☉江蘇省金湖縣外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 李 東

類(lèi)比教學(xué)中細(xì)節(jié)失察的分析與啟示

☉江蘇省金湖縣外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 李 東

在教學(xué)實(shí)踐中，有些教師設(shè)計(jì)類(lèi)比教學(xué)的過(guò)程流于形式，細(xì)節(jié)處理失察，以致錯(cuò)過(guò)教學(xué)增效的良機(jī).本文結(jié)合具體案例予以分析，并給出相應(yīng)的優(yōu)化措施，供交流.

一、忽視類(lèi)比對(duì)象的內(nèi)在關(guān)聯(lián)

案例1：解直角三角形（第1課時(shí)）.

片斷概述：教師指著課題“解直角三角形”打趣地說(shuō)“這種說(shuō)法挺新鮮，過(guò)去我們只遇到解……”，學(xué)生會(huì)意地聯(lián)想到解方程（組）、解不等式（組）等.教師借機(jī)讓學(xué)生猜“解直角三角形是怎么回事”，有學(xué)生認(rèn)為“就是求出直角三角形中未知的邊或角”，教師肯定學(xué)生的猜想.

教師趁勢(shì)調(diào)動(dòng)學(xué)生，回顧了探索三角形全等條件的思路和經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生成功對(duì)直角三角形中已知元素類(lèi)型進(jìn)行分類(lèi)，學(xué)生分組合作，畫(huà)圖、設(shè)定邊（角）的已知值并求出未知元素.經(jīng)過(guò)小組交流與匯總，達(dá)成共識(shí)：當(dāng)條件中至少有一條邊已知時(shí)（即已知一邊一角或已知兩邊）才能求出直角三角形中的未知元素，依靠的工具是直角三角形中的三個(gè)關(guān)系（勾股定理、內(nèi)角和定理的推論和銳角三角形函數(shù)定義）.至此教師才讓學(xué)生概括什么是解直角三角形……

分析：片斷中，教師在解直角三角形的概念引入與形成階段都進(jìn)行了類(lèi)比教學(xué).學(xué)生扣住兩類(lèi)概念具有“根據(jù)已知求出未知”這一共同本質(zhì)，由解方程等概念類(lèi)比猜想解直角三角形的含義，過(guò)程簡(jiǎn)短、自然、有趣.第二次類(lèi)比活動(dòng)，教師給學(xué)生充足的自主探索與交流合作的時(shí)間，從三角形全等條件的探索思路遷移到探索已知哪些元素的直角三角形可解，盡管研究過(guò)程耗時(shí)長(zhǎng)，但小組分工明確有序.

從課堂觀察看，學(xué)生有兩種認(rèn)識(shí)值得推敲，一種僅認(rèn)為已知一邊（角）等條件時(shí)直角三角形不可解，是因?yàn)槲粗倪吇蚪菬o(wú)法確定；另一種始終將直角三角形中的三邊關(guān)系、角角關(guān)系和邊角關(guān)系看作解題工具——兩個(gè)定理、一個(gè)定義.筆者認(rèn)為這兩種認(rèn)識(shí)較膚淺，與教師把這次類(lèi)比教學(xué)定位于喚醒已有經(jīng)驗(yàn)探索并歸納出直角三角形可解類(lèi)型有關(guān)，教師如果不加以點(diǎn)撥，學(xué)生難以感知三角形全等與直角三角形可解隱含著共同的本質(zhì)，即符合已知條件的三角形唯一存在！而事實(shí)上直角三角形唯一存在又可以用數(shù)進(jìn)行精確刻畫(huà)，即直角三角形的唯一存在與方程（組）有唯一解等價(jià)，學(xué)生想不到這一層面也反映出直角三角形三個(gè)關(guān)系教學(xué)中，方程思想滲透不力所導(dǎo)致的模型意識(shí)缺失.因此，這次類(lèi)比對(duì)象的建構(gòu)停留于問(wèn)題解決的相似思路，還未深入兩者在三角形唯一性上的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

啟示：類(lèi)比是一種求同思維，其實(shí)質(zhì)是一種推斷靶問(wèn)題與源問(wèn)題在知識(shí)等方面的相似性，相似性是類(lèi)比的基礎(chǔ).本案例中教師如果及時(shí)點(diǎn)醒學(xué)生，未知邊（或角）的值無(wú)法確定意味著什么？是三角形不存在還是存在但有無(wú)數(shù)個(gè)？進(jìn)而讓學(xué)生感受到直角三角形可解就是符合條件的直角三角形唯一存在，就能明晰本質(zhì)關(guān)系，三角形全等與直角三角形可解之間的類(lèi)比更有意義.

