王　仁，趙長勝，夏志浩，譚興龍，孫　鵬

(1. 江蘇師范大學(xué)城建與環(huán)境學(xué)部， 江蘇 徐州 221116； 2. 常州金壇區(qū)規(guī)劃局，江蘇 常州 213200；

3. 江蘇師范大學(xué)測繪學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

Study of Attenuation Memory Unscented Kalman Filtering Algorithm

WANG Ren，ZHAO Changsheng，XIA Zhihao,TAN Xinglong，SUN Peng

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無跡卡爾曼濾波衰減記憶算法研究

王仁1，趙長勝1，夏志浩2，譚興龍3，孫鵬1

(1. 江蘇師范大學(xué)城建與環(huán)境學(xué)部， 江蘇 徐州 221116； 2. 常州金壇區(qū)規(guī)劃局，江蘇 常州 213200；

3. 江蘇師范大學(xué)測繪學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

Study of Attenuation Memory Unscented Kalman Filtering Algorithm

WANG Ren，ZHAO Changsheng，XIA Zhihao,TAN Xinglong，SUN Peng

摘要：無跡卡爾曼濾波算法作為典型的卡爾曼濾波改進(jìn)算法，有效地解決了線性化時高階項的舍棄誤差和強(qiáng)非線性模型的無法線性化問題。但是常規(guī)的無跡卡爾曼濾波對舊的數(shù)據(jù)和當(dāng)前數(shù)據(jù)的利用率是相同的，很容易導(dǎo)致濾波的發(fā)散。通過引進(jìn)衰減因子加強(qiáng)了對當(dāng)前數(shù)據(jù)的利用，降低了舊數(shù)據(jù)對濾波結(jié)果的影響。本文基于此提出了衰減記憶無跡卡爾曼濾波算法，并對衰減因子的確定進(jìn)行了分析。仿真試驗分析表明，衰減記憶無跡卡爾曼濾波算法能夠提高濾波結(jié)果的精度。

關(guān)鍵詞：無跡卡爾曼濾波；衰減因子；衰減記憶無跡卡爾曼濾波

一、引言

自1960年卡爾曼(R.E.Kalman)提出了卡爾曼濾波理論以來，這一理論就被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，如動態(tài)導(dǎo)航定位、目標(biāo)跟蹤、衛(wèi)星姿態(tài)確定等。但是隨著應(yīng)用的廣泛性，卡爾曼濾波的弊端也凸顯出來，因為在很多領(lǐng)域絕大多數(shù)是以非線性系統(tǒng)存在的，而卡爾曼濾波算法是針對線性系統(tǒng)的。因此有學(xué)者提出了擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，即把非線性系統(tǒng)方程線性化，一些問題得到了解決。但是在線性化時高階項的舍棄，以及有些非線性系統(tǒng)的強(qiáng)非線性使擴(kuò)展卡爾曼濾波也遇到了一些問題，此時有學(xué)者又提出了無跡卡爾曼濾波算法。無跡卡爾曼濾波算法通過某種確定性采樣策略生成一組符合原狀態(tài)分布的Sigma點集，再利用無跡變換(unscented transformation，UT)對這些點進(jìn)行非線性變換，然后再來估計系統(tǒng)狀態(tài)的估值及其協(xié)方差矩陣。常規(guī)的無跡卡爾曼濾波的當(dāng)前觀測數(shù)據(jù)與舊觀測數(shù)據(jù)的使用程度是相當(dāng)?shù)模请S著觀測的進(jìn)行，濾波模型很難準(zhǔn)確地描述目標(biāo)每一時刻的運(yùn)動狀態(tài)，使得狀態(tài)估計太依賴于過去的數(shù)據(jù)，從而導(dǎo)致了濾波發(fā)散。基于此，本文提出了用衰減因子來限制舊觀測數(shù)據(jù)的使用程度，可以有效提高計算結(jié)果的精度。

二、常規(guī)無跡卡爾曼濾波的計算過程

一般情況下，系統(tǒng)狀態(tài)方程只考慮線性的，觀測方程為非線性的。已知在tk時刻，有狀態(tài)方程和觀測方程分別為

Xk=Φk,k-1Xk-1+wk

(1)

