福建省廈門市第一中學(xué)

王淼生 (郵編：361003)

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基于MPCK視角下的解題反思
——以“一道月考試題”為例

福建省廈門市第一中學(xué)

王淼生 (郵編：361003)

舒爾曼1986年提出PCK(學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識)理論后，立即引起各國學(xué)者關(guān)注，從而使數(shù)學(xué)教師特有的學(xué)科教學(xué)知識從PCK泛學(xué)科的研究中獨立出來，形成MPCK(數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識)理論．MPCK要求數(shù)學(xué)教師面對特定問題時，反思學(xué)生遇到困難的原因并采取有效教學(xué)策略，構(gòu)建高效的解題教學(xué)，這是MPCK理論在解題教學(xué)中的應(yīng)用．本文基于MPCK理論，從哲學(xué)觀點來反思一道月考試題解答過程，不妥之處，敬請批評指正．

1 真題呈現(xiàn)

前不久月考中出現(xiàn)這樣一道試題(下稱案例1)：

(I)若函數(shù)f(x)在定義域上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；

2 全軍覆沒

案例1是最后一道壓軸題，全年級沒有考生能夠真正完整解答，全軍覆沒，令人痛心．那應(yīng)該怎樣解答呢？

對于(II)對函數(shù)求導(dǎo)可得

由題意可知x1、x2是以下方程的兩個不等正根(不妨設(shè)x1

f′(x)=0?x2-ax+1=0.

據(jù)韋達(dá)定理可得 x1+x2=a,x1x2=1.

①

由兩點斜率公式可得

②

③

據(jù)已知條件可得

④

g(x)≤g(e).

⑤

以下來研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性(即圖象走勢)，顯然最有效的方法就是求導(dǎo)：

⑥

⑦

h(x)

⑧

3 基于MPCK視角下的解題反思

數(shù)學(xué)教育家波利亞在文[1]“解題表”中指出數(shù)學(xué)解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實施過程、回顧反思等四個階段，其中最重要也是最容易忽視的就是解題后的反思．解題教學(xué)的核心在于反思，怎樣反思、反思什么是衡量解題教學(xué)效率高低的杠桿．正如著名的特級教師任勇在文[2]中感嘆：“如果求出了問題的答案就匆匆合上作業(yè)本，我們將失去做這道題本來應(yīng)該得到的更多、更寶貴的東西．光解題而沒有反思就如同入寶山卻空著手回來．”

3.1 反思之一：唯物辯證的觀點

羅增儒教授在文[3]指出，盡管數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，但深入研究還是具有一定規(guī)律，教師就是指引學(xué)生尋覓這些規(guī)律的“領(lǐng)路人”．有關(guān)導(dǎo)數(shù)綜合試題，幾乎都有這樣的規(guī)律：構(gòu)造新的函數(shù)φ(x)后，都能將問題轉(zhuǎn)化為“φ(x)≥(≤)φ(t)”的結(jié)構(gòu)，然后證明φ(x)的單調(diào)性．借助這一特點往往收到意想不到的奇效，甚至起死回生，比如上述⑤、⑧．

數(shù)學(xué)解題應(yīng)遵循規(guī)律，也需要一定模式，但過度強(qiáng)調(diào)并套用固定模式則會思維僵化．不少學(xué)生總認(rèn)為上述表達(dá)式②應(yīng)該湊合成“齊次”形式，而此題難以實現(xiàn)，故而束手無策，這是本題失分的第一個原因．亦有部分學(xué)生因套用模式，即強(qiáng)行湊成“齊次”而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)復(fù)雜，尤其是求導(dǎo)過程極其繁瑣而不得不中途停止，前功盡棄，這是本題丟分的另一個原因．

3.2 反思之二：整體與局部的觀點

安振平先生認(rèn)為代數(shù)變形能力是一個數(shù)學(xué)教師專業(yè)水平的重要標(biāo)志．對于復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)綜合問題，求導(dǎo)之前應(yīng)適當(dāng)變形．尤其含有“l(fā)nx”，應(yīng)該盡量將“l(fā)nx”前面的一切“分離”開來，比如從⑥到⑦就輕松避免了求導(dǎo)越來越復(fù)雜，這一看似簡單的變形卻是致命的．反之，若直接對⑥求導(dǎo)，不僅“l(fā)nx”永遠(yuǎn)不可能消失，而且每求導(dǎo)一次，結(jié)果愈加復(fù)雜，這是部分學(xué)生無奈放棄的原因．

