王丙參，魏艷華（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741001）

停止損失序的性質(zhì)及其在風(fēng)險管理中的應(yīng)用

王丙參，魏艷華
（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741001）

給出一些常見隨機序的定義并解釋了經(jīng)濟含義，研究了停止損失序的性質(zhì)及與其他隨機序的關(guān)系，給出保險精算中常用的停止損失隨機序的確定方法及應(yīng)用，對風(fēng)險模型進行隨機比較，最后利用隨機序探討了停止損失再保險.

停止損失序；風(fēng)險；再保險

對風(fēng)險進行認識及研究，一直就是金融與保險中的重要內(nèi)容之一.以前，人們都是給出風(fēng)險的量化指標，但一直無法找到共識的度量方法，隨機序的出現(xiàn)解決了此問題.目前，隨機序被進一步引入到最優(yōu)再保險、破產(chǎn)理論、生存分析等問題中，并成為保險精算研究人員分析風(fēng)險問題的重要工具.保險人在選擇承保風(fēng)險、再保險形式及構(gòu)建投資組合的時候及投保人在尋找最優(yōu)的自留額時，都要對風(fēng)險的相對優(yōu)劣進行評估，這實際就是風(fēng)險排序.停止損失序與停止損失再保險聯(lián)系密切，目前關(guān)于這方面的文獻很多，但都不系統(tǒng)，所以有必要對停止損失序給予詳細的系統(tǒng)探討.［1-4］簽于此，本文首先給出一些常見隨機序的定義，并解釋了其經(jīng)濟含義，研究了停止損失序的性質(zhì)及與其它隨機序的關(guān)系，給出保險精算中常用的停止損失隨機序的確定方法及應(yīng)用.

1　停止損失序性質(zhì)及與其他隨機序的關(guān)系

定義1［5-7］如果非負隨機變量X，Y表示風(fēng)險，令，則有

（1）稱Y大于X，記為X≤stY，若對， FX（x）≥FY（x）或ˉX（x）≤ˉY（x）；

等價定義：對于非負隨機變量X，Y，若存在一對（X′，Y）使得X′～X且P（X′≤Y）=1，則稱X≤stY.

（2）稱X按停止損失序小于Y，記為X≤slY，若對?d≥0有

或

（3）稱X按α階停損序小于Y，記為X≤sl（α）Y，若對有

或

（4）稱Y的尾重于 X的尾，記為 X≤ttY，若EX=EY，且存在x0∈R，使得

但

（5）稱風(fēng)險X≤hY，若對，h（x）是［0，+∞）上非減、可導(dǎo)的正函數(shù)且使得下述不等式兩端均有限，

較重的尾指該隨機變量取大值概率大，這使得該風(fēng)險與具有相同均值的風(fēng)險相比沒有優(yōu)勢，因為該風(fēng)險取值更廣，從而降低可預(yù)見性，即指危險性較大.

顯然，對任意隨機變量X有 μ=EX≤cx（≤sl）X；若X≤sl（α）Y，則X≤sl（β）Y，?β≥α；

序≤h滿足半序的自反性、對稱性、傳遞性，是風(fēng)險族上的一個偏序.當(dāng)h（x）=c＞0時，則由X≤hY可得

從而得到X≤stY；

當(dāng)h（x）=erx，若對?r＞0有X≤hY，

從而可得指數(shù)序X≤expY；

定理1（1）X≤stY? 對一切遞增函數(shù) f，有E［f（X）］≤E［f（Y）］；

（2）X≤slY? 對一切非降下凸函數(shù) v，有E［v（X）］≤E［v（Y）］? 對一切非降上凸函數(shù)u，有E［u（X）］≥E［u（Y）］.

證明 因為（1）（2）證明方法類似，為簡單起見，所以只證明（1）：

充分性 令 f-1（a）=inf｛x；f（x）＞a｝，則

從而f（X）≤stf（Y），即

由此可見X≤stY.

定理2（1）對兩風(fēng)險X，Y和隨機變量Θ，如果對?θ∈Θ有

則有

（2）如果對每個Xi≤st（≤sl，≤sl（α））Yi，i≥1，計數(shù)變量

且所有變量相互獨立，則

證明（1）顯然成立；

（2）可由概率論中強實現(xiàn)定理得≤st成立.

下證≤sl成立：對?X，Y，Z，如果Z獨立于X，Y 且X≤slY，則有

因此有

即SM≤slSN，結(jié)論成立.

下證≤sl（α）成立：只證n=2，且X2，Y2有相同的分布函數(shù)H的情形，其余情形同理可得；設(shè)X，Y分別有分布函數(shù)F，G，則對有

結(jié)論≤sl（α）成立.證畢.