學(xué)生將直角三角形中三個(gè)關(guān)系的作用僅視為定理和定義的應(yīng)用，是其認(rèn)知水平?jīng)Q定的，我們教師要幫助學(xué)生提高認(rèn)識(shí)，將“工具”上升為“思想”，建立課標(biāo)提出的“模型思想”.三個(gè)關(guān)系的本質(zhì)是直角三角形中內(nèi)隱的一組方程，是刻畫(huà)直角三角形的有效模型，通過(guò)引入階段的類(lèi)比，學(xué)生初步意會(huì)到直角三角形的含義，這時(shí)教師可趁勢(shì)讓學(xué)生復(fù)習(xí)回顧三個(gè)關(guān)系，讓學(xué)生給三個(gè)關(guān)系中的邊或角賦值，這樣學(xué)生就容易發(fā)現(xiàn)已知一邊、已知一角、已知兩角時(shí)都有方程出現(xiàn)無(wú)數(shù)個(gè)解，而已知兩邊或已知一邊一角時(shí)方程有唯一解，幫助學(xué)生理解直角三角形可解對(duì)應(yīng)著直角三角形唯一存在.巧合的是本案例中學(xué)生課堂解過(guò)的方程分別屬于一元一次方程、一元二次方程、分式方程和簡(jiǎn)單的三角方程（由銳角三角函數(shù)值求角），如果在結(jié)課時(shí)把它們對(duì)比一下，學(xué)生就能體會(huì)到解直角三角形匯集了初中階段所學(xué)的各類(lèi)方程，模型意識(shí)得到增強(qiáng).

在類(lèi)比對(duì)象的建構(gòu)中，不能剝離對(duì)象間的內(nèi)在關(guān)系，否則會(huì)導(dǎo)致對(duì)靶問(wèn)題也具有的相似性認(rèn)識(shí)模糊或表述不當(dāng)，造成學(xué)生的類(lèi)比思考只停留于外表而未深入本質(zhì).

二、忽視對(duì)象差異的區(qū)分力度

案例2：用二元一次方程組解決問(wèn)題（第1課時(shí)）.

片斷概述：教師讓學(xué)生用不同方法解決問(wèn)題：五一小長(zhǎng)假期間，某旅行社接待1日游和3日游的旅客共2200人，收旅游費(fèi)200萬(wàn)元，其中1日游每人收費(fèi)200元，3日游每人收費(fèi)1500元.該旅行社接待的1日游和3日游旅客各有多少人？

巡視中，教師挑出分別列一元一次方程和二元一次方程組解題的學(xué)生板演，點(diǎn)評(píng)后讓學(xué)生對(duì)比兩種解法，哪種思路更直接、方法更簡(jiǎn)單？學(xué)生一致認(rèn)為列方程組更直接，但有學(xué)生覺(jué)得少設(shè)一個(gè)未知數(shù)好，且解方程組過(guò)程較繁，認(rèn)為列一元一次方程簡(jiǎn)單，教師用“還是列方程組簡(jiǎn)單，慢慢你會(huì)體會(huì)到”應(yīng)付過(guò)去.接著讓學(xué)生根據(jù)板演回顧了列一元一次方程解應(yīng)用題的6個(gè)步驟（教師板書(shū)這6個(gè)步驟），順勢(shì)類(lèi)比列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟……

分析：辯證地看，靶問(wèn)題與源問(wèn)題之間存在一定的差異，教師刻意挑出兩種解法，就是方便學(xué)生順利進(jìn)行兩次類(lèi)比遷移，一是從解應(yīng)用題的一般步驟上，幫助學(xué)生固化列方程（組）解應(yīng)用題的基本思路，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供類(lèi)比源；二是從解法的關(guān)鍵步驟上，比對(duì)差異感知優(yōu)劣，使新方法的出現(xiàn)為學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)所接納，這兩次類(lèi)比分別著眼于對(duì)象的相似性和差異性.

