)存在Off-Grid偏差時(shí)，如式(18)所示，對(duì)感知矩陣做二階Taylor近似，可得

(18)

式中：Φ″為感知矩陣對(duì)Off-Grid偏差的二階微分；Λx2、Λy2分別為由(Δxr)2、(Δyr)2構(gòu)成的對(duì)角線矩陣，并令Δx2=(vec((Δxr)2)，Δy2=vec((Δyr)2)。

則經(jīng)過(guò)上述推導(dǎo)，可得考慮Off-Grid偏差以后，將格點(diǎn)位置偏差進(jìn)行二階Taylor展開(kāi)的成像模型為

y=(Φ+H1Λ1+H2Λ2)σ+e

(19)

式中：H2=[Φ″x， Φ″y]；Λ2=[Λx2,Λy2]T。

1.2.2網(wǎng)格失配二階近似下的求解方法

對(duì)于該問(wèn)題的求解，與Off-Grid偏差一階近似的過(guò)程相似，僅需在1.1節(jié)的求解過(guò)程中，替換第二步即可，下面僅給出在Off-Grid偏差二階近似的情況下采用CTLS方法求解Off-Grid偏差的過(guò)程。

定義擾動(dòng)項(xiàng)μ2=[Bx1Δx1, By1Δy1,Bx2Δx2,Bx2Δy2,1/σee]T，則可以通過(guò)求解下式的優(yōu)化問(wèn)題來(lái)求解格點(diǎn)偏差

(20)

(21)

(22)

其中，式(21)仍可采用牛頓法進(jìn)行求解，設(shè)置的初值為該問(wèn)題的最小二乘解。由μ2進(jìn)而可以反解出Off-Grid偏差Δx1和Δy1

(23)

按照式(17)由原始劃分格點(diǎn)與Off-Grid偏差得到更新后的目標(biāo)格點(diǎn)位置p(l+1)。

2仿真實(shí)驗(yàn)及分析

在本節(jié)中，我們通過(guò)給出一些仿真結(jié)果來(lái)證明所提算法CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2的有效性，所做的仿真是在Matlab中完成的，并且CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2的迭代終止條件均設(shè)置為 或者達(dá)到最大迭代次數(shù)50。

仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1　仿真參數(shù)

目標(biāo)的散射點(diǎn)分布情況如圖1所示。在成像場(chǎng)景中，沿x方向和y方向均劃分為40個(gè)離散單元，并且相鄰單元之間的間隔為1 m。從圖1可以看出，這里共有10個(gè)散射點(diǎn)，并且散射點(diǎn)均不在事先離散劃分好的網(wǎng)格上。

圖1　目標(biāo)散射點(diǎn)分布情況

在下面的仿真當(dāng)中，除了我們所提算法CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2，還包括其他的算法：MF，OMP，F(xiàn)OCUSS，和TLS-FOCUSS。TLS-FOCUSS算法是在對(duì)Off-Grid偏差進(jìn)行一階Taylor展開(kāi)的基礎(chǔ)上，假設(shè)所加噪聲為高斯白噪聲并且Off-Grid偏差服從高斯分布的情形下，通過(guò)對(duì)式(24)的求解得到的最大后驗(yàn)解(MAP)。

(24)

采用MF，OMP，F(xiàn)OCUSS，TLS-FOCUSS和我們所提算法(CTLS-FOCUSS-1，CTLS-FOCUSS-2)的恢復(fù)結(jié)果如圖2a)~f)所示，其中，圓圈表示的是真實(shí)散射點(diǎn)的位置。如前所述，由于波數(shù)域覆蓋不是完整的，所以采用匹配濾波的方法得不到好的恢復(fù)結(jié)果。由于Off-Grid散射點(diǎn)的存在，OMP和FOCUSS算法也是失效的。與OMP和FOCUSS算法相比，TLS-FOCUSS算法能夠得到改善的恢復(fù)結(jié)果，但是恢復(fù)結(jié)果中存在虛假散射點(diǎn)。CTLS-FOCUSS-1是在Off-Grid偏差一階近似的情況下對(duì)網(wǎng)格失配偏差做校正，所以其恢復(fù)精度有限。相比之下，CTLS-FOCUSS-2在當(dāng)前仿真條件下能

圖2　Off-Grid目標(biāo)的恢復(fù)結(jié)果

夠?qū)ff-Grid散射點(diǎn)成像并得到好的恢復(fù)結(jié)果。

下面我們將研究成像誤差與信噪比(SNR)之間的關(guān)系。SNR在-5 dB~30 dB變化，變化間隔為5 dB，目標(biāo)恢復(fù)誤差和Off-Grid偏差均是通過(guò)對(duì)超過(guò)30次的仿真試驗(yàn)取平均得到的結(jié)果。在每次仿真試驗(yàn)中，Off-Grid偏差在沿x方向或者y方向的一個(gè)離散單元內(nèi)均勻分布。