定理3［5］（1）（泛函不變性）若X≤slY，則對?非降下凸函數(shù)φ（x）有φ（X）≤slφ（Y）.特別地

（2）（分離定理）若X≤slY，則存在Z使得

定理5設(shè)分布函數(shù)Fy，Gy對?y滿足Fy≤slGy，U（y）是一分布函數(shù)，則有

證明 設(shè)隨機變量X，Y H（X），H（Y）的分布函數(shù)分別為F（x），G（x），F(xiàn)1（x），G1（x），顯然H（x）在［0，+∞）上遞增連續(xù)可導(dǎo)，且H（0）=0，H（∞）=∞.

顯然d的任意性與H（d）的任意性等價，因此

即（1）?（2）；

同理可得

即（1）?（3），結(jié)論得證.

定理7若E［H（X）］≤E［H（Y）］＜∞且存在某個x0≥0，當(dāng) x＜x0時，F(xiàn)（x）≤G（x），反之則否，則有X≤hY.

證明 設(shè)隨機變量X，Y的分布函數(shù)分別為F（x），G（x）令 f（x）=h（x）［F（x）-G（x）］，則當(dāng) x＜x0時，f（x）≤0，反之則否.

結(jié)論成立.

2　停止損失序的判定

在保險精算中，對保險定價等一系列問題的研究都需比較風(fēng)險大小，由于判斷兩類風(fēng)險的大小，只需判斷個體理賠額及理賠次數(shù)的隨機序關(guān)系，因此，離散型及連續(xù)型隨機變量隨機序的確定十分重要.

定理8［4］若X，Y是連續(xù)型隨機變量，X的密度函數(shù)為 fX（t），令

如果EY≤EX且存在常數(shù)t0∈S，使得當(dāng)t∈S?（t0，∞）時，ρX（t）≥ρY（t），當(dāng) t∈S?（0，t0）時 ρX（t）≤ρY（t），則X≥slY.若M，N是離散型隨機變量，N的分布列為

定理9［8］（1）X≤slY?對X，Y存在隨機變量D使得X+D與Y同分布且E［D|X］≥0；

（2）若FX（x）≤FY（x），x＜C，F(xiàn)X（x）≥FY（x），x≥C，且EX≤EY，則X≤slY.

例1設(shè)隨機變量X～Pareto（m，σ），m＞0，σ＞1，Y～Γ（α，β），α，β＞0，則

右端分子是關(guān)于t的二次函數(shù)，設(shè)其正根為t0，易知當(dāng)t＞t0時，ρX（t）≥ρY（t），而0＜t＜t0時，ρX（t）≤ρY（t），由定理8可得X≥slY.

定理10［6］如果隨機變量N～NB（r，p），M～P（λ），E［M］≤E［N］，則M≤slN.如果M～B（n，p），上結(jié)論也成立.

假設(shè)風(fēng)險集體中理賠次數(shù)N～P（λ），參數(shù)λ未知且是變量∧的輸出值，如果理賠分布的尾概率不是太重情形，例如在機動車險中對自己車輛損傷情況，我們可假定∧～Γ（α，β），則

可見

其中α，β的值可通過風(fēng)險集體的理賠次數(shù)統(tǒng)計資料得到估計，由定理8可得泊松分布的伽瑪混合

在停止損失意義下大P（α β）.

定理11假設(shè)結(jié)構(gòu)變量Λj，j=1，2且給定Λj=λ時，隨機變量Nj～P（λ），則Λ1≤slΛ2?N1≤slN2.

證明 令fd（λ）=E［（Mλ-d）+］，其中Mλ～P（λ）.

因為當(dāng)λ＜μ時 Mλ≤stMμ，所以）關(guān)于λ單調(diào)增，即fd（λ）是單調(diào)增凸函數(shù)，于是

定理12［6］如果

其中 β＞β′，α＜α′，則X≤stY，X≤stZ.

定理13如果Γ（α1，β1）與Γ（α0，β0）均值相等，假定α1＜α0，則方差更大的分布其危險性更高，即較厚的尾.

證明由于

且xμe-x的導(dǎo)函數(shù)當(dāng)0＜x＜μ時為正，而當(dāng)x＞μ時為負，所以比值（xμe-x）β1-β0穿過任意水平至多兩次，因為均值相同，所以兩者之間不存在≤st關(guān)系，這意味著它們的相交次數(shù)必須大于1.因此它們恰好相交兩次，這表明其中一個隨機變量比另一個隨機變量更危險，因為危險性更大的隨機變量必是方差較大的一個，所以結(jié)論成立.