表面上似乎⑦比⑥更加復(fù)雜，那為何還要這樣變形呢？盡管⑦確實比⑥復(fù)雜，但我們聚焦不在⑦的“整體”上，而是在⑦的“局部”．因為我們只要判斷⑦的符號，即只要研究上述目標(biāo)函數(shù)h(x)符號，為此只要對h(x)再一次求導(dǎo)，問題就變得簡單得多．遺憾的是全年級沒有一名學(xué)生實施“分離”，為何要 “分離”呢？因為求導(dǎo)最終目的就是為了畫出函數(shù)圖形，即刻畫圖象大致走勢．這就需要研究函數(shù)的單調(diào)性與極值情況，即判斷導(dǎo)函數(shù)符號，當(dāng)然渴望將導(dǎo)函數(shù)因式分解，進(jìn)而求出極值點．上述⑥到⑦即“分離”之后，通過求導(dǎo)將原來的“l(fā)nx”轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的多項式，為實施因式分解帶來極大方便．而含有“l(fā)nx”就難以實施因式分解，就不可能求出極值點，這是極少數(shù)學(xué)生堅持到最后而痛失分?jǐn)?shù)的原因所在．

3.3 反思之三：普遍聯(lián)系的觀點

目前課堂解題教學(xué)一味追求數(shù)量，忽視質(zhì)量，缺乏反思，導(dǎo)致學(xué)生過后依然還是“濤聲依舊”．因為學(xué)生不知道錯誤的原因，更不清楚破解試題的突破口與關(guān)鍵點在何處，因而還是無法獨立完成此類試題．于是教師再一次更加密集地訓(xùn)練、更加頻繁地考試、更大數(shù)量地講評，這種一輪又一輪加碼循環(huán)，愈演愈烈．學(xué)生陷入題?？嗖豢把?，教師唉聲一片傷了自己．反復(fù)折騰，學(xué)生怎么可能對數(shù)學(xué)感興趣？怎么可能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力呢？波利亞感嘆：“一個專心認(rèn)真?zhèn)湔n教師能夠拿出一個有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個側(cè)面，使得通過這道試題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域．”

案例1涉及的是與“l(fā)nx”相關(guān)求導(dǎo)問題，lnx與ex是一對“孿生兄弟”，即與“ex”相關(guān)的問題，同樣也需要將“ex” 前面的一切“分離”開來，否則也會陷入同樣的困境．巧合的是最近還遭遇到這樣一道試題(下稱案例2)：

案例2 若函數(shù)f(x)滿足x2f′(x)-2xf(x)=x3ex,f(2)=-2e2.則x>0時，f(x)

( )

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.即有極大值，又有極小值

D.既無極大值，又無極小值

解答如下：當(dāng)x>0時，將已知條件變形為

f(x)=x2g(x)

?f′(x)=2xg(x)+x2g′(x)=2xg(x)+xex

⑨

⑩

依據(jù)⑩，再一次構(gòu)造函數(shù)：

h(x)=2g(x)+ex?h′(x)=2g′(x)+ex>0.

x(0,2)2(2,￥)f'(x)-0+f(x)單調(diào)遞減取得極小值單調(diào)遞增

依據(jù)上述表格答案選B.

關(guān)于上述案例2，還有一個小故事：案例2作為選擇題，沒有具體解答過程，只有一個參考答案B.結(jié)果到了考試那天，備課組全體教師都覺得無法判斷是否存在極大值而誤以為是一道錯題，在考試中途臨時不得不更換一個題目．其實，案例2主要考查函數(shù)f(x)的極值情況，即需要對f′(x)實施因式分解，但因f(x)是抽象函數(shù)，故難以對上述⑨直接實施因式分解，于是再一次對上述⑨求導(dǎo)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)越來越復(fù)雜，連教師自己也不得不終止運(yùn)算，加上無法判斷是否存在極大值，這就是絕大部分教師認(rèn)為這是一道錯題的緣故．此時，破解困境的關(guān)鍵在于⑨到⑩．事實上，從⑨到⑩僅僅只是“分離”了x,問題就立即變得簡單明了，迎刃而解，而這恰恰是絕大教師沒有發(fā)現(xiàn)的“秘密通道”．

