韓茂安

(上海師范大學數學研究所，上海200234)

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牛頓-萊布尼茲公式與泰勒公式的拓展與應用

韓茂安

(上海師范大學數學研究所，上海200234)

[摘要]探討牛頓—萊布尼茲公式和泰勒公式對含參數函數的拓展形式，并用來研究含參數函數的零點的個數和微分方程周期解的個數的判定問題.

[關鍵詞]牛頓—萊布尼茲公式； 泰勒公式； 周期解

1基本定理

眾所周知，牛頓-萊布尼茲公式是說，如果F∶[a,b]→R具有連續(xù)導數，則成立

這一公式被譽為微積分學基本定理[1].如果設x=a+t(b-a)，則上式成為

(1.1)

現在我們對高階可微函數應用(1.1).設U為x=0的一鄰域，一元函數F在U上有直到r階的連續(xù)導數，r≥1，記為F∈Cr(U).利用公式(1.1)，可將函數F寫為

F(x)=F(0)+xF0(x)，

(1.2)

其中

引理1.1設U為x=0的鄰域，F∈Cr(U)，r≥1，則(1.2)成立，其中

F0∈Cr-1(U),F0(0)=F′(0).

現設m為一自然數，m≥0，并設F∈Cm+1(U)，則由帶積分形式余項的泰勒公式可知

其中

(1.3)

于是，證明了下述引理.

引理1.2設U為x=0的鄰域，F∈Cm+1(U)，m≥0，則有

且

現在，把上述兩個引理的結論拓展到多元函數.設有多元函數F(x,y)，x∈U，y∈D，U為x=0的鄰域,D?n，n≥1.如果F∈Cr(U×D)，則F對應用引理1.1可得

F(x,y)=F(0,y)+xF0(x,y),

(1.4)

其中

與引理1.1類似，利用含參量積分的可微性知F0∈Cr-1(U×D).事實上，這里需要先建立含向量參數的積分之可微性定理，然后再多次利用這一定理得到這一結論.于是，證得下述定理.

定理1.1設F∈Cr(U×D)，其中U為x=0的鄰域，D?n，n≥1，則(1.4)成立，其中

同理，利用引理1.2以及含參量積分的連續(xù)性定理知成立下述定理.

定理1.2設F∈Cm+1(U×D)，U為x=0的鄰域，D?n，n≥1，m≥0，則有

且

2含參數函數根的個數

定理2.1設存在自然數m≥0,使F∈Cm+1(U×D),那么成立

(i) 如果

則存在ε0∈(0,ε),使當|λ-λ0|<ε0時，F關于x在區(qū)間(-ε0,ε0)上至多有m+1個根.

(ii) 如果進一步設

其中

則對任意δ∈(0,ε0),都存在λ滿足|λ-λ0|<ε0,使函數F(x,λ)關于x在區(qū)間(-δ,δ)內出現m+1個根,且均為單根. 此外，這m+1個根可以全部是正根.

證在研究平面系統(tǒng)Hopf分支中極限環(huán)的個數問題時需要用到上述兩個結論(卻并沒有將它們專門寫成定理的形式),見[3,4]. 但以往都是對C∞函數來論述的(因為所討論的平面系統(tǒng)都假定是C∞光滑的),上述結論則不要求C∞光滑,這一點與以往不同.而對C∞光滑的情況,結論(i)可用反證法和羅爾定理來證,對結論(ii),先用一次隱函數定理，然后有兩種證法，一是逐次改變系數的符號使函數值不斷變號,每變號一次就出現一個根，二是引入合適的參變量尺度變換，而后利用多項式和連續(xù)函數的性質，一下子獲得m+1個根. 這里我們提供一種新的證法，即用數學歸納法來證明.

再證結論(ii).利用定理1.2可知成立

(2.1)

且

由隱函數定理知道，結論(ii)中的條件意味著式(2.1)中的系數aj可取為自由參數. 因此，現設這m+1個系數均為自由參數,并用歸納法來完成證明. 當m=0時，式(2.1)成為

且

不妨設它為正.則存在x0>0,使當a0=0時F(x0,λ)>0,當|x|≤|x0|時

從而當0<-a0?1時

F(x0,λ)>0,F(0,λ)=a0<0.

即F有一個正的單根.

設已證結論對m=k-1成立，現設m=k,此時由(2.1)知

作為一個簡單應用，由上述定理可知，C3函數

F(x,λ)=λ1+λ2x+λ3cosx+sinx+x10/3,

對λ0=(0,-1,0)附近的某些λ=(λ1,λ2,λ3)恰有3個正根.

3一維周期系統(tǒng)周期解的分支

本節(jié)利用定理1.1與定理2.1討論一維周期系統(tǒng)周期解的個數和分支. 首先引入幾個基本概念(詳見[4]). 考慮一維微分系統(tǒng)

(3.1)

引理3.1設存在1≤k≤r使當|x|充分小時T周期系統(tǒng)(3.1)中的f滿足

則

從而零解x=0為(3.1)的k重周期解.

證由于解x(t,x0)關于初值x0是Cr，故對充分小的|x0|,它可寫成

其中x1(0)=1，xj(0)=0，j≥1. 將上式代入(3.1)中，利用所設條件，易求得

由此即知結論成立.

