中國(guó)科技大學(xué)附屬中學(xué)

黃嚴(yán)生 (郵編：230051)

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聚焦新課程

回歸自然 領(lǐng)悟本質(zhì)
——對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)教學(xué)過(guò)程的思考

中國(guó)科技大學(xué)附屬中學(xué)

黃嚴(yán)生 (郵編：230051)

很多老師受高考指揮棒的影響，急功近利.對(duì)數(shù)學(xué)公式原理教學(xué)，沒(méi)有很好落實(shí)數(shù)學(xué)原理教學(xué)原則，不注重知識(shí)形成、發(fā)展過(guò)程.對(duì)公式的推導(dǎo)過(guò)程大而化之，在例題講解和習(xí)題訓(xùn)練上，不惜花費(fèi)大量的時(shí)間，這種做法看似效率很高，學(xué)生應(yīng)用能力有所提高.其實(shí)不然，學(xué)生的這種解題能力提高是暫時(shí)的，是模仿性質(zhì)的，學(xué)生對(duì)原理、公式的理解是膚淺的，對(duì)原理、公式所蘊(yùn)含的思想方法都知之甚少.

教師的課堂教學(xué)，實(shí)質(zhì)上是落實(shí)如何學(xué)的問(wèn)題，教師的教是為了學(xué)生的學(xué). 愛(ài)因斯坦說(shuō)，“喚起獨(dú)創(chuàng)性的表現(xiàn)與求知之樂(lè)，是為人師者至高無(wú)比的秘方”. 教師不是簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生做什么，而不是向?qū)W生解釋怎么做，應(yīng)是激勵(lì)學(xué)生去觀察、思考、頓悟和發(fā)現(xiàn). 因此，教師要弄清教什么、如何教、怎么教，才能更好地落實(shí)學(xué)生學(xué)的問(wèn)題.本文以等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)為例，從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析，供大家參考.

1 案例透視與評(píng)析

人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修5,2.3節(jié)的內(nèi)容是“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”，教材中利用高斯加法作為引例.下面是一位教師推導(dǎo)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的教學(xué)片斷：

問(wèn)題1 請(qǐng)大家計(jì)算：1+2+…+100=?

由于不少學(xué)生在小學(xué)時(shí)就學(xué)習(xí)過(guò)高斯加法，學(xué)生利用高斯加法很快解決上面的計(jì)算問(wèn)題.即1+2+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050.

問(wèn)題2 你們能計(jì)算1+2+…+100+101嗎？

學(xué)生1：1+2+…+100+101=(1+101)+(2+100)+…+(50+52)+51=102×50+51=5151.

學(xué)生2：1+2+…+100+101=(1+2+…+100)+101=5050+101=5151.

教師：很好，同學(xué)們能利用高斯加法思想或用以前已經(jīng)解決問(wèn)題來(lái)解決上面的求和問(wèn)題.

問(wèn)題3 請(qǐng)大家計(jì)算：1+2+…+n(n∈N*)

問(wèn)題4 請(qǐng)大家思考還有沒(méi)有其他方法解決問(wèn)題3的計(jì)算？

教師：學(xué)生4用的也是轉(zhuǎn)化方法，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，通過(guò)添加一項(xiàng)n+1，將其轉(zhuǎn)化偶數(shù)的情形進(jìn)行計(jì)算.

問(wèn)題5 你們還有沒(méi)有其它方法計(jì)算？

學(xué)生感到茫然，大家認(rèn)為，除分類外，好像找不到更好的方法.此時(shí)教師沒(méi)有急于求成，而是引導(dǎo)學(xué)生，積極地退回去，反思回顧上面的計(jì)算方法，并留足時(shí)間讓學(xué)生觀察、思考，從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì).使學(xué)生逐步感悟到，不論是哪種方法，其本質(zhì)就是將不同數(shù)轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和.教師可以進(jìn)一步追問(wèn)，既然如此，那么我們能否避免用分類討論方法解決呢？上面的方法都是從算式和內(nèi)部結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過(guò)分類轉(zhuǎn)化，達(dá)到求解目的的.我們的思維能不能跳出來(lái)，能否對(duì)算式進(jìn)行再創(chuàng)造呢？(留足時(shí)間讓學(xué)生思考)

學(xué)生5：可以重新構(gòu)造一個(gè)求和問(wèn)題，計(jì)算n+(n-1)+…+2+1，于是

教師：學(xué)生的方法就是倒序相加求和法，通過(guò)倒序相加，能將復(fù)雜的求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的求和，即轉(zhuǎn)化為n個(gè)n+1的和.

問(wèn)題6 請(qǐng)大家自己推導(dǎo)等差數(shù)列的求和公式.