Lk=h(Xk)+ek

(2)

式中，狀態(tài)方程為線性函數(shù)，觀測方程為非線性函數(shù)；Xk為tk時刻n×1維狀態(tài)向量；Φk,k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Lk為tk時刻m×1維觀測向量；h(Xk)為非線性觀測函數(shù)；wk和ek分別為n×1維狀態(tài)噪聲向量和m×1維觀測噪聲向量，均為加性高斯白噪聲，二者的協(xié)方差矩陣分別為Qk和Rk，且互不相關(guān)。

無跡卡爾曼濾波算法的具體步驟如下：

(3)

(4)

3) 通過非線性觀測方程對Sigma點集χk進(jìn)行非線性變換，得到新的Sigma點集，即預(yù)測觀測向量

(5)

新的Sigma點集對應(yīng)的均值權(quán)值和方差權(quán)值不變，仍為Wm和Wc，則有

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

三、衰減記憶無跡卡爾曼濾波的計算過程

由上所述，無跡卡爾曼濾波的計算結(jié)果是在同種程度地依靠觀測向量中所含各個時刻下的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上得出的。因此，舊數(shù)據(jù)在濾波中起到了過強(qiáng)的牽制作用，而由當(dāng)前數(shù)據(jù)所給出的新信息對于一步預(yù)測值的修正作用則受到過強(qiáng)的抑制，致使濾波值不能較好地跟蹤真值變化。衰減記憶無跡卡爾曼濾波算法利用衰減因子α>1限制卡爾曼濾波器的記憶長度，使得濾波過程更加重視新信息的利用，而降低了對舊數(shù)據(jù)的依賴性。具體來說，就是用衰減因子α對狀態(tài)方差陣初值和噪聲序列的既往值(它們反映了相應(yīng)時刻數(shù)據(jù)對濾波值的作用大小)進(jìn)行如下處理

用這種新的方差序列導(dǎo)出的衰減記憶濾波算法為：

(12)

四、衰減因子的確定

衰減因子的取值對濾波結(jié)果影響很大，本文通過迭代計算來確定最優(yōu)取值。衰減因子的取值范圍α>1，可以分別取值以確定。根據(jù)α取1.0、1.1、1.15、1.2、1.25、1.3和1.4算得的結(jié)果如圖1所示，經(jīng)過比較分析本論文α取1.23時，濾波的結(jié)果最優(yōu)。

圖1　衰減因子取不同值的計算結(jié)果

五、仿真試驗分析

Xk+1=Φk+1,kXk+wk

(13)

(14)

其中

無跡卡爾曼濾波算法和衰減記憶無跡卡爾曼濾波算法的處理結(jié)果如圖2所示。

圖2　仿真數(shù)據(jù)計算的結(jié)果

六、結(jié)束語

衰減記憶無跡卡爾曼濾波算法由于衰減因子的引入，對舊數(shù)據(jù)對濾波的結(jié)果進(jìn)行了限制，凸顯了新數(shù)據(jù)(當(dāng)前數(shù)據(jù))的作用。通過仿真試驗結(jié)果的分析可以充分認(rèn)識到，衰減記憶無跡卡爾曼濾波算法比無跡卡爾曼濾波算法更容易收斂且計算結(jié)果的精度更高。當(dāng)然衰減因子的選取對數(shù)據(jù)處理結(jié)果也影響較大，通過迭代計算總能找到比較適合的衰減因子。

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通信作者：趙長勝

作者簡介：王仁(1990—)，男，碩士生，主要研究方向為GNSS數(shù)據(jù)處理理論及應(yīng)用。E-mail：wangr1990322@163.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金(41174032)；江蘇省自然科學(xué)基金(BK20150236)；江蘇師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新計劃重點項目(2015YZD004)

收稿日期：2014-09-25

中圖分類號：P228

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：0494-0911(2015)12-0020-03

引文格式： 王仁，趙長勝，夏志浩，等. 無跡卡爾曼濾波衰減記憶算法研究[J].測繪通報，2015(12)：20-22.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2015.368