下面給出方程(3.1)存在周期解族的條件.

引理 3.2如果T周期系統(tǒng)(3.1)中的f滿足

f(-t,x)=-f(t,x),

(3.2)

則其任一有界解都是周期解. 特別，如果(3.2)成立，且存在正數M>0使對一切(t,x)都有

|f(t,x)|≤M(1+|x|),

(3.3)

則(3.1)的一切解都是周期解.

x(T/2,x0)=x(-T/2,x0).

由解的唯一性又知x(t+T,x0)=x(t,x(T,x0)),因此又有

x(T/2,x0)=x(-T/2,x(T,x0)),

從而成立

x(-T/2,x0)=x(-T/2,x(T,x0)),

于是必有x0=x(T,x0)=P(x0) (因為對任意t,x(t,x0)關于x0都是嚴格增加的,例見[4].)從而，這個解是周期的. 引理的后半部分利用常微分方程比較定理即得，因為任一周期線性方程的解都是有界的.

現考慮系統(tǒng)(3.1)的T周期擾動系統(tǒng)

(3.4)

其中f與f1關于t都是T周期的，都是Cr函數，且f1(t,x,0)=0. 系統(tǒng)(3.4)的Poincaré映射記為P(x0,λ),令

F(x0,λ)=P(x0,λ)-x0,

稱函數F為(3.3)的后繼函數或分支函數. 顯然，分支函數關于x0的根與(3.4)的周期解是一一對應的，此外，由微分方程解對初值與參數的光滑性定理知，映射P與函數F都是Cr的.可證

定理3.1設存在1≤k≤r使得x=0是(3.1)的k重周期解，則存在ε>0,使得對一切|λ|<ε方程(3.4)在區(qū)域|x|<ε至多有k個周期解.

證由假設知

由此，利用定理2.1的結論(i)即得證明.

在具體應用中，可以利用定理2.1的結論(ii)證明，Ck系統(tǒng)的k重周期解在適當的Ck擾動下能夠產生k個周期解，這里不再給出.

值得注意的是，定理3.1對系統(tǒng)的光滑性的要求已經降到最低. 為說明這一點，取k=r=1,利用隱函數定理易見，C1系統(tǒng)的單重周期解在C1擾動下只產生一個周期解.然而，如果擾動不是C1的，這一結論就不成立了. 例如

在x=0的任意小鄰域內都可以出現3個周期解.

下面考慮周期解族的擾動.考慮T周期擾動系統(tǒng)

(3.5)

其中f與f1關于t都是T周期的，都是Cr函數，且f滿足(3.2)與(3.3).系統(tǒng)(3.5)的Poincaré映射記為P(x0,ε,λ),后繼函數為

F(x0,ε,λ)=P(x0,ε,λ)-x0.

由引理3.2知,F(x0,0,λ)=0,由微分方程解對初值與參數的光滑依賴性定理知函數F關于(x0,ε,λ)為Cr的，故由定理1.1知

定理3.2設Cr方程(3.5)滿足(3.2)與(3.3),r≥1,則

上述定理之結論好像是很顯然的，但如果不利用定理1.1就難以給出其成立的理由.對平面系統(tǒng)閉軌族的擾動分支，可給出類似的結果，此地不再詳論.

我們來考慮一類較具體的方程，即

(3.6)

其中aj(t)為Ck+1類2π周期函數，j=0,1,…,k,f0(t,x)為關于t為2π周期的Ck+1類函數. 記b=(b0,…,bk-1),設x(t,x0,ε,b)為(3.6)的以x0為初值的解，則易知

x(t,x0,ε,b)=1-cost+x0+εx1(t,x0,b)+O(ε2),

其中

經整理，易知成立

其中

……

φk-1=bk-1ak-1(t)+kbkak(t)[1-cost],

φk=bkak(t).

現在假設

(3.7)

則有λk≠0，以及

則由上述討論，利用定理3.2和定理2.1可知在條件(3.7)下，存在向量b∈Rk使當ε充分小時方程(3.6)恰有k個2π周期解.

[參考文獻]

[1]華東師范大學數學系. 數學分析(上冊)[M]. 4版.北京： 高等教育出版社,2010.

[2]華東師范大學數學系. 數學分析(下冊)[M]. 4版.北京： 高等教育出版社,2010.

[3]Han M. Bifurcation Theory of Limit Cycles [M]. Beijing： Science Press,2013.

[4]趙愛民，李美麗，韓茂安. 微分方程基本理論[M].北京：科學出版社，2013.

Extensions and Applications of

Newton-Leibniz’s figure and Taylor’s figure

HANMao-an

(The Institute of Mathematics, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

Abstract:We provide some extensions of Newton-Leibniz’s figure and Taylor’s figure to smooth functions with multiple variables. Then we present some interesting applications of these extensions to bifurcations of periodic solutions of differential equations.

Key words:Newton-Leibniz’s figure; Taylor’s figure; periodic solution

[中圖分類號]O172

[文獻標識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)05-0006-06

[收稿日期]2015-06-19