綜上所述可得圖1：在（α，β）平面，從（α0，β0）出發(fā)沿對角線往原點走，參數(shù)對應(yīng)分布的危險性遞增；如果從點（α0，β0）出發(fā)，先沿對角線朝原點方向移動到某點，再向右或向下移動到點（α，β），則（α，β）對應(yīng)分布在停止損失序意義下較大，因為這個分布隨機大于危險性高于參數(shù)（α0，β0）對應(yīng)的分布；位于（α0，β0）右下方四分之一區(qū)域參數(shù)對應(yīng)的分布隨機大于Γ（α0，β0）；位于（α0，β0）左下方八分之一區(qū)域參數(shù)對應(yīng)的分布在停止損失序意義下大于Γ（α0，β0），而左下方的對角線之上的八分之一區(qū)域所對應(yīng)的分布，其均值較之Γ（α0，β0）更低，但當(dāng)d→∞時停止損失保費較之Γ（α0，β0）更高，因為當(dāng)d=0時，

圖1　伽瑪分布族中的隨機序

保險機構(gòu)極其關(guān)心理賠總額S的分布、性質(zhì)及計算，通常對S作兩種假設(shè)：［8］

假定

顯然有

即

格點化后，概率質(zhì)量集中，從而方差變大，即風(fēng)險增加，停止損失序表示所有厭惡風(fēng)險型決策者的共同偏好，從而也可解釋上述結(jié)論.

3　停止損失再保險的最優(yōu)性

停止損失再保險承保保單約定損失超出指定免賠額的超額部分，如果保險事故造成損失為X，則再保險人理賠支付為（X-d）+=max｛X-d，0｝，而原保險人只支付剩余部分.可見，保險人只承擔(dān)了風(fēng)險小于d的部分，則其損失一定不會超過d，因此這種形式的保險保障稱為停止損失再保險也合情合理，停止損失保費πX（d）=E［（X-d）+］.［9］可以證明：當(dāng)保險事故損失X≥0時，某再保險合同約定的理賠支付為I（X），假定 0≤I（x）≤x，?x，則 E［I（X）］=E［（X-d）+］?var［X-I（X）］≥var［X-（X-d）+］

對a＞0，令

對a≥0，在分布函數(shù)族中按如下方式定義一個偏序.若G和H是任意兩個分布函數(shù)，P（G，t，a）≤P（H，t，a），t∈R，則G≤aH.

由式（1）（2）可得一個等價條件為

式（1）（2）可以反解，記p（t）=P（F，t，a），則

因此在分布函數(shù)以及作為免賠額函數(shù)的停止損失保費之間有一個一一對應(yīng)關(guān)系.由a=0及上式可得，一個給定的函數(shù)p（t），t∈R是一個凈停止損失保費當(dāng)且僅當(dāng)它滿足如下性質(zhì)：函數(shù)p連續(xù)，其圖形是上凹的，當(dāng)t→∞時，p（t）→0，當(dāng)t→-∞時，p′（t）→1；

定理14若對?分布函數(shù)G，H有

（2）?β∈R使得

G（x）≤H（x），當(dāng)x＜β，G（x）≥H（x），當(dāng)x≥β，則

證明 當(dāng)t≥β時，由條件（2）可得G≤aH；當(dāng)t＜β時，

結(jié)論成立.

設(shè)F是一個分布函數(shù)，q表示b，c兩點之間的總概率質(zhì)量，如果把b，c兩點之間F的總概率質(zhì)量由一個點代替，修正后的分布函數(shù)記為G.若此點ξ

滿足

則定理（14）中條件（1）中的等號成立，條件（2）對β=ξ成立，所以G≤aF.如果把b，c兩點之間F的總概率質(zhì)量由兩個端點代替，例如點b的概率質(zhì)量為q1，c點的概率質(zhì)量為q2且q1+q2=q，修正后的分布函數(shù)記為H.若滿足

則定理（14）中的條件成立，則F≤aH.

若對某個a＞0有G≤aH，則對?b＞a有

即G≤bH.

顯然有

完全等同于使用單調(diào)增效用函數(shù)的所有決策者對損失風(fēng)險X和Y的偏好排序.停止損失序表示所有厭惡風(fēng)險型決策者的共同偏好，該序應(yīng)用于損失變量，即非負變量.如果兩個隨機變量有相同的均值，且對于?d的停止損失保費有一致大小關(guān)系.

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〔責(zé)任編輯 高忠社〕

O211.9

A

1671-1351（2016）02-0004-05

2016-01-05

王丙參（1984-），男，河南南陽人，天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師。