李邦彥，李連軍

(湖南電氣職業(yè)技術(shù)學院機械系，湖南 湘潭 411101)

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電壓激勵蔡氏電路混沌的解析預測及其仿真

李邦彥，李連軍

(湖南電氣職業(yè)技術(shù)學院機械系，湖南 湘潭 411101)

摘要：蔡氏電路的非線性動力學行為豐富，其狀態(tài)方程是三階微分方程，常利用該電路研究混沌現(xiàn)象.首先，建立電壓激勵蔡氏變形電路模型；其次，運用解析方法對該電路產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的參數(shù)取值范圍進行預測；最后，采用數(shù)值方法和李雅普諾夫指數(shù)分析方法對預測結(jié)果進行仿真，驗證了該電路混沌解析預測結(jié)果的正確性.

關(guān)鍵詞：電壓激勵；蔡氏電路；混沌；解析預測

混沌現(xiàn)象是非線性動力學中一種特有的運動形式，其理論研究不僅涉及到數(shù)學、物理學、力學等，而且在化學、生物學、經(jīng)濟學、管理學等領(lǐng)域也有所研究.到目前為止，很多學者[1-4]通過各種形式的電路模型來研究混沌現(xiàn)象，得出了許多有用的結(jié)論.具有混沌行為的電路很多，最簡單的電路是蔡氏電路，這個電路是華裔科學家蔡少棠教授1983年搭建起來的，該電路開創(chuàng)了用電子電路研究混沌現(xiàn)象的先例.后來，許多學者對蔡氏電路進行了改進，提出了各種變形蔡氏電路模型，這些電路也能產(chǎn)生豐富的混沌現(xiàn)象[5-9].蔡氏電路及其變形電路的研究方法比較多[10].筆者建立了一個電壓激勵蔡氏電路模型，對該電路產(chǎn)生混沌時參數(shù)所要滿足的條件范圍進行預測，并對預測結(jié)果進行仿真，驗證了預測結(jié)果的正確性.

1電壓激勵蔡氏電路的動力學方程

研究者常采用增加電路的維數(shù)變形蔡氏，于是電路狀態(tài)方程由原來的三階變成了四階甚至更高階的方程.筆者設(shè)計的變形蔡氏電路是在原蔡氏電路的電感支路上串聯(lián)了一個電壓源(圖1)，此變形蔡氏電路稱為電壓激勵蔡氏電路.由基爾霍夫電流以及電壓定律可知，電壓激勵蔡氏電路的動力學方程為

(1)

圖1　電壓激勵蔡氏電路

其中：VC1，VC2為C1，C2的電壓；iL為L的電流；f(VC1)是非線性電阻的伏安特性函數(shù).設(shè)激勵電壓us=Acos(Ωt+Φ)，其中A為電壓源的振幅，Ω為電壓源的頻率，Φ為電壓源的初相位.文中采用初相位為0的電壓源進行研究，即Φ=0.

(2)

2解析預測

2.1 一次諧波解緩參數(shù)的平均化方程

由非線性動力學和混沌理論可知，若非線性項可視為弱非線性問題，且系統(tǒng)的振幅和初相位隨時間作緩慢變化，則系統(tǒng)(2)的一次諧波解為z=acosωt+bsinωt，其中a和b是關(guān)于時間的慢變參數(shù).通過平均法可求得

(3)

(3)式為系統(tǒng)一次諧波解緩參數(shù)滿足的平均化方程.

2.2 一次諧波解緩參數(shù)方程的離散映射

利用a和b的慢變性質(zhì)及泰勒展開式可得

(4)

其中：

顯然(4)式是系統(tǒng)的諧波解慢變參數(shù)平均化方程的離散映射，即

P(a(t),b(t))=TP(a(0),b(0))

(6)

的具體表達式.比較(4)，(5)式可知

2.3 電壓激勵蔡氏電路產(chǎn)生混沌的參數(shù)條件

設(shè)T的特征值為λ，則

由離散動力學理論知，當λ1<1<λ2時，慢變參數(shù)一次諧波解滿足的動力學方程的奇點存在鞍點，系統(tǒng)(2)才會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.因此，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的條件為

圖2　解析預測結(jié)果

(6)

3混沌解析預測的仿真

3.1 相圖仿真

(1)在預測出現(xiàn)混沌的范圍內(nèi)任取3組A與Ω值進行相圖仿真，仿真結(jié)果如下：

(ⅰ)當Ω=2×104Hz，A=0.2×10-4V時，系統(tǒng)的相圖收縮，形成奇怪吸引子，如圖3(a)所示，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運動的趨勢.