學(xué)生自主探究，求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法---倒序相加求和法，推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

2 重溫高斯加法，讓知識(shí)生成更自然

數(shù)列的求和問(wèn)題，實(shí)際上就是一種加法運(yùn)算.但學(xué)生在此之前對(duì)多個(gè)數(shù)的求和問(wèn)題，接觸不多.既然出現(xiàn)了認(rèn)知沖突，那么如何解決，如何引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識(shí)去同化或順應(yīng)新知識(shí)呢？維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問(wèn)題的水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過(guò)教學(xué)所獲得的潛力.兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段的水平，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一個(gè)發(fā)展區(qū)的發(fā)展.

2.1 對(duì)高斯加法的再認(rèn)識(shí)

數(shù)列的求和就是解決多個(gè)數(shù)相加的問(wèn)題，因此，學(xué)生現(xiàn)有能解決數(shù)列求和的知識(shí)，只有實(shí)數(shù)的加法、乘法的運(yùn)算法則及其意義.

高斯加法的本質(zhì)是，根據(jù)加法的交換律將加數(shù)進(jìn)行配對(duì)，于是1+2+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×101.

這一過(guò)程是將其轉(zhuǎn)化為50個(gè)101相加，將不同數(shù)的求和問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和問(wèn)題，利用乘法意義，即可求出1+2+…+100的和等于101×50.這種由加法運(yùn)算，過(guò)渡到乘法的運(yùn)算，是一種飛躍，是一種突破.也就是利用已有的知識(shí)能力，解決一個(gè)全新的問(wèn)題，是新課程理念所倡導(dǎo)的.

2.2 高斯加法思想的應(yīng)用

乘法的意義是求n個(gè)相同數(shù)a的求和的運(yùn)算，即n個(gè)a相加，記為n×a.乘法的意義實(shí)際上是解決了相同數(shù)的相加問(wèn)題，加法的交換律和乘法的意義是高斯加法的理論依據(jù).這些知識(shí)雖然是基礎(chǔ)，但在學(xué)生腦海中是沉睡的知識(shí).雖然每天都在不自覺(jué)地運(yùn)用著，但要學(xué)生有意識(shí)地調(diào)用這些知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題，卻沒(méi)有這種習(xí)慣，有一定的難度.實(shí)際上，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，都要運(yùn)用與之相關(guān)的一系列數(shù)學(xué)知識(shí)作為理論依據(jù)，進(jìn)行推理論證和演算.因此，如何喚起學(xué)生，檢索、調(diào)用貯存在大腦中的知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題，是教師教學(xué)的藝術(shù).

教師可以提出一些問(wèn)題去刺激、去激發(fā)學(xué)生思考，激活學(xué)生大腦中的知識(shí)，用于解決問(wèn)題.因此，在探究高斯加法時(shí)，可以設(shè)計(jì)一些問(wèn)題.如：我們解決過(guò)多個(gè)數(shù)的求和問(wèn)題嗎？你知道哪些？如何求？

通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，學(xué)生頓時(shí)覺(jué)得豁然開朗，體會(huì)到數(shù)學(xué)既是深?yuàn)W的，也是簡(jiǎn)單的.學(xué)生已有的知識(shí)，加法運(yùn)算、加法的交換律、乘法的意義得以充分調(diào)動(dòng)，深知這些知識(shí)是解決1+2+…+100的求和的理論工具，是知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，分組、合并同類項(xiàng)解決問(wèn)題基本方法.學(xué)生有了這種認(rèn)識(shí)，對(duì)于1+2+…+100+101的求和，也就得心應(yīng)手，不難解決.自然會(huì)產(chǎn)生如下的思維方法：

(1)1+2+…+100+101=50×101+101;

(2)1+2+…+100+101=50×102+51;

(3)1+2+…+100+101=1+2+…+100+101+102-102=51×103-102.

評(píng)析 (1)利用已求的1+2+…+100的和來(lái)解決1+2+…+100+101的和，將分為兩組(1+2+…+100)+101;(2)將加數(shù)51單獨(dú)考慮，也是分為兩組，即

(1+2+…+50+52+53+…+100+101)+51=50×102+51;(3)將原式增加一個(gè)數(shù)102，轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)數(shù)相加，利用高斯加法思想順利解決問(wèn)題.

以上處理問(wèn)題的方法，不論如何變化，最終目的是轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)數(shù)的和，通過(guò)配對(duì)轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問(wèn)題.

2.3 倒序相加的形成過(guò)程

能否找到一個(gè)通用的方法，既能解決是n的偶數(shù)情形，又能解決n是奇數(shù)情形的問(wèn)題呢？顯然，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，只從1+2+…+(n-1)+n是無(wú)法得到的.在學(xué)生思維出現(xiàn)暫時(shí)阻滯時(shí)，不要簡(jiǎn)單告知，讓學(xué)生回顧、反思上面的思維過(guò)程，是如何將其轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，進(jìn)而，將解決問(wèn)題方法進(jìn)行遷移.經(jīng)過(guò)探究討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由于n是奇數(shù)，從原式的結(jié)構(gòu)上看是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的配對(duì)分組，要想實(shí)現(xiàn)分組配對(duì)，必須將1+2+…+(n-1)+n進(jìn)行加工構(gòu)建，轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)數(shù)的和.經(jīng)過(guò)學(xué)生討論、交流，發(fā)現(xiàn)在原式上再加一個(gè)1+2+…+(n-1)+n后，得到求2n個(gè)數(shù)的和問(wèn)題，因此，就能順利將它們分成n組(i+(n-i+1),1≤i≤n,i∈N*))，即可以化為n個(gè)(n+1)的和.

