□錢宏軍

基于多元視角 統(tǒng)合學(xué)習(xí)材料
——以“田忌賽馬”教學(xué)為例

□錢宏軍

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料是學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的核心載體，會對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生直接的影響。以田忌賽馬的教學(xué)實踐為例，基于多元的視角統(tǒng)合學(xué)習(xí)材料可以從以下幾方面著手：基于學(xué)生主體的視角要切合學(xué)情；基于材料本身的視角要一材多用；基于學(xué)習(xí)內(nèi)容的視角要三向拓展。學(xué)生借助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料，積極主動探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)技能，并在這一過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提高問題解決能力。

多元視角 學(xué)習(xí)材料 田忌賽馬

“田忌賽馬”是人教版四年級上冊第八單元“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，目的是讓學(xué)生在多種解決問題的策略中尋求最優(yōu)的策略，并在此過程中感悟優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想。以往的教學(xué)絕大多數(shù)教師按照教材的編排，從“田忌賽馬”的歷史故事引入，接著拋出問題：你知道田忌是怎么安排的嗎？引發(fā)學(xué)生思考和討論，然后結(jié)合生活中的比賽進(jìn)行練習(xí)鞏固，最后課堂小結(jié)。這樣大眾化的教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)了之后的確有所獲得，但對于優(yōu)化策略的理解并不深刻。究其原因在于學(xué)習(xí)材料，尤其是探究的學(xué)習(xí)材料的設(shè)計和使用。用田忌賽馬的故事來探討優(yōu)化策略，有諸多局限：學(xué)生對田忌賽馬的故事并不是很了解，課堂上學(xué)生興趣不大；古代故事既成事實，不能隨意改變；對陣的各級馬匹，容易混淆；在故事的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，又顯得比較生硬、跳躍，不容易和其他學(xué)習(xí)材料聯(lián)系起來。

學(xué)習(xí)材料是教師課堂上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的資料，是學(xué)生課堂探究的核心載體，會對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生直接而顯著的影響。教師需要通盤考慮、合理整合課堂學(xué)習(xí)材料供學(xué)生探究思考，引領(lǐng)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)技能，并在這一過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料是多種多樣的，在教學(xué)中需要怎樣取用呢？下面以“田忌賽馬”教學(xué)為例，談?wù)劵诙嘣囊暯墙y(tǒng)合學(xué)習(xí)材料進(jìn)行教學(xué)的幾點做法。

一、基于學(xué)生主體的視角——切合學(xué)情

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師在設(shè)計和運用學(xué)習(xí)材料時，需要圍繞學(xué)生這個主體，考慮是否切合學(xué)生的實際，調(diào)動學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，喚起學(xué)生生活和學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，從而把握住學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點。學(xué)生以往積累的數(shù)學(xué)知識和活動經(jīng)驗，只是為持續(xù)學(xué)習(xí)提供了可能的思路和方法，還需要在學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行檢驗，從而鞏固或形成新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。如果能結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，聯(lián)系學(xué)生的生活，就能夠使課堂風(fēng)生水起，達(dá)到更好的教學(xué)效果。

【教學(xué)片段1】

師：同學(xué)們，今天我們一起來玩撲克牌游戲好不好？（好?。?/p>

出示游戲規(guī)則：每人抽3張牌，一對一PK，點數(shù)大的贏。

師：明白游戲的規(guī)則了嗎？（明白）準(zhǔn)備好了嗎？

學(xué)生一起回答：準(zhǔn)備好了！

學(xué)生的眼睛齊刷刷地盯著投影，等待電腦發(fā)牌。

1.喚醒生活經(jīng)驗

鑒于田忌賽馬故事的局限，筆者將探究性學(xué)習(xí)材料更換為撲克牌比大小。撲克牌比大小作為一種游戲，能激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生的注意力集中到課堂學(xué)習(xí)上來。更為重要的是這個游戲貼近學(xué)生的生活，符合學(xué)生的經(jīng)驗，學(xué)生都經(jīng)歷過，而且在以往的游戲過程中已經(jīng)有初步的、比較模糊的策略，能夠依托所積累的生活經(jīng)驗進(jìn)行深入的探討。撲克牌比大小主要是比數(shù)的大小，比起對上等馬、中等馬和下等馬進(jìn)行比較，要直觀、清楚很多，操作起來也非常方便，便于學(xué)生比較、討論。

