孫曉霞
摘要:本文主要介紹了線性代數(shù)課程中的一些等價(jià)關(guān)系及其應(yīng)用,介紹了向量組的等價(jià)以及矩陣的等價(jià)。進(jìn)一步分析了各種等價(jià)關(guān)系之間的關(guān)系。通過(guò)對(duì)等價(jià)關(guān)系的研究,可以對(duì)向量組以及矩陣進(jìn)行分類,進(jìn)而可以探討等價(jià)關(guān)系中的保持不變的性質(zhì)。
關(guān)鍵詞:向量組;矩陣;等價(jià);不變量
中圖分類號(hào):G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A ? ? 文章編號(hào):1674-9324(2016)05-0172-02
一、引言
線性代數(shù)是大學(xué)理工科和財(cái)經(jīng)類學(xué)生必修的一門(mén)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。本課程的特點(diǎn)是實(shí)用性很強(qiáng),幾乎任何領(lǐng)域都會(huì)涉及到線性代數(shù)的內(nèi)容。但是,線性代數(shù)抽象程度高,邏輯思維力強(qiáng)。因此,學(xué)好線性代數(shù),需要學(xué)生不僅要學(xué)明白知識(shí)點(diǎn),最重要的是理清各種數(shù)學(xué)概念的相關(guān)性以及邏輯關(guān)系。貫穿線性代數(shù)課程的一個(gè)非常重要的關(guān)系就是等價(jià)關(guān)系。它可以將很多知識(shí)點(diǎn)都聯(lián)系起來(lái),從而有助于我們更深刻的理解線性代數(shù)中的很多概念。
兩個(gè)事物等價(jià),一般是指這兩個(gè)事物在某些方面有共同的性質(zhì),因此,在研究此類性質(zhì)時(shí),對(duì)這兩個(gè)事物不加以區(qū)分。等價(jià)關(guān)系具備自反性對(duì)稱性以及傳遞性?,F(xiàn)實(shí)生活中的很多關(guān)系都是等價(jià)關(guān)系,例如朋友關(guān)系、室友關(guān)系等等。數(shù)學(xué)中很多關(guān)系也是等價(jià)關(guān)系,例如中學(xué)接觸到的三角形相似的關(guān)系等。如果研究對(duì)象的某種關(guān)系是等價(jià)關(guān)系,我們就可以利用這種關(guān)系對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類。屬于同一類別的研究對(duì)象具有相同的性質(zhì),例如兩個(gè)三角形相似,角度是相同的。因此,線性代數(shù)中的等價(jià)關(guān)系和現(xiàn)實(shí)生活中的等價(jià)關(guān)系是類似的。
數(shù)學(xué)上,等價(jià)關(guān)系嚴(yán)格的定義是指:滿足自反性,對(duì)稱性,傳遞性的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系。給定兩個(gè)量A和B,下面是這三個(gè)關(guān)系的解釋。自反性:A和A等價(jià)。對(duì)稱性:A和B等價(jià),則B和A等價(jià)。傳遞性:A和B等價(jià),B和C等價(jià),則A和C等價(jià)。
本文首先介紹向量組的等價(jià)、分類以及保持不變的性質(zhì)。然后介紹矩陣的等價(jià)系以及保持不變的性質(zhì),最后給出兩種等價(jià)的關(guān)系。
二、向量組的等價(jià)
向量組這個(gè)概念簡(jiǎn)單,但其內(nèi)在的關(guān)系對(duì)討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)起著至關(guān)重要的作用。下面定義是向量組的等價(jià)。
定義1 給定兩個(gè)n維向量組(A):α ?,α ?,…α ?,(B):β ?,β ?,…β ?,如果向量組(A)中任何一個(gè)向量可由向量組(B)線性表示,同時(shí)向量組(B)中任何一個(gè)向量可由向量組(A)線性表示,則稱向量組(A)和(B)相互等價(jià)。
易證上述定義的關(guān)系滿足自反性,對(duì)稱性以及傳遞性,因此向量組的等價(jià)確實(shí)是一種等價(jià)關(guān)系。由定義可知極大無(wú)關(guān)組和原向量組相互等價(jià)。每個(gè)向量組包含向量的個(gè)數(shù)不一定一樣,線性相關(guān)性也可以不一樣。但是,兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組所包含的向量是一樣的。下面給出向量組的等價(jià)保持不變的性質(zhì)。
性質(zhì)1 如果向量組(A)和(B)相互等價(jià),則兩個(gè)向量組的秩相等,即
r(α ?,α ?,…α ?)=r(β ?,β ?,…β ?).