本案例中有學(xué)生看好列一元一次方程解決問(wèn)題，問(wèn)題出在哪兒？教師點(diǎn)評(píng)時(shí)已讓學(xué)生列出本題的兩個(gè)相等關(guān)系，設(shè)一元的學(xué)生只不過(guò)利用“1日游的人數(shù)+3日游的人數(shù)=2200”提前變形消元，能力一般的學(xué)生也容易據(jù)此設(shè)一個(gè)未知數(shù)并表示出另一個(gè)未知數(shù)，由此看來(lái)，教者提供的素材顯示對(duì)象的差異性缺乏力度，對(duì)象的差異性沒(méi)有突出地指向列方程組的優(yōu)越性.

啟示：怎樣的素材能讓學(xué)生列一元方程覺(jué)得費(fèi)事或吃力？若根據(jù)兩個(gè)相等關(guān)系列出的兩個(gè)方程中，沒(méi)有未知數(shù)的系數(shù)為1，一般學(xué)生就較難設(shè)元并快速心算消元，這樣的問(wèn)題會(huì)明顯說(shuō)明設(shè)一元列方程的劣勢(shì).事實(shí)上，教師后面出示的例1就是一個(gè)理想的素材，其題目是：為保護(hù)環(huán)境，某校環(huán)保小組成員收集廢舊電池.第一天收集5節(jié)1號(hào)電池、6節(jié)5號(hào)電池，總質(zhì)量為500g；第二天收集3節(jié)1號(hào)電池、4節(jié)5號(hào)電池，總質(zhì)量為310g.1節(jié)1號(hào)電池和1節(jié)5號(hào)電池的質(zhì)量分別是多少？這個(gè)問(wèn)題可以直接作為引例，題中有兩個(gè)相等關(guān)系，無(wú)論設(shè)哪個(gè)未知數(shù)，用其中一個(gè)相等關(guān)系表示另一個(gè)未知數(shù)都不易，此時(shí)列方程組解題的優(yōu)勢(shì)很明顯，學(xué)生才體會(huì)到學(xué)習(xí)列方程組解應(yīng)用題的必要性，深刻感受到方程組這個(gè)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型.

利用類(lèi)比對(duì)象的差異性設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，要圍繞教學(xué)主題選擇合適的素材，這個(gè)素材要有力揭示靶問(wèn)題與源問(wèn)題間的差異，并且這種差異要能促進(jìn)學(xué)生的思考順利進(jìn)入教學(xué)預(yù)設(shè)的軌道.

三、忽視結(jié)論或然的發(fā)掘運(yùn)用

案例3：分式方程（第1課時(shí)）.

片斷概述：教師首先讓學(xué)生探索3個(gè)實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系，分別列出方程，然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比一元一次方程，發(fā)現(xiàn)新方程的共同特征，歸納引出分式方程的概念.接著教師發(fā)動(dòng)學(xué)生研究分式方程的解法，經(jīng)小組合作找到兩種思路，一是左邊通分相加合并，根據(jù)商為1時(shí)除數(shù)、被除數(shù)相等獲解；二是等號(hào)兩邊都以2x-5為公分母通分，合并左邊后，根據(jù)同分母的分式相等時(shí)其分子也相等獲解.此時(shí)教師追問(wèn)：方程如何解？啟發(fā)學(xué)生嘗試去分母解，到此教師強(qiáng)調(diào)：與解含分?jǐn)?shù)系數(shù)一元一次方程不同的是，解分式方程最后一步必須寫(xiě)出檢驗(yàn)過(guò)程！至于為什么，學(xué)完下節(jié)課的內(nèi)容大家會(huì)明白，先記住這個(gè)要求……

分析：這個(gè)片斷，類(lèi)比色彩也較濃.列出的方程里分母中有未知數(shù)，據(jù)此引出分式方程概念，另外強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)檢驗(yàn)過(guò)程，這些都是抓住與一元一次方程在形式和解題步驟上的差異，完成類(lèi)比對(duì)象的建構(gòu)；解分式方程的思路（學(xué)生找到的及教師引導(dǎo)的），都是借助已有解題經(jīng)驗(yàn)和方法在新問(wèn)題中的嘗試運(yùn)用，發(fā)揮出正類(lèi)比的作用.