2.依托知識基礎(chǔ)

在學(xué)習(xí)“田忌賽馬”之前，學(xué)生通過“烙餅問題”和“統(tǒng)籌方法（沏茶問題）”的學(xué)習(xí)，對優(yōu)化的策略已經(jīng)有所理解，田忌賽馬的策略可以豐富和深化優(yōu)化策略。而學(xué)生原有的課堂學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗也為開展探究活動奠定了良好的基礎(chǔ)。

3.把握學(xué)習(xí)關(guān)鍵

學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是學(xué)生針對學(xué)習(xí)的內(nèi)容在學(xué)習(xí)上所遇到的疑惑和困難，教師需要在關(guān)鍵點上下功夫?！疤锛少愸R”的優(yōu)化策略，學(xué)生在日常生活中或多或少在不自覺地運用，但對于背后的原理并不清楚，或者沒有去思考過，只是“知其然”，沒有達(dá)到“知其所以然”。因此，教學(xué)中需要通過學(xué)習(xí)材料將重點放在為什么這樣安排上。

二、基于材料本身的視角——一材多用

課堂上由于時間和空間的原因，不可能也沒有必要提供很多的學(xué)習(xí)材料，因此，就要在同一個材料上下功夫，將學(xué)習(xí)材料用足用透。材料本身并不是數(shù)學(xué)，而是只提供了一個例子、一種現(xiàn)象，我們要從中去探尋背后的數(shù)學(xué)特點和本質(zhì)。學(xué)習(xí)材料不能機械化、封閉化，要有一定的開放性和包容性，能夠進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，以鞏固、深化、拓展學(xué)生的認(rèn)識。這種變化可以有兩種：一是學(xué)習(xí)材料本身，僅僅改變問題；二是適當(dāng)改變材料中的某一個或幾個條件，而問題不變。這兩種方法可以根據(jù)實際需要靈活處理。

【教學(xué)片段2】引入經(jīng)驗初用

出示游戲規(guī)則：每人抽3張牌，一對一PK，點數(shù)大的贏。

師：誰能贏？

生：不一定。

師：如果小紅想要贏，需要怎樣出牌？

學(xué)生思考了一下：3、8、6。

師：能具體說一說嗎？

生：3對9，8對7，6對4，三局兩勝。

師：是這樣嗎？

學(xué)生齊聲回答：是的！

教師出示兩組撲克牌：9、7、4和8、6、3，先讓學(xué)生初步給出對策。課堂上部分學(xué)生憑借生活經(jīng)驗馬上就有了初步的對策，這是由于在現(xiàn)代的生活中，很多的比賽和游戲一般都是按照三局兩勝來進(jìn)行判定的，學(xué)生平時聽說過、看到過，甚至也使用過。這與教學(xué)的預(yù)設(shè)相一致，說明這樣的材料已經(jīng)很好地引入了學(xué)生的生活經(jīng)驗。

【教學(xué)片段3】枚舉驗證細(xì)用

師：小紅是不是只有這樣的安排才能取勝？

生：要把小紅所有的出法試一遍才能知道。

師：那我們就一起來試一下吧。請拿出練習(xí)紙，根據(jù)要求完成在練習(xí)紙上。（練習(xí)如下）

常態(tài)環(huán)境下的財務(wù)管理機制，難以對企業(yè)各環(huán)節(jié)進(jìn)行有效評價。但財務(wù)評價是財務(wù)管理的主要職能，其對于資金使用的有效性具有重要的影響。有鑒于此，財務(wù)部門可利用大數(shù)據(jù)理念，尋找各部門的成本數(shù)據(jù)，并以此為依據(jù)對其進(jìn)行成本分析。在具體的工作中，財務(wù)部門首先應(yīng)對各生產(chǎn)環(huán)節(jié)所帶來的成本進(jìn)行解析。例如，儲運環(huán)節(jié)的成本，可被分解為運輸車輛的維護(hù)成本與采購成本、人員開支、能源消耗、場地成本、長途運輸成本等項目。之后，財務(wù)部門應(yīng)將各項目的支出與常態(tài)環(huán)境下支出進(jìn)行對比，從而使資金使用的有效性得以體現(xiàn)。

小紅所有可用的方法

活動要求：

（1）獨立思考，并填寫表格。

（2）小組合作討論：

怎樣做既不會遺漏，也不會重復(fù)?