這樣倒序相加法不是教師告知的，而是在解決問(wèn)題中自然生成的，是學(xué)生在問(wèn)題探究中自我發(fā)現(xiàn)的一種解題方法.倒序相加法是解決某類問(wèn)題一種技巧，技巧本身不重要，重要的是這種探究過(guò)程、獲得數(shù)學(xué)方法的思維過(guò)程.

2.4 抓住本質(zhì)，領(lǐng)悟思想

另外，筆者聽了很多節(jié)該課題的課，授課教師在介紹高斯加法后，都如出一轍地讓學(xué)生利用倒序相加方法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，這也是教材中介紹的方法. 機(jī)械模仿式學(xué)習(xí)、訓(xùn)練弊端是毋庸置疑的，仍沒(méi)有引起一些教師的注意，倒序相加求和法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法沒(méi)有真正被揭示.教師在教學(xué)中過(guò)分強(qiáng)調(diào)倒序相加求和法的運(yùn)用，這樣易形成思維僵化，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

如果學(xué)生沒(méi)有深刻理解高斯加法的本質(zhì)，如“計(jì)算1-2+3-4+…+(-1)2n-1×2n的和”等問(wèn)題，學(xué)生就會(huì)不知所措.學(xué)生只要善于分析、觀察，就不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，就可以將1-2+3-4+…+(-1)2n-1×2n分成n組，即第一項(xiàng)與第二項(xiàng)分為一組，第三項(xiàng)與第四項(xiàng)分為一組，…，第2n-1項(xiàng)與第2n項(xiàng)分為一組，分成n組，每組的和都是-1，于是1-2+3-4+…+(-1)2n-1×2n=-n.

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)過(guò)程，概括起來(lái)說(shuō)就是重構(gòu)分組，通過(guò)學(xué)生大腦中新舊知識(shí)的相互作用，實(shí)現(xiàn)化歸.將不會(huì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化已經(jīng)解決問(wèn)題進(jìn)行處理，或者將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，這就是本質(zhì)，也是數(shù)學(xué)思維的精髓.數(shù)學(xué)公理、定義、定理與證明必須作為一個(gè)活躍的成分，滲透于推理過(guò)程之中.學(xué)生必須主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)、學(xué)習(xí)、組織、檢驗(yàn)并使用它們.由于數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的成果，他們的思維方法和思維過(guò)程是學(xué)生思維活動(dòng)的典范，他們的思維是通過(guò)文本和教師的加工處理來(lái)影響著學(xué)生的思維.因此，在教學(xué)中，對(duì)公式原理的教學(xué)，要重視原理、公式本身的數(shù)學(xué)價(jià)值，很好地去發(fā)掘數(shù)學(xué)原理、公式形成過(guò)程中數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng).摒棄將結(jié)果直接呈現(xiàn)給學(xué)生，通過(guò)大量的例題講解和習(xí)題訓(xùn)練，來(lái)鞏固和加深理解.其實(shí)，原理、公式本身就是經(jīng)典的例題，我們應(yīng)該充分用好和發(fā)揮好原理、公式的教學(xué)功能.

3 寄語(yǔ)

“教員不是拿所得的結(jié)果教人，最要緊的是拿怎樣得到結(jié)果的方法教人”. 畢達(dá)哥拉斯說(shuō)，“在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?cè)趺粗朗裁?”因此，在教學(xué)中，如何將教材呈現(xiàn)的知識(shí)進(jìn)行再創(chuàng)造，通過(guò)問(wèn)題鏈激發(fā)學(xué)生思維，揭示知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)歷獲得數(shù)學(xué)公式的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).這樣學(xué)到的不是單個(gè)的知識(shí)點(diǎn)，而是培養(yǎng)了獲取新知的能力.至于某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間以后可能遺忘，但這種理性思維的精神將終生難忘.同時(shí)，從方法論和發(fā)現(xiàn)論看，為日后學(xué)習(xí)、獲取知識(shí)、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、創(chuàng)新地提出問(wèn)題，以及研究問(wèn)題方法和解決問(wèn)題思路都有借鑒，如何化未知為已知，化陌生為熟悉，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，做到大道至簡(jiǎn)，將是終生受益的.

1 中華人共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(試用)[M].北京：人民教育出版社,2003

2 丁益民.例談數(shù)學(xué)家思維的教學(xué)功能[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016(5) : 15-17

3 [美]G·波利亞.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?2007新一版

2016-09-26)