潘 欣 吳 正 王良龍

（安徽大學(xué)，安徽 合肥 230031）

半線性脈沖泛函微分方程正解的存在性

潘 欣 吳 正 王良龍

（安徽大學(xué)，安徽 合肥 230031）

本文利用線性算子半群理論，錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理和Gronwall型脈沖積分不等式，在合適的條件下證明了抽象空間中半線性脈沖泛函微分方程正解的存在性。

緊C0-半群；半線性脈沖泛函微分方程；正解；Gronwall型脈沖積分不等式

引言

在生物數(shù)學(xué)和種群生物學(xué)等領(lǐng)域中，常常需要尋找微分方程的正解.因此，微分方程正解的存在性在實(shí)際問題中有很重要的應(yīng)用。而許多數(shù)學(xué)物理方程可以轉(zhuǎn)化為抽象空間中的微分方程。抽象空間中的微分方程也因此成為人們一直關(guān)注的課題。其中關(guān)于泛函微分方程獲得了不少重要成果。見文[1，2，3]。

抽象空間中的半線性發(fā)展方程近來引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛的研究興趣，獲得了不少重要結(jié)果，見文獻(xiàn)[3－8]。其中文獻(xiàn)[6－8]研究了半線性發(fā)展脈沖微分方程，受到以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文考慮抽象空間上半線性脈沖泛函微分方程正解的存在性。

為此我們假設(shè)（E，|·|）為一個(gè)Banach空間，E＋為E上的一個(gè)正規(guī)錐（N為正規(guī)常數(shù)），E＋誘導(dǎo)E中的一個(gè)偏序關(guān)系≤（或≥），即對(duì)x，y∈E，x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y－x∈E＋，則（E，|·|，≤）構(gòu)成一個(gè)偏序Banach空間。文中E總是指偏序Banach空間。

以下考慮偏序Banach空間（E，|·|，≤）中半線性脈沖泛函微分方程Cauchy問題

正解的存在性。

1 預(yù)備知識(shí)

Cauchy問題（1）中的A為無界線性算子，可以生成一個(gè)正且緊的C0-半群 ｛T（ t）:t≥0｝；其中分別表示x（t）在t=tk處右極限，左極限；J=（0，+∞）；xt（θ）=x（t+θ），θ∈[-τ，0]（τ＞0）；τ1＞0.

再由引理2可推知，對(duì)于任意的ε＞0，總可以找到一個(gè)δ＞0使得，其中x∈D且.所以（SD）（t）在（0，t1]上等度連續(xù)，類似地可以證明（SD）（t）在（0，T]上逐段等度連續(xù)，故SD是相對(duì)緊的。再由T的任意性知，算子S是PC+中的緊算子，從而是全連續(xù)算子，引理8得證。

主要定理 設(shè)PC+為PC[J，E]的一個(gè)正規(guī)錐且假設(shè)（H1），（H2）和（H3）均成立，則對(duì)于方程（1）在Banach空間PC[J，E]中至少存在一個(gè)全局正解

在給出主要結(jié)果之前，我們先證明幾個(gè)重要的引理：

引理7 在假設(shè)（H1），（H2），（H3）的條件下，上述（3）式所定義的算子S∶PC+→PC+是連續(xù)的。

引理8 在假設(shè)（H1），（H2），（H3）的條件下，如（3）所定義的算子S是PC+中的緊算子，從而是全連續(xù)算子。

再由引理2可推知，對(duì)于任意的ε＞0，總可以找到一個(gè)δ＞0使得，其中x∈D且所以（SD）（t）在（0，t1]上等度連續(xù)，類似地可以證明（SD）（t）在（0，T]上逐段等度連續(xù)，故SD是相對(duì)緊的。再由T的任意性知，算子S是PC+中的緊算子，從而是全連續(xù)算子，引理8得證。

主要定理 設(shè)PC+為PC[J，E]的一個(gè)正規(guī)錐且假設(shè)（H1），（H2）和（H3）均成立，則對(duì)于ω∈E+｛0｝，方程（1）在Banach空間PC[J，E]中至少存在一個(gè)全局正解

3 應(yīng)用舉例

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭祖庥.泛函微分方程理論[M].合肥：安徽教育出版社，1994.

[2]WU J H.Theory and applications of partial functional differential equations[M].Springer:New York.1996.

[3]王良龍.抽象半線性泛函微分方程正解的存在性[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2001，（1）:94-99.

[4]WANG L L，WANG Z C.Monotone iterative techniques for parameterized BVPs of abstract semilinear evolution equations[J].Computers and Mathematics with Applications，2003，46（8-9）:1229-1243.

[5]WANG L L，WANG Z C.Mixed monotone iterative techniques for semilinear evolution equatons in banach spaces[J].Annals of Differential Equations，2004，（3）:283-301.

[6]潘欣，王良龍.半線性發(fā)展脈沖微分方程解的存在性[J].合肥學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，（1）:5-8.

[7]潘欣，王良龍.半線性發(fā)展脈沖微分方程解的單調(diào)迭代方法[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，（1）:15-19.

[8]潘欣，吳正.具有脈沖作用的半線性發(fā)展微分方程的正解[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，（3）:481-486.

[9]PAZY A.Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations[M].Springer:New York.1983.

[10]宋新宇，郭紅建，師向云.脈沖微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2011:26-27.

[11]郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004:306.

THE EXISTENCE OF THE POSITIVE SOLUTIONS OF SEMILINEAR IMPULSIVE FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

PAN Xin WU ZhengWANG Liang-long
（Anhui University,Hefei Anhui 230031）

This paper is concerned with the existence of the positive solutions of semilinear impulsive functional differential equations in abstract space under the certain conditions by combining the semi-group theory of linear operators,the fixed point theorem in cones with the impulsive integral inequality of Gronwall type.

Compact-semigroup；Semilinear impulsive functional differential equations；Positive solutions；Impulsive integral inequality of Gronwall type

O175.15

A

1672－2868（2016）06－0005－06

責(zé)任編輯：楊松水 校對(duì)：陳 侃

2016－10－25

安徽省高校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：KJ2013Z012，KJ2014A010）；安徽省自然科學(xué)基金（項(xiàng)目編號(hào)：1508085QA01）；安徽省高等教育質(zhì)量工程計(jì)劃教學(xué)研究項(xiàng)目（編號(hào)：2015jyxm057）；安徽大學(xué)本科質(zhì)量提升計(jì)劃項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：ZLTS2015052）

潘欣（1983-），男，安徽鳳臺(tái)人。安徽大學(xué)江淮學(xué)院，講師。研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)。