觀察這些方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生思考完成表格，先同桌交流，然后全班交流。

生：我們是這樣想的，先是8、6、3，小明贏；再是8、3、6，小明贏；再是6、8、3，小明贏；再是6、3、8，小明贏；再是3、8、6，小紅贏；再是3、6、8，小明贏。

師：他們組是按什么順序排列的？有什么好處？

生：從大到小，不會重復(fù)也不會遺漏。

師：還有其他方法嗎？

生：也可以從小到大，這樣也不會重復(fù)也不會遺漏。

師：是的，有序思考是非常好的方法。觀察這些方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：小紅總共有6種方法，但是只有3、8、6這一種方法才可以獲勝。

學(xué)生前面已經(jīng)給出一種解決方法，但只是知其然而不知其所以然。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能止步于表面現(xiàn)象，更重要的是挖掘現(xiàn)象背后所隱含的本質(zhì)。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生既不重復(fù)也不遺漏地列出所有可用的方法，然后進(jìn)行比較，最終讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)只有這一種方法能贏，這樣便清楚地凸顯出優(yōu)化策略的價值，使學(xué)生初步理解了優(yōu)化策略。另外，在枚舉的過程中，也鞏固和深化了有序思考的方法。

【教學(xué)片段4】更換條件變用

師：如果允許小紅換一張牌，但不能比原來的大，你準(zhǔn)備怎么換？為什么？

生：把6換成5，5還是比4大。

生：也可以把3換成2，反正都是要輸?shù)摹?/p>

生：3還可以換成A。

師：A表示幾？

生：A就是1啊。

師：可行嗎？

生（齊答）：可以。

師：為什么不換8呢？

生：小明已經(jīng)是7了，不能換了。如果換了，就只有一張比小明大了，那還贏得了？

師：剛才我們換了這么多，什么是不變的？

生：有兩張牌比對方大。

生：用最小對最大，保證另外兩張贏。

生：還要后出牌，如果先出牌就輸了。（學(xué)生都笑了起來）

師：這也是很關(guān)鍵的哦。

接下來，對于前面用于探討的學(xué)習(xí)材料主題并沒有更換，而是在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，讓學(xué)生有條件地?fù)Q撲克牌，使學(xué)生遷移出牌的對策，深化優(yōu)化的策略。其實，這里每張牌的點數(shù)都是精心設(shè)計過的，小紅的三張牌只可以換其中6和4兩張，另外一張8不能換；6只能換成5這一種換法；而3卻可以換成2或A，換牌的策略比較多樣化。然后將這些不同的策略進(jìn)行比較、溝通，找到他們的共同點，使學(xué)生比較深入地理解了優(yōu)化的思想。

三、基于學(xué)習(xí)內(nèi)容的視角——三向拓展

鞏固拓展練習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容不可或缺的部分，其積極意義已經(jīng)被廣大教師所接受。鞏固拓展可以從三個方向進(jìn)行延伸：介紹知識背景、橫向聯(lián)系應(yīng)用、縱向深入提升。學(xué)習(xí)材料便可以根據(jù)這三個方向來設(shè)計和安排，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、比較、溝通。在溝通和比較中使學(xué)生更加深入地理解數(shù)學(xué)知識，從而形成更加立體、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

