李 燕, 劉錫平, 李曉晨, 張 莎

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

具逐項(xiàng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的積分邊值問題正解的存在性

李 燕, 劉錫平, 李曉晨, 張 莎

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

研究了一類具有逐項(xiàng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程積分邊值問題正解的存在性和多解性.利用錐上不動(dòng)點(diǎn)定理和 Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理,分別得到了該積分邊值問題至少存在1個(gè)正解和3個(gè)正解的結(jié)論.最后給出2個(gè)例子來證明結(jié)論有效.

分?jǐn)?shù)階微分方程; 逐項(xiàng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù); 積分邊值問題; 錐上不動(dòng)點(diǎn)定理; 正解

1 問題的提出

分?jǐn)?shù)階微分方程在流變學(xué)、力學(xué)、信號(hào)處理和系統(tǒng)辨識(shí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、分形和混沌等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.近年來,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其理論的研究取得了許多有價(jià)值的成果[1-2],為了描述運(yùn)動(dòng)過程的整體性態(tài),對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題的研究顯得尤為重要,可參見文獻(xiàn)[3-7].在振動(dòng)理論中,低階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(如阻尼項(xiàng))具有重要的作用,為了了解它們對(duì)系統(tǒng)的影響,不少學(xué)者對(duì)具有逐項(xiàng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程進(jìn)行了研究[8-13].

本文主要研究一類具有逐項(xiàng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程積分邊值問題

(1)

2 預(yù)備知識(shí)及引理

有關(guān)分?jǐn)?shù)階積分及Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義參見文獻(xiàn)[1-2].

引理1 設(shè)0

等價(jià).其中,

兩端,運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論,可得

c0+c1t+c2t2+…+cntn

并且

由邊界條件可得

所以

反之,若x=x(t)是積分方程(2)的解,由分?jǐn)?shù)階微分方程的相關(guān)理論容易驗(yàn)證其滿足邊值問題(1).

引理2G(t,s)具有下列性質(zhì):

a.G(t,s)連續(xù)且G(t,s)≥0,對(duì)任意的(t,s)∈J×J;

H0假設(shè)g0,g1∈C(J),使得函數(shù)H(t,s)滿足:

定義線性算子A:C(J)→C(J):

(3)

引理3 設(shè)I為恒等算子,若假設(shè)H0成立,則算子A具有如下性質(zhì):

a.A是有界線性算子;

b.A(P)?P;

c.I-A可逆;

證明a-c結(jié)論是顯然的,這里只給出d的證明過程.

令x(t)=y(t)+Ax(t),得到x(t)=(I-A)-1y(t),t∈J,y∈C(J).由算子A的定義可知積分方程

因此

(4)

并且,由0≤m≤H(t,s)

從而

于是

結(jié)論成立.

如果d=c,那么,由引理5的條件a可以推出條件c.

3 積分邊值問題正解的存在性和多解性

(5)

再由式(4)以及引理3可知,x(t)是問題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)x(t)是x(t)=(I-A)-1Tx(t)=Sx(t)的解,即x(t)是S的不動(dòng)點(diǎn),其中,

定理1 設(shè)H0成立,并且f(t,x)是J×+→+上的連續(xù)函數(shù),若存在2個(gè)正常數(shù)r2>r1>0使得:

H2f(t,x)≤α(1-p)(1-M)r2,(t,x)∈J×[0,r2].

證明 由引理2和假設(shè)H0,易證S: P→P.

現(xiàn)證S:P→P 全連續(xù).

另一方面,對(duì)任意的t1,t2∈J,

即S(P0)等度連續(xù).綜上所述,S是全連續(xù)算子.

所以

所以

定理2 設(shè)H0成立,并且f(t,x)是J ×+→+上的連續(xù)函數(shù),若存在常數(shù)0

H3f(t,x)≤α(1-p)(1-M)a,(t,x)∈J×[0,a] ;

H5f(t,x)≤α(1-p)(1-M)c,(t,x)∈J×[0,c].

則邊值問題(1)至少有3個(gè)正解x1,x2,x3,且滿足:

即φ(Sx)>b,對(duì)所有的x∈P(φ,b,c).這表明引理5的條件a滿足.

由引理5可知,邊值問題(1)至少有3個(gè)正解x1,x2,x3,且滿足:

4 應(yīng)用舉例

為了證明結(jié)論的有效性,現(xiàn)給出2個(gè)例子.

例1 考慮邊值問題

(7)

由定理1可得此邊值問題(7)至少有1個(gè)正解.

例2 考慮邊值問題

(8)

這里取

那么,由定理2可知,此邊值問題(8)至少有3個(gè)正解x1,x2,x3,且滿足:

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(編輯:石 瑛)

Existence of Positive Solutions for the Integral Boundary Value Problem of Sequential Fractional Differential Equations

LI Yan, LIU Xiping, LI Xiaochen, ZHANG Sha

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

The existence and multiplicity of positive solutions were investigated for a class of integral boundary value problems of fractional differential equations with sequential fractional derivatives.The existence of at least one positive solution and three positive solutions for integral boundary value peroblems was obtained respectively,by using the fixed point theorem on cone and the Leggett-Williams fixed point theorem.Two examples were given to illustrate the results.

fractionaldifferentialequation;sequentialfractionalderivative;integralboundaryvalueproblem;fixedpointtheoremoncone;positivesolution

1007-6735(2016)06-0511-06

10.13255/j.cnki.jusst.2016.06.001

2016-07-01

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171220);滬江基金資助項(xiàng)目(B14005)

李 燕(1991-),女,碩士研究生.研究方向:常微分方程理論與應(yīng)用.E-mail:764250156@qq.com

劉錫平(1962-),男,教授.研究方向:常微分方程理論與應(yīng)用.E-mail:xipingliu@163.com

O 175.8

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