王安興, 杜 琨

(1. 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院, 上海 200433; 2. 上海市金融信息化技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200433)

債務(wù)違約風(fēng)險(xiǎn)與期權(quán)定價(jià)研究

王安興1,2, 杜 琨1

(1. 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院, 上海 200433; 2. 上海市金融信息化技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200433)

論文分析當(dāng)已知公司財(cái)務(wù)信息下的歐式期權(quán)定價(jià)問題，分別在公司資產(chǎn)服從Merton、Black & Cox和Leland & Toft違約風(fēng)險(xiǎn)模型下，給出了歐式期權(quán)的定價(jià)公式，并分別討論了公司資本結(jié)構(gòu)和債務(wù)違約邊界對(duì)歐式期權(quán)價(jià)格的影響.

期權(quán)定價(jià)； 資本結(jié)構(gòu)； 信用風(fēng)險(xiǎn)； 違約邊界

0 引 言

在資本市場(chǎng)中，很多上市公司發(fā)行股票和債券，同時(shí)，以這家公司的股票為標(biāo)的的期權(quán)也交易活躍.比如，在上海和深圳A股市場(chǎng)中，不少上市公司發(fā)行可分離可轉(zhuǎn)債.可分離可轉(zhuǎn)債就是把普通可轉(zhuǎn)債拆解成兩個(gè)證券，一個(gè)證券是可轉(zhuǎn)債的債權(quán)，另一個(gè)證券是可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換為公司股票的轉(zhuǎn)換權(quán).債權(quán)證券就是普通的債券，而轉(zhuǎn)換權(quán)證券就是普通的期權(quán).上市公司發(fā)行可分離可轉(zhuǎn)債之后，在市場(chǎng)中事實(shí)上同時(shí)出現(xiàn)公司債券、股票和期權(quán)等證券.在通常的法律環(huán)境下，上市公司會(huì)披露公司財(cái)務(wù)信息.如果公司債務(wù)違約，則公司將被清算，公司剩余資產(chǎn)權(quán)益歸債權(quán)人，導(dǎo)致公司股票價(jià)值歸零，公司股票期權(quán)價(jià)值也直接受到影響.鑒于公司財(cái)務(wù)信息對(duì)判斷公司債務(wù)違約風(fēng)險(xiǎn)的重要性，持有股權(quán)激勵(lì)合約的經(jīng)理人、期權(quán)交易的理性投資者有興趣了解公司財(cái)務(wù)信息對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響.

關(guān)于期權(quán)定價(jià)的研究始于Black和Scholes[1]和Merton[2]的開創(chuàng)性工作，在假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的條件下，Black和Scholes[1]和Merton[2]獨(dú)立給出了歐式期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes-Merton(BSM)模型.

在這以后，眾多學(xué)者從不同的角度不斷推廣Black-Scholes-Merton模型.Heston[3]假設(shè)股票價(jià)格的波動(dòng)率是隨機(jī)的，Merton[4]在股票價(jià)格過程中引入跳越，Bakshi 等[5]，Bates[6-7]，Das 和 Sundaram[8]，Eraker[9]，Pan[10]以及Scott[11]的期權(quán)定價(jià)模型都引入跳-擴(kuò)散過程來模擬標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格過程.

由于經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示股票價(jià)格不是正態(tài)分布，Barndorff-Nielsen[12]假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從逆高斯(NIG)分布，從而為期權(quán)定價(jià).Eberlein等[13]采用廣義雙曲分布模擬標(biāo)的資產(chǎn)收益率分布，Madan 和 Milne[14]以及Madan等[15]假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從方差伽馬(VG)過程，從而為期權(quán)定價(jià).Carr 和 Wu[16]假設(shè)股票價(jià)格服從時(shí)變Levy過程，并在此假設(shè)下為期權(quán)定價(jià).Carr 和 Wu[17-18]，Carr 和 Linetsky[19]假設(shè)股票價(jià)格服從跳過程的條件下債券違約、期權(quán)定價(jià)的關(guān)系，并應(yīng)用于CDS定價(jià)等分析.Carr 和 Wu[20]假設(shè)公司債務(wù)違約前股票大于門檻值B，公司債務(wù)后股票價(jià)格小于A(A