性質(zhì)1表明向量組的等價(jià)關(guān)系保持向量組的秩不變。即,秩為此等價(jià)關(guān)系不變量。反之不成立,即向量組的秩相同,不一定能得到兩個(gè)向量組等價(jià),下面給出兩個(gè)向量組等價(jià)的充分條件。
定理1 給定兩個(gè)n維向量組
(A)α ?,α ?,…α ? (B)β ?,β ?,…β
構(gòu)造向量組(C)α ?,…,α ?,β ?,…,β ?,則向量組(A)和(B)等價(jià)的充要條件為向量組(A)(B)(C)的秩相等。
證明:必要性:設(shè)向量組(A)和(B)等價(jià),要證向量組(A)(B)(C)的秩相等。
由性質(zhì)1知向量組(A)和(B)的秩相等。則這兩個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組相互等價(jià)且包含向量的個(gè)數(shù)相同。由于向量組(C)可由向量組(A)和(B)線性表示,因此向量組(C)可由這兩個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組表示,又因?yàn)檫@兩極大無(wú)關(guān)組可相互線性表示,因此向量組(C)可由(A)的極大無(wú)關(guān)組和(B)的極大無(wú)關(guān)組分別表示,即(A)的極大無(wú)關(guān)組和(B)的極大無(wú)關(guān)組也為向量組(C)的極大無(wú)關(guān)組。因此向量組(C)的秩和(A)(B)的秩相等。
充分性:設(shè)向量組(A)(B)(C)的秩相等,要證向量組(A)和(B)等價(jià)。
由于向量組(A)(C)的秩相等,因此向量組(A)的極大無(wú)關(guān)組也為向量組(C)的極大無(wú)關(guān)組,因此向量組(A)(C)等價(jià)。同理向量組(B)(C)等價(jià)。綜上所述,利用等價(jià)的傳遞性即可知向量組(A)和(B)等價(jià)。
三、矩陣的等價(jià)
矩陣是線性代數(shù)中重要的研究對(duì)象,同時(shí)也是解決許多問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具,下面介紹矩陣的等價(jià)關(guān)系及等價(jià)不變量。
定義2 給定n階矩陣A和B,如果A經(jīng)過(guò)若干次初等變換得到矩陣B,則稱矩陣A和B相互等價(jià)。
由于初等行變換相當(dāng)于對(duì)矩陣左乘初等矩陣,初等列變換相當(dāng)于對(duì)矩陣右乘初等矩陣,因此以上關(guān)系用等式表示為PAQ=B,其中P和Q分別為可逆矩陣。容易證明,上述定義的矩陣關(guān)系是等價(jià)關(guān)系,即滿足
1.自反性;令P=I和Q=I,則PAQ=A。
2.對(duì)稱性;如果PAQ=B,則P ?BQ ?=A,因此B和A也等價(jià)。
3.傳遞性:如果PAQ=B,MBN=C,則PMANQ=C,因此A和C也等價(jià)。
下面探討矩陣等價(jià)保持不變的性質(zhì):
性質(zhì)2 矩陣A和B等價(jià),則
1.r(A)=r(B);初等變換不改變矩陣的秩。
2.矩陣A和B具有相同的可逆性;根據(jù)行列式的性質(zhì)可知|A|=k|B|,其中k≠0。
3.矩陣A和B相似,因此具有相同的特征多項(xiàng)式,即有相同的特征值。
性質(zhì)3 矩陣運(yùn)算對(duì)等價(jià)性的影響,如果矩陣A和B等價(jià)
1.對(duì)實(shí)數(shù)k,矩陣kA和kB等價(jià)。
2.矩陣A ?和B ?等價(jià)。
3.如果矩陣可逆,則矩陣A ?和B ?等價(jià)。
四、向量組的等價(jià)和矩陣的等價(jià)的關(guān)系
一般情況,向量組等價(jià)和矩陣的等價(jià)不能互推。但是在某些條件下兩者有一定的關(guān)系,下面討論這個(gè)問(wèn)題。
定義3 如果向量組(A)和(B)均有n列(行),而且向量組等價(jià),則這兩個(gè)向量組構(gòu)成的矩陣也等價(jià)。
證明:如果向量組(A)和(B)均有n個(gè)列(行)向量組等價(jià),則兩個(gè)向量組的秩相等。因此,兩個(gè)向量組構(gòu)成的矩陣具有相同的秩。由于構(gòu)成的兩個(gè)矩陣有相同的階數(shù),因此它們都等價(jià)于同一個(gè)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型,利用矩陣等價(jià)關(guān)系的傳遞性可知這兩個(gè)向量組構(gòu)成的矩陣也等價(jià)。
注解:定理中必須要求兩個(gè)向量組包含向量的個(gè)數(shù)一致。如果包含向量的個(gè)數(shù)不一致,則它們構(gòu)成的兩個(gè)矩陣的階數(shù)不同,那么它們一定等價(jià)于不同的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型,因此兩者肯定不等價(jià)。例如,
設(shè)(A):α ?=(1,0) α ?=(0,1);(B):β ?=(1,2) β ?=(1,1) β ?=(1,-1)
定理2 如果n×m矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換得到B,即PA=B,則向量組(A)和(B)等價(jià)。
證明:設(shè)P=p ? p ? … p ?p ? p ? … p ? ? ? p ? p ? … p ?,A=α ?α ? α ?,
B=β ?β ? β ?,則由PA=B可知
p ? p ? … p ?p ? p ? … p ? ? ? p ? p ? … p ?α ?α ? α ?=p ?α ?+p ?α ?+…+p ?α ?p ?α ?+p ?α ?+…p ?α ? p ?α ?+p ?α ?+…+p ?α ?=β ?β ? β ?,即證結(jié)論。
需要說(shuō)明的是:如果n×m矩陣A經(jīng)過(guò)初等列變換得到B,即AP=B,則我們同樣可得向量組(A)和(B)等價(jià)。
參考文獻(xiàn):
[1]蔣衛(wèi)華,王洪濱.線性代數(shù)教學(xué)中兩組概念的處理[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2005,21(1):120-122.
[2]鄔學(xué)君,唐明.線性代數(shù)是藍(lán)色的-大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)《線性代數(shù)》的課程設(shè)計(jì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008,24(6):12-16.
[3]李斐,郭卉.線性代數(shù)中的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系[J].課程教育研究,2013,(上旬刊):144.
[4]謝永東.判定向量組等價(jià)的一個(gè)充分條件[J].工科數(shù)學(xué),1997,13(2):150-151.
[5]鄭寶東.線性代數(shù)與空間解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2003.
[6]居余馬,等.線性代數(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,1995.
[7]趙樹(shù)嫄.線性代數(shù)[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2013.