湖北省恩施市舞陽中學　黃樹軍　謝東銀

例談巧構一元二次方程解題策略

所謂解題策略是在掌握了一般解題方法,并積累了大量解題過程分析經驗之后,既體現由實踐上升為理論,又體現理論指導實踐的一個重要課題.在解題過程中迅速找到較優(yōu)解題操作的基本功能,能減少嘗試與失敗的次數,能節(jié)省探索的時間和縮短解題長度,體現出方法的機智和組合的藝術.本文將對看似不是一元二次方程的問題,通過合理構造或尋求一元二次方程,使之轉化為一元二次方程的問題來求解.

有關一元二次方程,我們不難想到它本身的三大主題:一是求根(特別是特殊解);二是根的判別式;三是根與系數的關系.利用這些關系可以通過巧妙構造一元二次方程,進而簡捷、有效地解決有關問題.

一、由判別式的形態(tài)構造一元二次方程

我們知道Δ=b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判別式,于是從它的形態(tài)可以構造一元二次方程,并由根的情況加以求解.

解析:我們把已知條件變形為(b-c)2-4(a-b)(c-a) =0,這說明當a-b≠0時,關于x的一元二次方程(a-b)x2+ (b-c)x+(c-a)=0有兩個相同的實數根,又方程系數之和為0,則x=x=1,于是=2,即2a=b+c.故=2.

例2若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求證:x、y、z成等差數列.

證明:由題設,當x-y=0時,有x=y=z,顯然x、y、z成等差數列;當x-y≠0時,則可作關于t的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0,此方程有兩個相等的實數根,即t=t=1,所以=-2,整理得z-y=y-x.所以x、y、z成等差數列.

二、由根與系數的關系形態(tài)構造一元二次方程

我們知道,若a、b滿足a+b=-p,ab=q,則a、b為關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩個實數根.利用這一關系,同樣可以構造一元二次方程解題.

例3已知a+b+c=0,a2+b2+c2=4,求a4+b4+c4的值.

解析:由于a+b=-c,a2+b2=4-c2,則ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=c2-4.

所以,a、b是關于x的一元二次方程x2+cx+c2-4=0的兩個實數根.

所以a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=(4-c2)2-2(c2-4)2=-c4+ 8c2-16.

所以a4+b4+c4=8c2-16.

又c2=4-(a+b)2+2ab=3c2+12,所以c2=3.

所以a4+b4+c4=24-16=8.

三、由二次函數的圖像特征尋求一元二次方程

二次函數ax2+bx+c(a≠0)與一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0)有著十分密切的聯系,而且此類問題內容豐富,解題思路靈活多樣.

例4設二次函數(fx)滿足(fx+2)=(f-x+2),且它的圖像與y軸交于點(0,1),在x軸上截得的線段長為2.求(fx)的函數解析式.

解析:由(fx+2)=(f-x+2)得拋物線的對稱軸為直線x=2.又圖像在x軸上截得的線段長為2,易知拋物線與x軸的兩個交點為(2-,0)和(2+,0),從而所求拋物線解析式所對應的一元二次方程為x2-4x+2=0,所以(fx)=a(x2-4x+2),將點(0,1)代入,得a=.故(fx)=

四、從所給條件等式中尋求一元二次方程

解得x1=5,x2=-3(舍去),所以a=25b.

解析:去分母,得1+3-x=3+3.3x,令3x=y,則原方程可化為3y2+2y-1=0,解得y=-1(舍去),y=.

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從而3x=3-1,故x=-1.

從以上各題的解答過程可以看出,合理構造或尋求一元二次方程,是一種重要的解題策略.值得我們認真思考.