關(guān)于公司債務(wù)違約、信用債券定價(jià)與公司資本結(jié)構(gòu)的研究始于Merton[21].如果公司資產(chǎn)價(jià)值大于公司負(fù)債，在公司股東沒有動(dòng)機(jī)債務(wù)違約.如果將來公司資產(chǎn)價(jià)值降至某一水平，公司股東對(duì)公司債務(wù)違約，公司債權(quán)人取得公司股權(quán).Merton[21]假設(shè)公司資產(chǎn)價(jià)值用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述，可違約公司股票和債券可看作是公司資產(chǎn)價(jià)值的或有索取權(quán)，給出公司債務(wù)定價(jià)的結(jié)構(gòu)化模型.

Black 和 Cox[22]認(rèn)為公司債務(wù)到期之前的任何一個(gè)時(shí)間，如果公司資產(chǎn)價(jià)值跌至違約邊界時(shí)，公司債務(wù)違約就會(huì)發(fā)生，公司的違約邊界外生給定.Black 和 Cox[22]還研究了優(yōu)先和次級(jí)債務(wù)分級(jí)、安全條款、分紅及現(xiàn)金分紅限制對(duì)風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)定價(jià)的影響.Geske[23]采用了復(fù)合期權(quán)方法來對(duì)息票債券定價(jià)，并給出了在這一復(fù)合期權(quán)框架下的次級(jí)債務(wù)定價(jià)公式.Leland等[24]研究支付連續(xù)利息(也可等價(jià)地認(rèn)為公司在每次到期都發(fā)行相同面額的新債為舊債的償還融資)的永久債券的信用風(fēng)險(xiǎn)，得到信用風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格的解析解，Leland等[24]模型考慮了破產(chǎn)成本和稅收對(duì)公司股東違約選擇的影響和公司最佳資本結(jié)構(gòu)，該模型的結(jié)果更多地回答了關(guān)于公司資本結(jié)構(gòu)的問題.

Longstaff 和 Schwartz[25]繼承了Black 和 Cox[22]關(guān)于違約時(shí)間的假定，但是他們認(rèn)為違約邊界不是確定的，而是隨機(jī)變動(dòng)的.他們將利率的動(dòng)態(tài)過程引入到模型中，計(jì)算在Vasicek單因子利率模型下的信用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)，其研究表明，利率的動(dòng)態(tài)變化對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)的影響并不如想象中的大.Leland 和 Toft[24]認(rèn)為公司的內(nèi)部控制人可以控制公司的資產(chǎn)和負(fù)債規(guī)模與結(jié)構(gòu)，因此公司違約邊界是內(nèi)生的，并分析了在這一假設(shè)下的風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)定價(jià)問題.Briys 和 Varenne[26]定義了一個(gè)隨機(jī)違約門檻，該違約門檻定義為債券到期日之前以無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的固定值，只要公司價(jià)值到達(dá)這一門檻，債券持有人就收到一定比例(該比例是外生的)的公司剩余資產(chǎn)，他們的模型確保支付給債券持有人的現(xiàn)金流不大于違約時(shí)的公司價(jià)值，且在任何時(shí)點(diǎn)門檻值都是公司是否破產(chǎn)的一個(gè)很重要的決定性因素，且公司能重新支付債券的本金.Huang 和 Huang[27]實(shí)證檢驗(yàn)各種債務(wù)違約風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)構(gòu)化模型擬合債券信用利差的優(yōu)良性，發(fā)現(xiàn)對(duì)投資既債券，信用風(fēng)險(xiǎn)模型僅僅能夠解釋其信用利差的很小部分，信用風(fēng)險(xiǎn)模型對(duì)高收益?zhèn)男庞美罱忉屇芰ι源?