【教學(xué)片段5】介紹知識背景

師：你聽說過田忌賽馬的故事嗎？

出示“田忌賽馬”：田忌和齊王賽馬，他們的馬都分為上、中、下三等，然而齊王的每一等馬的實力都比田忌的馬略強。

師：田忌要想取勝，該怎么安排？

齊王—田忌

上—（）

中—（）

下—（）

學(xué)生很快就填寫完畢。

生：田忌用下等馬對上等馬，上等馬對中等馬，中等馬對下等馬，三局兩勝取勝。

師：你能說說撲克游戲和田忌賽馬的共同點嗎？

生：要先看對手出什么，再考慮自己出什么。

生：比對手弱一些，就要放棄一局最差的，努力去贏兩局。

生：要全部情況綜合起來考慮，合理安排，才能取勝。

師：你們真厲害！后來人們把這種合理安排、以弱勝強的策略稱為“田忌賽馬”。

在理解優(yōu)化策略的基礎(chǔ)上，重現(xiàn)田忌賽馬的歷史故事，讓學(xué)生知道田忌運用優(yōu)化策略取勝。通過這樣練習(xí)的形式來介紹知識產(chǎn)生的背景，豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化；能夠調(diào)動學(xué)生的積極性，并應(yīng)用知識解決問題，鞏固和熟練優(yōu)化的策略。通過尋找撲克牌和田忌賽馬之間的聯(lián)系來深化對優(yōu)化思想的認(rèn)識。

【教學(xué)片段6】橫向聯(lián)系應(yīng)用

師：你覺得田忌賽馬的這種策略在生活中可以用在哪些地方呢？

生：比賽。

師：能具體一點嗎？

生：乒乓球比賽，用最弱去跟對方最強的比，最強的跟對方中等的比，中等的跟對方最弱的比。

生：玩拍手游戲也可以用到啊。

師：是的，在日常生活中，如果能用上田忌賽馬的這種策略，我們肯定可以把事情完成得更好。

數(shù)學(xué)來源于生活，還要重新回到生活當(dāng)中，只有這樣才能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的價值，并在橫向聯(lián)系生活和實際應(yīng)用的過程中，豐富學(xué)生的認(rèn)識，增強應(yīng)用的意識，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的鞏固與發(fā)展，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

【教學(xué)片段7】縱向深入提升

出示拍球比賽：如果比賽中每個人都發(fā)揮正常，乙隊怎樣對陣才能獲勝？用線連一連。

拍球比賽（五局三勝）

學(xué)生自主完成之后展示交流（有多種不同的方法）。

師：這么多的對陣策略都可以取勝，有什么共同的地方？

生：最少取得三局勝利。

生：用強的三個人跟對方弱的三個人比，用弱的兩個人跟對方強的兩個比，就能取勝了。

生：要事先合理安排好。

師：同學(xué)們分析得都有道理，看來田忌賽馬的優(yōu)化策略還是很有用的。

從三局兩勝到五局三勝，形式不同，場數(shù)增加，并且有多種取勝的策略，這是對田忌賽馬優(yōu)化策略的鞏固深化和拓展。教師提供的探究性學(xué)習(xí)材料盡可能包含多種解決問題的策略，使學(xué)生可以從不同的角度或不同的層次思考和解決問題，達(dá)到不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的目的。在展示了學(xué)生多種解決問題的策略后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行溝通提升。這里的溝通主要是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同方法背后共同的策略——優(yōu)化。在溝通和比較中使學(xué)生更加深入地理解每種方法，從而形成更加立體、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的設(shè)計和運用，要考慮學(xué)生的學(xué)情、材料本身的特點和學(xué)習(xí)內(nèi)容的情況，放到課堂中，能夠真正達(dá)到使學(xué)生樂于探究、善于探究的目的。當(dāng)然，教學(xué)的預(yù)先設(shè)計只是課堂教學(xué)的一部分，在課堂實踐中，還要根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行靈活、合理的調(diào)整，將預(yù)設(shè)和生成相結(jié)合，才能真正發(fā)揮學(xué)習(xí)材料應(yīng)有的價值，從而提高課堂教學(xué)的效果。

[1]謝東艷.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的合理開發(fā)和有效利用[J].寧波教育學(xué)院學(xué)報，2010（2）.

[2]王海兒.大“材”小用與小“材”大用——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的合理選擇和利用[J].新課程陽光，2009（5）.

[3]章志良，汪元英.使用學(xué)習(xí)材料的幾點策略[J].小學(xué)教學(xué)研究，2007（6）.

[4]莊細(xì)和.豐富學(xué)習(xí)材料，構(gòu)建和諧課堂[J].廣西教育，2006（10）.

（浙江省杭州市周浦小學(xué) 310024）