可是，“解分式方程最后一步必須寫(xiě)出檢驗(yàn)過(guò)程”是教師強(qiáng)加給學(xué)生的，或許教師認(rèn)為必須借助增根導(dǎo)致分式方程無(wú)解例子，才能讓學(xué)生心服口服接受這一硬性規(guī)定，因此本節(jié)課讓學(xué)生去理解這個(gè)規(guī)定時(shí)機(jī)不成熟.事實(shí)是最后一步書(shū)面檢驗(yàn)是由去分母這一步隱含的差異決定的，也就是等式基本性質(zhì)2所決定的，如果在此發(fā)掘這種差異，會(huì)幫助學(xué)生理解這種邏輯關(guān)聯(lián)，寫(xiě)檢驗(yàn)過(guò)程也就理所當(dāng)然了.

啟示：就像萊布尼茲所言，“感覺(jué)永遠(yuǎn)只能給我們提供一些例子，只有理性才能建立可靠的規(guī)律”，類(lèi)比具有或然性，應(yīng)通過(guò)演繹證明或反例否定來(lái)檢驗(yàn)類(lèi)比所得結(jié)論的正確性.去分母時(shí)，教師板書(shū)=1×（2x-5），是為了基礎(chǔ)差的學(xué)生減少失誤而要求他們書(shū)寫(xiě)的一步，這一步其實(shí)是學(xué)生理解書(shū)面檢驗(yàn)必要性的較好切入點(diǎn).

在學(xué)生聯(lián)想到解分式方程可以先去分母時(shí)，教師可以在這步后面用彩筆加注問(wèn)號(hào)，并提醒說(shuō)：假設(shè)這樣去分母是合理的！得出x=0后，學(xué)生反思整個(gè)過(guò)程，每步變形與運(yùn)算都正確無(wú)誤，對(duì)照解一元一次方程的經(jīng)驗(yàn)，會(huì)覺(jué)得書(shū)面檢驗(yàn)沒(méi)有必要，此時(shí)教師追問(wèn)學(xué)生：這里去分母時(shí)兩邊同乘的式子，與解一元一次方程去分母有沒(méi)有區(qū)別？去分母的依據(jù)是什么？這個(gè)依據(jù)中有什么特殊規(guī)定嗎？學(xué)生交流中會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里去分母時(shí)兩邊同乘的不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)含字母的式子，依據(jù)等式基本性質(zhì)2，兩邊同乘的必須是不為0的數(shù)！此時(shí)再追問(wèn)：是數(shù)能一眼看出是否為0，可現(xiàn)在的（2x-5）能看出一定不是0嗎？一旦（2x-5）為0，去分母這一步就已錯(cuò)了，后面的過(guò)程再完美都無(wú)效，這個(gè)漏洞該如何補(bǔ)救呢？學(xué)生商討的結(jié)果可能是把x=0代入（2x-5）看是否為0，或是直接代入原方程檢驗(yàn).即使有學(xué)生提出分類(lèi)討論，依據(jù)求得的未知數(shù)的值，（2x-5）要么為0，要么不為0，其中一種情況成立就同時(shí)否定另一種，可以幫助學(xué)生理解不必分類(lèi).通過(guò)這一系列引導(dǎo)，從邏輯上幫助學(xué)生感受到書(shū)面檢驗(yàn)必不可少.另外，去分母解分式方程也是一種在“假設(shè)”前提下啟動(dòng)的解題模式，前面學(xué)習(xí)中積累的反證法和存在性問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)，也能促進(jìn)學(xué)生理解和接受書(shū)面檢驗(yàn)的要求.

教學(xué)中在鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想的同時(shí)，更要要求學(xué)生對(duì)類(lèi)比的思維過(guò)程進(jìn)行反思，檢驗(yàn)結(jié)論的正確性，而類(lèi)比對(duì)象間的差異性往往是檢驗(yàn)的突破口.類(lèi)比教學(xué)關(guān)注類(lèi)比結(jié)論的或然性，對(duì)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)意義重大.