關(guān)于隱含波動(dòng)率顯示出“Volatility smile/smirk”現(xiàn)象長(zhǎng)期存在，其實(shí)是提醒所有的期權(quán)定價(jià)理論擬合市場(chǎng)期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)不完美，Carr&Wu[20]也僅僅對(duì)虛值期權(quán)(out-of-the-money)進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn).研究新的期權(quán)定價(jià)理論依然有必要.在期權(quán)定價(jià)理論研究中，基于公司資產(chǎn)價(jià)值模型條件下公司債務(wù)違約與期權(quán)定價(jià)理論的文獻(xiàn)沒有看到.

在Black 和 Scholes[1]、Merton[2]及后來的歐式期權(quán)定價(jià)公式研究中，對(duì)公司資產(chǎn)負(fù)債表中的公司股東權(quán)益價(jià)值(股票價(jià)格)設(shè)定模型，沒有涉及公司負(fù)債.導(dǎo)致在歐式期權(quán)定價(jià)公式中沒有出現(xiàn)公司負(fù)債，表示公司負(fù)債與期權(quán)價(jià)格沒有直接關(guān)系.Merton[21]及后來的公司債券違約風(fēng)險(xiǎn)研究中，對(duì)公司資產(chǎn)負(fù)債表中的公司資產(chǎn)價(jià)值設(shè)定模型，關(guān)注的重點(diǎn)是公司債券的違約風(fēng)險(xiǎn)，沒有涉及公司股票期權(quán)的定價(jià)問題.在不同文獻(xiàn)的研究中，由于研究者假設(shè)的基本決策信息不同，他們給出了不同的結(jié)論.

本文假設(shè)決策者的決策基于公司資產(chǎn)價(jià)值相關(guān)(財(cái)務(wù))信息，對(duì)公司資產(chǎn)負(fù)債表中的公司資產(chǎn)價(jià)值設(shè)定模型，關(guān)注的重點(diǎn)是公司股票期權(quán)的定價(jià)問題.嘗試分析公司股票、公司債券和公司股票期權(quán)同時(shí)存在交易條件下，公司股東債務(wù)違約對(duì)期權(quán)價(jià)格影響，分析債務(wù)條款與期權(quán)價(jià)格的關(guān)系.

選擇Merton[21]、Black 和 Cox[22]和Leland 和 Toft[24]等三個(gè)模型為例，是因?yàn)檫@三個(gè)模型在結(jié)構(gòu)化信用風(fēng)險(xiǎn)模型中很有代表性.Merton模型開創(chuàng)了結(jié)構(gòu)化信用風(fēng)險(xiǎn)模型，Black-Cox模型首先將違約時(shí)間隨機(jī)化，Leland-Toft模型首次將公司內(nèi)部人的影響引入到結(jié)構(gòu)化風(fēng)險(xiǎn)模型中.其它的結(jié)構(gòu)化信用風(fēng)險(xiǎn)模型都是在這三個(gè)模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的.

1 問題描述

假設(shè)上市公司發(fā)行股票、零息票債券，公司股東以公司資產(chǎn)(或收益)償還公司債券，同時(shí)，以公司股票為標(biāo)的的期權(quán)在市場(chǎng)中自由交易.假設(shè)金融市場(chǎng)有效，債券、股票、期權(quán)的交易沒有交易成本，信息對(duì)稱，市場(chǎng)中的所有參與者同時(shí)獲得信息，公司股東的資本結(jié)構(gòu)(債務(wù)融資)選擇與公司股票期權(quán)價(jià)格無關(guān).如果公司股東不按照債務(wù)合約規(guī)定償還債務(wù)，則公司破產(chǎn)，公司股票價(jià)值變?yōu)榱?公司股東是否違約，取決于當(dāng)時(shí)公司的資產(chǎn)價(jià)值和債券合約條款的規(guī)定.根據(jù)公司資產(chǎn)價(jià)值模型假設(shè)和債券合約違約條件的差異，分別討論在Merton模型、Black-Cox模型和Leland-Toft模型下的歐式股票期權(quán)定價(jià)問題.

