安徽省壽縣第一中學(xué)

王康帥 (郵編：232200)

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整體把握 精巧設(shè)問 教授方法 培養(yǎng)能力
——“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象”的教學(xué)設(shè)計與反思

安徽省壽縣第一中學(xué)

王康帥 (郵編：232200)

三角函數(shù)是初等數(shù)學(xué)中基本初等函數(shù)之一，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)《必修4》第一章第五節(jié)“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象”(第1課時).筆者就課堂教學(xué)實際撰寫了本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計與反思，供各位同仁參考.

1 教學(xué)分析

1.1 地位與作用

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究生活生產(chǎn)實際中常見的函數(shù)類型：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，它是上一節(jié)的延伸和拓展，在物理的振動及電學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)以圖象為依托來探究參數(shù)A、ω、φ的變化對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象形狀和位置的影響.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，不僅進(jìn)一步掌握用“五點法”作三角函數(shù)簡圖的方法，還加深了對正、余弦函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用，起著承上啟下的作用.

1．2 學(xué)情分析

學(xué)生對高中常用的數(shù)學(xué)思想方法和研究問題的方法已經(jīng)有了初步的了解，并且逐漸適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)方式和教師的教學(xué)方式，小組探究學(xué)習(xí)，獨立思考能力和求知欲都很強(qiáng).學(xué)生在《必修1》中接觸過函數(shù)圖象的平移變換，對“左加右減”，“上加下減”有了一些粗略的淺顯的認(rèn)識，但對于本節(jié)內(nèi)容要理解并掌握三個參數(shù)對函數(shù)圖象的影響，且方法不唯一，理解掌握起來難度較大.

1．3 教學(xué)目標(biāo)

(1)知識與技能：能借助“幾何畫板”，通過探究、觀察參數(shù)A、ω、φ對函數(shù)圖象的影響，并能概括出三角函數(shù)圖象各種變換的實質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律；會用圖象變換畫出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.

(2)過程與方法：經(jīng)歷由y=sinx到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象變換探究的過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、探索能力和歸納概括能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想；領(lǐng)會從特殊到一般，從具體到抽象的思維方法，從而達(dá)到從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍.

(3)情感、態(tài)度與價值觀：通過對問題的自主探究，培養(yǎng)獨立思考能力；通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神.

1．4 教學(xué)重點和難點

(1)重點：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與三種變換；學(xué)會如何將一個復(fù)雜問題分解為若干簡單問題的方法.

(2)難點：在觀察圖象變換中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用自己的語言來表達(dá)；參數(shù)ω對圖象的影響.

1．5 教學(xué)方法與教學(xué)手段

(1)教學(xué)方法：問題教學(xué)法、合作教學(xué)法.

(2)教學(xué)手段：運用幾何畫板、多媒體輔助教學(xué).

2 教學(xué)流程圖

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3 教學(xué)過程

3．1 創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

1．教師利用Flash演示彈簧振子作簡諧振動形成位移y隨時間x變化圖象的過程(如圖1)，學(xué)生觀看演示并思考.

圖1

2．教師展示圖2：圖(1)是某次實驗測得的交流電的電流y隨時間x變化的圖象，圖(2)是放大后的圖象.

圖2

設(shè)計意圖 通過動畫演示和圖片展示引出刻畫它們的數(shù)學(xué)模型——函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，體會該函數(shù)與生活實際的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生研究的興趣.

問題1 面對新的函數(shù)，我們將研究它什么？怎么研究？

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生思考研究函數(shù)的一般過程：通過圖象研究性質(zhì)，從而明確本節(jié)課的探究任務(wù)與方向.

教師：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象到底是什么樣子呢？這就是我們本節(jié)課將要探究的話題.(板書課題：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象)

問題2 觀察它們的圖象與正弦曲線有什么聯(lián)系？

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與函數(shù)y=sinx的一般與特殊的關(guān)系(相當(dāng)于A=1,ω=1,φ=0時的情況)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生探討正弦曲線與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象之間的關(guān)系.