(ⅱ) 當Ω=4×104Hz，A=1×10-4V時，系統(tǒng)的相圖收縮，形成奇怪吸引子，如圖3(b)所示，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運動的趨勢.

(ⅲ)當Ω=7×104Hz，A=8×10-4V時，系統(tǒng)的相圖收縮，形成奇怪吸引子，如圖3(c)所示，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運動的趨勢.

(2)在預測不出現(xiàn)混沌的范圍內(nèi)任取3組A與Ω值進行相圖仿真，仿真結(jié)果如下：

(ⅰ)當Ω=2×104Hz，A=1×10-4V時，系統(tǒng)相圖雖閉合，但不形成吸引子，如圖3(d)所示，系統(tǒng)呈倍周期運動趨勢.

(ⅱ)當Ω=4×104Hz，A=8×10-4V時，系統(tǒng)相圖為1周的閉合曲線，如圖3(e)所示，系統(tǒng)做周期運動.

(ⅲ)當Ω=7×104Hz，A=50×10-4V時，系統(tǒng)相圖為2周的閉合曲線系統(tǒng)，如圖3(f)所示，系統(tǒng)呈倍周期運動趨勢.

由圖3可知，仿真的結(jié)果與預測結(jié)果一致.

圖3　仿真結(jié)果

3.2 李雅普諾夫指數(shù)計算驗證

判斷一個非線性系統(tǒng)是否存在混沌運動，需要檢查它的李雅普諾夫指數(shù)λ是否有正值.利用奇異分解法與Matlab軟件可得系統(tǒng)(2)的李雅普諾夫指數(shù)λ1，λ2，λ3，如表1所示.由表1可知，取預測出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的3組A與Ω值，李雅普諾夫指數(shù)的3個值中1個為正，2個為負，說明系統(tǒng)做混沌運動，取預測不出現(xiàn)混沌的3組A與Ω值，李雅普諾夫指數(shù)的3個值中1個為0，2個為負，說明系統(tǒng)做周期或倍周期運動，與預測結(jié)果是一致.

表1　李雅普諾夫指數(shù)的計算結(jié)果及運動形式

4結(jié)語

利用解析方法對電壓激勵蔡氏電路所對應的三階非線性微分方程產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍進行了預測，得出了電壓激勵蔡氏電路產(chǎn)生混沌的參數(shù)條件.利用數(shù)值仿真和李雅普諾夫指數(shù)分析方法對該條件進行驗證，證明了混沌解析預測的正確性.在電壓激勵蔡氏電路中，激勵電壓頻率高的區(qū)域比低的區(qū)域容易產(chǎn)生混沌，在某個頻率以下的頻率區(qū)域基本不產(chǎn)生混沌，在某個頻率以上的頻率區(qū)域激勵電壓的振幅越小越容易產(chǎn)生混沌.

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(責任編輯陳炳權(quán))

Analytical Prediction and Simulation of Chaos in

Voltage Driven Chua’s Circuit

LI Bangyan，LI Lianjun

(Department of Mechanical Engineering,Hunan University of Electric Technology,Xiangtan 411201,Hunan China )

Abstract:Chua’s circuit can produce complex nonlinear dynamics,the state of which is three order differential equations and which is used to study chaos behavior.Firstly,a voltage driven model of Chua’s deformed circuit is set up.Secondly,an analytical method to predict the scope of the parameters of chaos of the third-order nonlinear differential equations is proposed.At last,numberical method and Lyapunov exponent analysis are used to simulate the prediction result,which verifies the correctness of chaotic prediction analysis of this circuit.

Key words:voltage driven；Chua’s circuit；chaos；analytical prediction

作者簡介：李邦彥(1970—)，男，湖南東安人，湖南電氣職業(yè)技術(shù)學院副教授，碩士，主要從事非線性電路、非線性振動理論及其仿真研究.

基金項目：湖南省教育廳科學研究項目(11C0310)

收稿日期：2014-12-25

中圖分類號：O231.2

文獻標志碼：B

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.02.010

文章編號：1007-2985(2015)02-0046-06