四、忽視類(lèi)比方向的多元并存

案例4：用配方法化二次函數(shù)一般式為頂點(diǎn)式

片斷概述：教師先讓學(xué)生將函數(shù)y=x2-2x+3化為y= a（x+h）2+k的形式，接著又拋出函數(shù)y=2x2+4x-1，有學(xué)生設(shè)轉(zhuǎn)化成的函數(shù)為y=2（x+h）2+k，展開(kāi)整理成一般式，“對(duì)號(hào)入座”求出h和k，再代入得到所求的頂點(diǎn)式.教師指出此法無(wú)效，因?yàn)榻獯疬^(guò)程沒(méi)有出現(xiàn)配平方的過(guò)程.接著逆向類(lèi)比剛才這位同學(xué)的展開(kāi)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生提取2再配平方整理成頂點(diǎn)式，然后又以學(xué)生口述教師板書(shū)的形式，共同將二次函數(shù)y=ax2+bx+c化為頂點(diǎn)式，可是鞏固練習(xí)中出了意外，一位學(xué)生將函數(shù)y=3x2-6x+7這樣化為頂點(diǎn)式：.教師這樣評(píng)價(jià)：盡管結(jié)果對(duì)，但這種方法把二次三項(xiàng)式的配方與配方法解一元二次方程混在一起，拐彎抹角，不提倡！

分析：片斷中學(xué)生用待定系數(shù)法化頂點(diǎn)式，肯定是受到什么知識(shí)啟發(fā)，是學(xué)習(xí)整式乘法和因式分解時(shí)做過(guò)類(lèi)似題目？還是聯(lián)想到面積法解題的經(jīng)驗(yàn)？類(lèi)比的痕跡很明顯，遺憾的是沒(méi)有在課后走訪一下.這個(gè)方法出人意料，卻成了教師引導(dǎo)學(xué)生將a≠1化為a=1的腳手架（也許教師備課時(shí)就已準(zhǔn)備好將頂點(diǎn)式化為一般式的問(wèn)題）.

這位學(xué)生“意外”的解法值得深思，他這樣堅(jiān)定走“除以a”的路線，誘因恐怕還是配方法解一元二次方程的經(jīng)驗(yàn).想想學(xué)生平時(shí)提取a進(jìn)行配方，最后一步常犯的錯(cuò)誤就是漏乘a導(dǎo)致整理出來(lái)的“k”值不對(duì)！再細(xì)想，提取a這種傳統(tǒng)方法（即教材中的方法）會(huì)產(chǎn)生中、小兩層括號(hào)，給符號(hào)感弱的學(xué)生增加變形和運(yùn)算的難度，相反兩邊除以a，可以專(zhuān)心配方，配好后又可以同乘a輕松還原.由此看來(lái)，除以a配方倒是更貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，更易牽引著學(xué)生在特定思路上產(chǎn)生類(lèi)比遷移，因此應(yīng)肯定這種配方思路，而不應(yīng)囿于教材進(jìn)行牽強(qiáng)的類(lèi)比.

啟示：從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角度看，類(lèi)比就是兩個(gè)具有同構(gòu)關(guān)系的模型空間的推理，在這個(gè)關(guān)系下兩類(lèi)對(duì)象間相似屬性具體表現(xiàn)形式不是單一的，使得類(lèi)比的方向多元并存.學(xué)生研究源問(wèn)題在某個(gè)方面積累的經(jīng)驗(yàn)越豐富、越深刻，就越能左右學(xué)生面對(duì)靶問(wèn)題朝著這個(gè)方向聯(lián)想遷移.案例中提取a將二次函數(shù)配成頂點(diǎn)式，也許學(xué)生能直接參照的就是先提公因式再套用完全平方公式進(jìn)行因式分解，能間接參照的是展開(kāi)a（x+h）2+k化成ax2+bx+c這種變形；而除以a配方可直接參照的經(jīng)驗(yàn)比較多，從解一元一次方程、一元一次不等式最后一步（系數(shù)化為1）到配方法解a≠1的一元二次方程，經(jīng)歷了許多練習(xí)的積淀，學(xué)生朝著除以a方向聯(lián)想也就不足為奇了.筆者嘗試這種配方法教學(xué)，學(xué)生配方的效果確實(shí)好于傳統(tǒng)配方法，值得肯定.

類(lèi)比教學(xué)中，類(lèi)比對(duì)象的構(gòu)建要充分考慮多個(gè)方向，學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備和經(jīng)驗(yàn)累積會(huì)促進(jìn)哪個(gè)方向的類(lèi)比生成，需要多作預(yù)案，這樣當(dāng)我們面對(duì)學(xué)生出人意料的想法時(shí)，就能作出客觀合理的評(píng)價(jià)，從而促進(jìn)學(xué)生類(lèi)比意識(shí)的健康發(fā)展.

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