問題3 你認(rèn)為怎樣討論參數(shù)A、ω、φ對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響？

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生思考研究問題的方法，將復(fù)雜問題分解為簡單問題，采用“控制變量法”，先分別討論參數(shù)φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響，然后再進(jìn)行整合.

3．2 自主探究，構(gòu)建數(shù)學(xué)

在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生做出自主選擇，從比較熟悉的φ探究起.

(1)探究φ對y=sin(x+φ),x∈R的圖象的影響

問題1 y=sin(x+φ)的圖象與y=sinx的圖象有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生回顧《必修1》中通過觀察函數(shù)圖象得出圖象平移變換的法則“左加右減”，從而讓學(xué)生產(chǎn)生疑問，對于這新的函數(shù)仍然適用嗎？

設(shè)計意圖 讓學(xué)生熟悉“五點作圖法”，并能利用圖象做出合理的猜想.

設(shè)計意圖 教師用“幾何畫板”做動態(tài)演示(如圖3)，引導(dǎo)學(xué)生觀察變化過程中的變量和不變量，用“點的變換”去做理性推理，以此達(dá)到從多角度理解“平移變換”.

圖3

問題3 在圖3中，對φ任取不同的值(φ>0或φ<0)，作出的y=sin(x+φ)的圖象，看與y=sinx的圖象是否有類似的關(guān)系？請你概括一下如何從y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的圖象變換得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖象？

設(shè)計意圖 體現(xiàn) “由特殊到一般”的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.老師讓學(xué)生自主探究得到結(jié)論.只不過在敘述結(jié)論的時候，學(xué)生的語言可能不規(guī)范，易出現(xiàn)如“把圖象進(jìn)行平移”的描述，教師可指出準(zhǔn)確的描述應(yīng)為：把“圖象上所有的點”進(jìn)行平移.

師生共同小結(jié)：“平移變換”

y=sinx的圖象

y=sin(x+φ)(φ≠0)的圖象.

(2)探索ω(ω>0)對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響

A、合作探究，歸納小結(jié)(考察第一種變換過程)

設(shè)計意圖 讓學(xué)生自主探究，通過作圖，觀察比較，做出合理的猜想.

設(shè)計意圖 教師利用“幾何畫板”做動態(tài)演示(如圖4)，引導(dǎo)學(xué)生觀察變化過程中的變量和不變量，用“點的變換”去做理性推理，從而歸納出結(jié)論.

圖4

設(shè)計意圖 仍是培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，語言表述能力，從具體的函數(shù)具有的性質(zhì)歸納出一般的結(jié)論.

師生共同小結(jié)：“周期變換”

B、 深入探究，討論分析(考察第二種變換過程)

教師引導(dǎo)學(xué)生分別從“形”和“數(shù)”上進(jìn)行探究：

圖5

設(shè)計意圖 這部分內(nèi)容是本堂課的難點，突破的方法先是從直觀的“形”上“粉碎”了學(xué)生錯誤的直覺，使學(xué)生“一驚”！渴望知道其中原因使他們積極探尋，當(dāng)最終發(fā)現(xiàn)可以用已有的知識來解釋時，又讓他們“一喜”，這“形”中的直觀和“數(shù)”中的嚴(yán)謹(jǐn)，讓學(xué)生在“一驚一喜”中達(dá)到一悟皆通的效果.

學(xué)生總結(jié)第二種變換的規(guī)律：

設(shè)計意圖 使學(xué)生由正弦曲線變換得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的不同方案有一個整體的認(rèn)識，并在掌握圖象變化實質(zhì)的基礎(chǔ)上，擇優(yōu)選擇.

(3)探索A(A>0)對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響.

設(shè)計意圖 通過學(xué)生自主探究得出結(jié)論，教師再利用“幾何畫板”做動態(tài)演示(如圖6)，加以驗證，用“點的變換”去做理性推理，從而歸納出一般結(jié)論.

師生共同小結(jié)：“振幅變換”

3．3 歸納總結(jié)，提煉方法

問題9 通過上述問題的討論與研究，如何由正弦曲線通過圖象變換得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象？

圖6

圖象變換規(guī)律總結(jié)：

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過如下變換得到：

方法一 由平移變換→周期變換→振幅變換

y=sin(x+φ)的圖象

方法二 由周期變換→平移變換→振幅變換

y=sinx的圖象

設(shè)計意圖 組織學(xué)生進(jìn)行討論，學(xué)生通過自己畫圖，教師“幾何畫板”演示，進(jìn)一步認(rèn)識由y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象方法，并體會由簡單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸思想.