1.1 Merton模型下的期權(quán)定價(jià)問題

Merton[21]模型中假設(shè)下簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)：設(shè)公司資產(chǎn)價(jià)值V(t)，公司股票價(jià)格為S(t)，公司債券到期日為T，面值為D，價(jià)格為B(t)，沒有票息(coupon)支付，在債券到期日支付債券面值，如果公司股東無法償還債務(wù)，則公司破產(chǎn)，股票價(jià)值變?yōu)榱?公司資本結(jié)構(gòu)外生給定.該公司股票的看漲期權(quán)的敲定價(jià)格為K，到期日為T，市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率r是常數(shù).

設(shè)公司資產(chǎn)價(jià)值V(t)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)

(1)

其中W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后，在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下有

(2)

因?yàn)楣緝r(jià)值=股權(quán)價(jià)值+債券價(jià)值，所以

S(T)=[V(T)-D]+

(3)

其中S(T)為T時(shí)刻的股價(jià).由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式[28]，看漲期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格為

(4)

K為期權(quán)敲定價(jià)格.由式(3)可以看出，如果公司不負(fù)債，即D=0(由式(3)，此時(shí)有V=S)，則該模型就退化為Black-Scholes模型.

1.2 Black-Cox模型下的期權(quán)定價(jià)問題

Merton[21]模型假設(shè)債權(quán)人只能在債券到期日強(qiáng)迫公司破產(chǎn)清算，而事實(shí)上許多債券合約中有所謂的“安全條款(safety covenants)”，即當(dāng)公司價(jià)值V(t)低于某個(gè)臨界值VB(t)時(shí)公司就會(huì)被強(qiáng)制破產(chǎn)清算，這個(gè)臨界值VB(t)被稱為破產(chǎn)邊界.下面就在Black和Cox[22]模型下求解歐式期權(quán)價(jià)格，分析債券合約中的“安全條款”如何影響期權(quán)價(jià)格.

假設(shè)一個(gè)與前一節(jié)相同的簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)，僅僅公司資產(chǎn)價(jià)值模型不同：在Black和Cox[22]中，假設(shè)公司資產(chǎn)價(jià)值服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)

(5)

其中q為連續(xù)支付的紅利率.破產(chǎn)邊界VB(t)=Ce-γ(T-t)，其中C>0，γ>0為常數(shù).C代表違約邊界的大小，該值越大越容易違約.γ代表違約邊界隨時(shí)間變化的速率，該值越大違約邊界上升速度越快.要求γ>0是因?yàn)橥顿Y人一般情況下在距離債券到期日越近的時(shí)刻越擔(dān)心債券違約.經(jīng)過風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整，在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下有

(6)

設(shè)F(V(t)，t)為t時(shí)刻看漲期權(quán)的價(jià)值，則當(dāng)t=T時(shí)有

其中S(V(T),T)代表T時(shí)刻的股票價(jià)格，它依賴于公司T時(shí)刻的價(jià)值V(T).根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式，看漲期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格為

1{V(t)>VB(t),?t∈[0,T]}]

(7)

看跌期權(quán)的價(jià)格可以類似給出.從式(7)可以看出，如果假設(shè)公司不負(fù)債，即D=0且1{V(t)>VB(t),?t∈[0,T]}=1，則該模型就退化為Black-Scholes模型.

1.3 Leland-Toft模型下的期權(quán)定價(jià)問題

Black和Cox[22]模型中假設(shè)公司違約邊界是外生給定的.與此相反，Leland 和 Toft[24]認(rèn)為公司控制人(股東)能夠決定公司何時(shí)破產(chǎn)，從而違約邊界應(yīng)該是內(nèi)生的.這時(shí)，公司資本結(jié)構(gòu)也是內(nèi)生的，公司股東選擇最優(yōu)資本結(jié)構(gòu).依照Leland 和 Toft[24]中的假定，公司價(jià)值V(t)依然滿足式(5)和式(6).公司在0時(shí)刻發(fā)行面值為D的債券，T時(shí)刻到期，以后按滾動(dòng)方式繼續(xù)發(fā)債.為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)債券不付息，且沒有破產(chǎn)成本.根據(jù)以上假設(shè)，Leland 和 Toft[24]中的內(nèi)生違約邊界為

