山東省高青縣教學(xué)研究室
董 林 (郵編:256300)
山東省高青縣第一中學(xué)
趙桂霞 (郵編:256300)
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由一道競(jìng)賽題引發(fā)的思考
山東省高青縣教學(xué)研究室
董 林 (郵編:256300)
山東省高青縣第一中學(xué)
趙桂霞 (郵編:256300)
這是一道第26屆獨(dú)聯(lián)體數(shù)學(xué)奧林匹克試題.本題看似結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,但卻蘊(yùn)含著豐富的資源和信息,本文將圍繞這個(gè)題目展開(kāi)思考,借以探討數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的角度和維度.
對(duì)于分式不等式,最常規(guī)的證明方法是去分母,但作為競(jìng)賽題的解決,這個(gè)思路一般是不勝其煩或難于奏效.
競(jìng)賽中的分式型不等式問(wèn)題的證明,常用的是代換法,代換一般采用分母整體代換、增量代換和三角代換的方法.
證法1 (分母整體代換)
設(shè)x=a-1,y=b-1,已知a>1,b>1,所以x>0,y>0.根據(jù)基本不等式有
證法2 (增量代換)
已知a>1,b>1,設(shè)a=1+x,b=1+y,以下同證法1,從略.
證法3 (三角代換)
競(jìng)賽中的分式型不等式的證明,還常常借助于一些現(xiàn)成的結(jié)論,如排序不等式、Cauchy不等式,等等.
證法4 (利用排序不等式)
證法5 (利用Cauchy不等式)
已知a>1,b>1,所以a-1+b-1>0,利用Cauchy不等式知
所以有
另外,通過(guò)配湊“處理掉”不等式中的分母,也是時(shí)常思考的解決問(wèn)題的角度之一.
證法6 (配湊法)
從代換、去分母、運(yùn)用基本不等式等多方面思考還會(huì)找到其他的證明方法,讀者不妨一試.
考慮問(wèn)題的推廣,我們往往從維數(shù)和次數(shù)兩個(gè)角度進(jìn)行探索.
2.1 維數(shù)的推廣
從對(duì)原問(wèn)題的證明過(guò)程中我們可以看到,原問(wèn)題中的不等式等價(jià)于下面的不等式:
命題1 若x、y是正數(shù),則有
對(duì)于這個(gè)問(wèn)題,最為簡(jiǎn)潔的證法是上述證法中的證法1.
順著這個(gè)思路,我們可以得到
命題2 若x、y、z是正數(shù),則有
(2)的證明與(1)相似,在此從略.
將命題2中的兩個(gè)不等式還原成原來(lái)的形式就是如下兩個(gè)不等式:
命題3 若a>1,b>1,c>1,則有
讀者可以探究上述命題的其它解法,繼續(xù)順著這個(gè)思路,我們可以進(jìn)一步得到
(注:當(dāng)i+k>n時(shí),取xi+k=xi+k-n)
2.2 次數(shù)的推廣
考慮將分式中分子的次數(shù)進(jìn)行推廣,我們可以得到
命題5 若x、y是正數(shù),n是整數(shù)且n≥2,則有
已知n是整數(shù)且n≥2,考察函數(shù)
對(duì)其求導(dǎo)數(shù),有
顯然有
從而有
有興趣的讀者,不妨將維數(shù)、次數(shù)的推廣結(jié)合考慮,會(huì)得出更多漂亮的結(jié)果.
在不等式問(wèn)題的研究中,我們還通常考慮對(duì)其進(jìn)行加強(qiáng),得到更強(qiáng)的結(jié)果,比如對(duì)于命題1,我們可以得到
命題6 若x、y是正數(shù),則有
將命題6的結(jié)果還原成原來(lái)的形式就是
命題7 對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1、b>1,有
經(jīng)探索,我們還會(huì)得到如下結(jié)果
命題8 對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1、b>1,有
下面說(shuō)明命題8也是原不等式的一個(gè)加強(qiáng):
只要說(shuō)明
根據(jù)命題8的證明可知
≥2+2+2×2=8.
所以命題8的結(jié)論強(qiáng)于原問(wèn)題.
讀者可順著這樣的思路考慮對(duì)我們推廣了的結(jié)論進(jìn)行加強(qiáng).
對(duì)不等式問(wèn)題,從尋求多種證法、對(duì)結(jié)論進(jìn)行推廣和加強(qiáng)等角度進(jìn)行探究,除了能發(fā)現(xiàn)許多有價(jià)值的、漂亮的結(jié)論外,更重要的是能夠培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維能力,優(yōu)化思維品質(zhì),有興趣的讀者不妨找一些不等式結(jié)論進(jìn)行探究,相信一定會(huì)收到意外的驚喜!
2016-08-26)
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)2016年6期