3．4 課堂練習(xí)

題目略.

設(shè)計意圖 課堂檢測是對本節(jié)課重點和難點知識的應(yīng)用和鞏固，通過學(xué)生的回答,可了解學(xué)生對于函數(shù)圖象變換的“形”、“數(shù)”思維的形成過程是否得到落實.

3．5 應(yīng)用舉例

設(shè)計意圖 用“五點法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象并從圖象變換的角度認(rèn)識函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的關(guān)系.

3．6 反思總結(jié)，掌握規(guī)律

問題1 怎樣由函數(shù)y=sinx的圖象得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象？

問題2 本節(jié)討研究問題的方法和策略是什么？

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識、研究問題的方法和策略進(jìn)行小結(jié)，并對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為今后的學(xué)習(xí)進(jìn)行有效調(diào)控打下堅實的基礎(chǔ).

3．7 布置作業(yè)

(1)必做作業(yè)：習(xí)題1.5 A組2、3

(2)選做作業(yè)：習(xí)題1.5B組1、2

設(shè)計意圖 布置作業(yè)有梯度，避免一刀切，使學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)一步訓(xùn)練逆向思維，使知識掌握更加深刻.

3．8 板書設(shè)計(略)

4 教學(xué)設(shè)計反思

4．1 整體把握，揭示本質(zhì)

“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象”是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展、綜合與提升，是三角函數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，對這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)從全章、模塊，甚至整個高中數(shù)學(xué)課程的高度去認(rèn)識、去理解.教學(xué)中，要多角度、全方位地認(rèn)識函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，揭示函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的本質(zhì)；要“注重落實核心知識、體現(xiàn)研究的思想方法和策略、突出學(xué)生主動探究、落實“數(shù)學(xué)育人”的價值.[1]”構(gòu)建屬于自己的、所教學(xué)生的教材.

4．2 精巧設(shè)問，問題驅(qū)動

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”思維永遠(yuǎn)是從問題開始的.因此，本節(jié)課采用了“問題化”教學(xué)，“在教學(xué)過程中教師精心設(shè)計了一系列有效的問題，以問題為導(dǎo)向，促進(jìn)學(xué)生主動思考和探究；通過自主學(xué)習(xí)和合作交流，促進(jìn)學(xué)生對知識的理解，是一種有效的教學(xué)方法.[2]” “問題化”教學(xué)給學(xué)生“創(chuàng)造”了機(jī)會，讓學(xué)生生成智慧；同時學(xué)生還會收獲探究的樂趣、交流的快樂、成功的喜悅，極大地激發(fā)了學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣.

4．3 教授方法，培養(yǎng)能力

觀察、歸納是發(fā)現(xiàn)知識、獲取知識的基本思維形式.本節(jié)課仍然采用研究函數(shù)的一般方法——數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生體驗畫圖、觀察、猜想、驗證的一般過程，引導(dǎo)學(xué)生從特殊的、個別的屬性，通過觀察、類比、猜想，歸納出具有普遍性的、一般的、整體的性質(zhì)，讓學(xué)生領(lǐng)會由簡單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸數(shù)學(xué)思想.在教學(xué)過程中，讓學(xué)生通過“控制變量法”“分而治之”對參數(shù)賦值，從具體函數(shù)的討論開始，分別考察參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)圖象的影響，然后整合為對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的整體認(rèn)識.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生將已有的知識形成體系，對于進(jìn)一步探索、研究其他數(shù)學(xué)問題有很強(qiáng)的啟發(fā)與示范作用.

1 渠東劍，再談基于整體把握教材結(jié)構(gòu)的教學(xué)——以函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2016(1-2)：10-13

2 李志敏，“問題化”數(shù)學(xué)教學(xué)中“問題”的設(shè)計[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2016(5)：18-20

2016-09-18)