(8)

假設(shè)一個(gè)與前一節(jié)相同的簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)，但是，公司債務(wù)違約行為與Leland & Toft[24]相同，違約邊界內(nèi)生，期權(quán)價(jià)格與資本結(jié)構(gòu)無關(guān).則在Leland-Toft模型下，期權(quán)價(jià)格F(V(t)，t)與Black-Cox模型下的股票期權(quán)價(jià)格高度類似，唯一的區(qū)別在于違約邊界.類似于上一節(jié)的Black-Cox模型，如果在Leland-Toft模型中假設(shè)公司不負(fù)債，則該模型也退化為Black-Scholes模型.

2 不同模型下的期權(quán)定價(jià)公式

在第1節(jié)中，已經(jīng)根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性資產(chǎn)定價(jià)理論給出了歐式看漲期權(quán)的計(jì)算方法，下面分別給出不同模型下的歐式期權(quán)的定價(jià)公式.

定理1 如果公司資產(chǎn)價(jià)值服從Merton[21]模型，并且公司股東僅僅當(dāng)債務(wù)到期時(shí)公司資產(chǎn)價(jià)值小于負(fù)債面值時(shí)違約，則歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為C(V(t),t)=V(t)N(d1)-(K+D)e-r(T-t)N(d2)

(9)

若在式(9)中令D=0，則式(9)就變成了Black-Scholes公式.

定理2 如果公司價(jià)值服從Black 和 Cox[22]模型，股東當(dāng)公司價(jià)值下降到外生違約邊界以下時(shí)違約，則歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為

其中

若令D=γ=0，再令C→0+則定理2中的公式就退化為Black-Scholes公式.

定理2’ 如果公司價(jià)值服從Black和Cox[22]模型，股東當(dāng)公司價(jià)值下降到外生違約邊界以下時(shí)違約，則歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為

G(V(t),t)=F(V(t),t)+Ke-r(T-t)-

{V(t)e-(q+γ)(T-t)N(d1)-

Pe-r(T-t)N(d2) -A}

在Black-Cox模型下，違約邊界是外生的，下面給出在內(nèi)生違約邊界條件下歐式期權(quán)的定價(jià)公式.

定理3 如果公司資產(chǎn)價(jià)值服從Leland和Toft[24]模型，公司股東當(dāng)公司資產(chǎn)價(jià)值下降到內(nèi)生違約邊界以下時(shí)違約，則歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為F(V(t),t)=V(t)e-q(T-t)N(d1)-(D+K)e-r(T-t)N(d2)-

其中

若令D→0+，定理3中的公式就退化為Black-Scholes公式.則定理3中的在Leland-Toft模型下，歐式看跌期權(quán)的價(jià)格與定理2′中很相似，推導(dǎo)過程和各種參數(shù)的影響也基本相同.不再給出其具體表達(dá)式.

定理1到定理3分別給出了在不同的公司資產(chǎn)模型和違約條件假設(shè)下歐式期權(quán)的定價(jià)公式，模型條件的假設(shè)不同，歐式期權(quán)的定價(jià)公式也不相同.然而，在所有模型的假設(shè)下，公司債務(wù)和違約邊界都出現(xiàn)在期權(quán)定價(jià)公式中.這是與傳統(tǒng)的Black-Scholes-Merton歐式期權(quán)定價(jià)模型顯著不同的一個(gè)特征.公司的資本結(jié)構(gòu)、債務(wù)違約邊界會(huì)影響歐式看漲期權(quán)的價(jià)格.

3 資本結(jié)構(gòu)與期權(quán)價(jià)格

在文獻(xiàn)18的定理1到定理3中，公司債務(wù)水平是影響期權(quán)價(jià)格的一個(gè)因素.記公司杠桿率為L(zhǎng)=D/(S+B)，分析公司資本結(jié)構(gòu)和違約邊界對(duì)公司股票期權(quán)價(jià)格的影響.S+B為公司的初始資本，不妨假設(shè)S+B為常數(shù)，杠桿率由負(fù)債水平D決定.

