☉江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)　葛長(zhǎng)松

引例淺談數(shù)列不等式的多角度探究

☉江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)葛長(zhǎng)松

數(shù)列與不等式的交匯是高考?jí)狠S命題的主要形式之一，其中常涉及導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等知識(shí).主要考查的知識(shí)重點(diǎn)和熱點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學(xué)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求等.解題中涉及的方法也是多種多樣，本文以2015年安徽卷中的不等式考題為例，就數(shù)列不等式證明中所涉及的方法進(jìn)行分析.

引例（2015年安徽卷）設(shè)n∈N*，xn是曲線y=x2n+2+1在點(diǎn)（1，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（1）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式；

（2）記Tn=

本題是對(duì)數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式等主干知識(shí)的交叉考查.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的斜率，再求出直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到數(shù)列通項(xiàng)，最后可利用如下方法證明不等式.

一、利用放縮法

放縮法證明不等式具有綜合性強(qiáng)、形式復(fù)雜、運(yùn)算要求高的特點(diǎn)，能考查考生思維的嚴(yán)密性、深刻性，以及提取和處理信息的能力，較好地體現(xiàn)高考的甄別功能.

解法1：（1）根據(jù)題意得y′=（x2n+2+1）′=（2n+2）x2n+1，得出曲線y=x2n+2+1在點(diǎn)（1，2）處的切線斜率為2n+2.從而可以寫(xiě)出切線方程為y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0，解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xn=

（2）要證Tn≥需考慮通項(xiàng)通過(guò)適當(dāng)放縮能夠使得每項(xiàng)相消即可證明.先表示出，求出初始條件，當(dāng)n=1時(shí)，

點(diǎn)評(píng)：放縮法的實(shí)質(zhì)是非等價(jià)轉(zhuǎn)化，其中放縮的目的性很強(qiáng)，需要按照目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)放縮，湊出目標(biāo).在本例中，不等式的不等號(hào)左邊因子的公共表達(dá)式是n），就要考慮把它縮小，縮小的方法有無(wú)數(shù)多種，方向是什么呢？方向就是得出的n個(gè)不等式右邊部分乘起來(lái)后便于約分最終出現(xiàn)的形式.由此想到.當(dāng)然在此過(guò)程中，一定要注意放縮的尺度，二是要注意從哪一項(xiàng)開(kāi)始放縮.

二、利用單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性“對(duì)于單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意x1，x2，當(dāng)x1< x2時(shí)，f（x1）f（x2））”本身就體現(xiàn)出了從f（x1）到f（x2）的放縮，因此，在證明不等式時(shí)，有時(shí)可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.

解法2：（1）同解法1，易求得xn=

（2）令f（n）=4nTn，則，從而f（n）=4nTn在n∈N*上單調(diào)遞增，f（n）≥1，從而4nTn≥ 1，于是Tn≥

點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)非明顯的一元函數(shù)的不等式證明問(wèn)題，關(guān)鍵是先等價(jià)變換成某一個(gè)一元函數(shù)分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問(wèn)題，本例當(dāng)把原不等式變形為4n后，觀察到不等號(hào)右邊的1恰好是函數(shù)f（n）=4n的函數(shù)值f（1），這樣原問(wèn)題就等價(jià)為證明不等式f（n）≥f（1），這就很自然地啟發(fā)我們研究f（n）的單調(diào)性.利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式時(shí)，一要構(gòu)造好函數(shù)解析式，二要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用范圍.

三、利用數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法常被用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，在數(shù)學(xué)上有著重要的用途，因而成為高考的熱點(diǎn)之一.近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法證明給出的結(jié)論，還加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要能證明結(jié)論的正確.其操作步驟大致可以概括為如下三步：

第一步，證明當(dāng)n取第一個(gè)數(shù)n0時(shí)命題成立；

第二步，假設(shè)n=k（k∈N*，k≥n0）時(shí)命題成立，并以此為前提證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題亦成立；

第三步，判定結(jié)論，即命題對(duì)于n0以后的所有正整數(shù)均成立.

在完成了上述步驟以后，就可以斷定命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.

綜上所述，Tn≥4，對(duì)任意n∈N*恒成立.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，有固定模式，條理清晰，步驟嚴(yán)密，學(xué)生很容易掌握技巧，但也對(duì)同學(xué)們的推理能力提出更高的要求.學(xué)習(xí)中應(yīng)該要深刻理解和體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法的思想內(nèi)涵，這不僅有利于解題，更有利于我們自身對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí).

四、構(gòu)造對(duì)偶式

根據(jù)題中某式①的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造與它形式相似并具有某種對(duì)稱關(guān)系的對(duì)偶式②，再利用①與②之間的運(yùn)算（主要是加、減、乘）求得新的關(guān)系式，從而使問(wèn)題獲得解決，這種方法就叫做構(gòu)造對(duì)偶式解題.在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，恰當(dāng)?shù)厥褂脤?duì)偶法，往往能使得問(wèn)題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造對(duì)偶式的方法有多種，像和差對(duì)偶（對(duì)于u（x）±v（x）可以構(gòu)造u（x）?v（x））、互倒對(duì)偶（對(duì)式子中某些元素取倒數(shù)來(lái)構(gòu)造）、倒序?qū)ε迹▽?duì)和式或積式進(jìn)行倒序構(gòu)造）、定值構(gòu)造（利用和、差、積、商等運(yùn)算產(chǎn)生定值構(gòu)造）、奇偶構(gòu)造（利用整數(shù)的分類(lèi)中奇數(shù)與偶數(shù)的對(duì)稱性構(gòu)造）等都是經(jīng)常使用的方法，本例就是采用了奇偶構(gòu)造法，構(gòu)造出了一個(gè)“意想不到”的對(duì)偶式，從而完成了解答.

解題有法，但無(wú)定法，要遵循規(guī)律，因題擇法，數(shù)列不等式的證明更需要解題者的智慧和謀略，要掌握以上所述方法，必須多實(shí)踐，在實(shí)踐中練就扎實(shí)的基本功，悟出規(guī)律，這樣才能在今后的解題中舉一反三.F