由此可見，教師自己也經(jīng)常犯這種“不分離”而“一鍋煮”的錯誤．解題不是數(shù)學(xué)的全部，也不是數(shù)學(xué)教師業(yè)務(wù)水平的唯一標(biāo)志．但數(shù)學(xué)教師離不開解題，解題能力直接影響其教學(xué)水平．沒有強(qiáng)大解題能力，就不可能成為一流的數(shù)學(xué)教師．這從一個側(cè)面印證了為何全國很多數(shù)學(xué)教師渴望參加中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考主辦的解題研討，也解釋了羅增儒教授名著《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐》火爆的原因．正如波利亞所言：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題，掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題．”任何一位教師都希望不斷地提高自己與學(xué)生的解題能力，因此，反思不僅提高學(xué)生解題能力，更有利于提升教師專業(yè)水平．

3.4 反思之四：量變質(zhì)變的觀點

其實，優(yōu)秀解題高手(無論學(xué)生還是教師)與一般人的區(qū)別在于長期強(qiáng)調(diào)反思、關(guān)注細(xì)節(jié)、重視量變、把握質(zhì)變．這種量的積累必然決定了試題解答最后成敗往往在于關(guān)鍵某一步的實施，比如案例1中的⑥到⑦、案例2中的⑨到⑩“分離”步驟．正所謂反思鑄就高度，細(xì)節(jié)決定成敗，量變引起質(zhì)變，質(zhì)變回饋量變．

3.5 反思之五：主觀能動性觀點

新一輪課改首次將情感態(tài)度與價值觀同知識和技能、過程和方法一起并列為基礎(chǔ)教育的三維目標(biāo)．盡管以前大綱也在不同程度上強(qiáng)調(diào)“情感態(tài)度與價值觀”的重要性，但是新一輪課改，則把“情感態(tài)度與價值觀”作為課程目標(biāo)，這樣“情感態(tài)度與價值觀”不再是可有可無的東西，而是必須實現(xiàn)的基本目標(biāo)．作為壓軸的導(dǎo)數(shù)綜合試題，通常具有較大的難度，這是一種正?，F(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)教育一個重要目的就是培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、迎難而上的意志和毅力．沒有堅強(qiáng)的意志，缺乏堅韌的毅力，是不可能學(xué)好數(shù)學(xué)，這正是新一輪課改將“情感態(tài)度與價值觀”作為三維目標(biāo)之一的緣由所在．值得指出的是，情感態(tài)度與價值觀并非僅僅指向?qū)W生，教師也不例外．上述案例1、案例2的解答過程是筆者鍥而不舍才得到，絕非一蹴而就，期盼讀者呈現(xiàn)更加簡捷的方法．

華東師大終身教授葉瀾感嘆：“一個教師寫一輩子教案不一定成為名師，如果一個教師寫三年反思就有可能成為名師．”反思是主觀能動性突出表現(xiàn)，是辯證唯物主義在具體的數(shù)學(xué)學(xué)科的體現(xiàn)，更是對MPCK理論的完善和創(chuàng)新．依據(jù)舒爾曼的PCK理論，專家型教師與一般教師的根本差距就在于專家型通過反思使得學(xué)術(shù)知識、實施策略轉(zhuǎn)化為學(xué)生易接受、易理解、易操作的教學(xué)知識和動手操作能力．MPCK理論不是虛無縹緲，更不是從天而降，而是主觀能動性的表現(xiàn)，是

在實踐中形成并在實踐中得到升華，上述案例1與案例2正是PCK理論在解題反思中的具體體現(xiàn)和最佳詮釋例證．

1 波利亞．怎樣解題(閻育蘇 譯)[M]．北京：科學(xué)出版社，1982

2 任勇．中學(xué)數(shù)學(xué)解題百技巧[M]．福州：福建少年兒童出版社，1998

3 羅增儒．中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐[M]．南寧：廣西教育出版社，1997

本文系全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度單位資助教育部規(guī)劃課題“基于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(MPCK)視角下的概念教學(xué)案例研究”(課題批準(zhǔn)號FHB150464)研究成果.

2016-09-06)