采用OMP，F(xiàn)OCUSS，TLS-FOCUSS，CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2算法的目標(biāo)恢復(fù)結(jié)果的歸一化均方誤差(NMSE)隨SNR的變化曲線如圖3a)所示。從圖3a)中可以看出，隨著信噪比的增大，采用OMP和FOCUSS算法的目標(biāo)恢復(fù)誤差仍然維持在一個(gè)較高水平。采用TLS-FOCUSS和CTLS-FOCUSS-1算法將得到改善的恢復(fù)結(jié)果，并且后者的目標(biāo)恢復(fù)效果和Off-Grid恢復(fù)誤差均優(yōu)于前者，這是因?yàn)樵诜抡孢^(guò)程中，Off-Grid偏差是均勻分布的，TLS-FOCUSS算法中有關(guān)Off-Grid偏差Λ的假設(shè)與之不符。從圖3a)和圖3b)可以看出，采用CTLS-FOCUSS-2算法可以得到好的目標(biāo)恢復(fù)結(jié)果，并且Off-Grid恢復(fù)誤差得到明顯提高，可見(jiàn)在對(duì)Off-Grid偏差進(jìn)行二階Taylor展開(kāi)的情況下采用該方法求解目標(biāo)位置和散射系數(shù)的有效性。

圖3　不同信噪比下幾種算法恢復(fù)結(jié)果對(duì)比

3結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)在分布式MIMO雷達(dá)中使用壓縮感知成像所面臨的Off-Grid問(wèn)題，分別在網(wǎng)格偏差一階和二階近似下提出了行之有效的CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2算法。該算法通過(guò)循環(huán)迭代的過(guò)程，將非凸優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三個(gè)主要步驟：稀疏恢復(fù)、格點(diǎn)校正和參數(shù)更新，實(shí)現(xiàn)Off-Grid偏差的自適應(yīng)調(diào)整，具有很好的抗噪性，相比傳統(tǒng)的基于壓縮感知的成像方法能夠得到更高的恢復(fù)精度。本文最后通過(guò)數(shù)字仿真驗(yàn)證了所提算法的有效性，顯示了其在實(shí)際系統(tǒng)中的應(yīng)用前景。

參 考 文 獻(xiàn)

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張海龍男，1989年生，在讀碩士。研究方向?yàn)槲⒉ǔ上瘛㈥嚵行盘?hào)處理和壓縮感知。

陸廣華男，1970年生，副教授。研究方向?yàn)槲⒉ㄅc毫米波技術(shù)及其在精確制導(dǎo)、通訊系統(tǒng)、雷達(dá)系統(tǒng)等領(lǐng)域中的應(yīng)用。

于慧女，1988年生，碩士。研究方向?yàn)槲⒉ǔ上?、陣列信?hào)處理和壓縮感知。

王東進(jìn)男，1955年生，教授。研究方向?yàn)槲⒉ㄅc毫米波技術(shù)及其在精確制導(dǎo)、通信系統(tǒng)、雷達(dá)系統(tǒng)等領(lǐng)域中的應(yīng)用。

A Study on Off-Grid Problem for Distributed MIMO

Imaging Radar Based on Compressive Sensing

ZHANG Hailong，LU Guanghua，YU Hui，WANG Dongjin

(Key Laboratory of Electromagnetic Space Insformation of CAS, USTC,Hefei 230027, China)

Abstract：In distributed MIMO radar system based on compressive sensing, if the imaging target is not positioned at the pre-discretized grid locations, that is to say, there exists Off-Grid deviation in the system, the imaging results will be deteriorated sharply. In order to solve this problem, an effective solution under one order and two order approximation of Off-Grid deviation respectively is proposed in this paper. The echo model when there exists Off-Grid deviation in the system is established first and then, based on the ideal discretized grid, the perturbation model is established by regarding the Off-Grid deviation as unknown and carrying out one order and two order Taylor expansion of it. After that, the influence of Off-Grid deviation on imaging result is analysed. Finally, the algorithm based on FOCUSS and CTLS is proposed to jointly estimate the target location and its scattering coefficient. Compared with the traditional imaging method based on compressive sensing, the algorithm proposed in this paper can solve the Off-Grid problem effectively and improve the inversion accuracy of target recovery. The effectiveness of the proposed algorithm is confirmed by several experimental results.

Key words：distributed MIMO radar; compressive sensing; Off-Grid; FOCUSS; CTLS

收稿日期：2015-07-26

修訂日期：2015-09-28

通信作者：張海龍Email：hailong@mail.ustc.edu.cn

中圖分類號(hào)：TN957.52

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-7859(2015)12-0049-05