性質(zhì)1 如果公司資產(chǎn)價(jià)值服從Merton[21]模型，則歐式看漲期權(quán)的價(jià)格隨杠桿率的上升而下降.

所以，看漲期權(quán)的價(jià)格隨杠桿率的上升而下降.

由于在Merton模型下公司只會(huì)在債券到期日違約，公司負(fù)債D對(duì)看漲和看跌期權(quán)價(jià)格的影響恰好相反.

性質(zhì)2 在Black 和 Cox[22]模型設(shè)定下，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格隨杠桿率的上升而下降，隨外生違約邊界的上升而下降.

分析說明：由式(7)知，期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格為

1{V(t)>VB(t),?t∈[0,T]}]

即杠桿率上升導(dǎo)致看漲期權(quán)價(jià)格下降.債券合約中安全條款對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響通過示性函數(shù)1{V(t)>VB(t),?t∈[0,T]}表現(xiàn)出來.如果債權(quán)人要求更多的保護(hù)，他們就會(huì)通過提高C或者降低γ來提高違約邊界的門檻VB(t)=Ce-γ(T-t)，此時(shí)示性函數(shù)1{V(t)>VB(t),?t∈[0,T]}會(huì)變小，從而看漲期權(quán)價(jià)格會(huì)下降.

在Black-Cox模型設(shè)定下，杠桿率上升使看跌期權(quán)的價(jià)格上升.分析如下：類似看漲期權(quán)，有風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式得看跌期權(quán)的價(jià)格可表示為

1{V(t)>VB(t),?t∈[0,T]})+]

由此可見，負(fù)債D的上升使得看跌期權(quán)的價(jià)格G(V(T)，T)上升.

性質(zhì)3 在Leland 和 Toft[24]模型設(shè)定下，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格隨杠桿率的上升而下降，并且下降幅度比在Black 和 Cox[22]模型設(shè)定下更大.

分析說明：由式(7)知，期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格為

1{V(t)>VB,?t∈[0,T]}]其中內(nèi)生違約邊界VB由式(8)給出，所以杠桿率的上升不僅影響行權(quán)收益[V(T)-(D+K)]+，而且影響違約邊界VB.注意到負(fù)債D的增加減少看漲期權(quán)的行權(quán)收益，并且提高違約邊界VB，即D的上升使得[V(T)-(D+K)]+和1{V(t)>VB,?t∈[0,T]}同時(shí)下降.與只影響行權(quán)收益的Black-Cox外生違約邊界模型相比，在Leland-Toft內(nèi)生違約邊界模型中，杠桿率上升使得看漲期權(quán)價(jià)格下降的更多.

在Leland和Toft[24]模型設(shè)置下，杠桿率上升使看跌期權(quán)的價(jià)格上升且其上升幅度比在Black和Cox1976模型設(shè)定下更大.分析如下：類似看漲期權(quán)，由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式得看跌期權(quán)的價(jià)格可表示為

1{V(t)>VB,?t∈[0,T]}]+

由上式可見，債務(wù)D上升不僅使得(V(T)-D)+下降，而且通過使內(nèi)生違約邊界VB上升也使得示性函數(shù)1{V(t)>VB,?t∈[0,T]}減小，從而看跌期權(quán)的價(jià)格上升且上升幅度較Black和Cox[22]模型設(shè)定下更大.

4 數(shù)值模擬分析

1)數(shù)值比較杠桿率與期權(quán)價(jià)格關(guān)系

期權(quán)價(jià)格的影響因素有當(dāng)前公司資產(chǎn)價(jià)值V(0)、市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率r、公司資產(chǎn)波動(dòng)率σ、期權(quán)敲定價(jià)格K、期權(quán)到期期限等.模型中的參數(shù)，例如利率r，波動(dòng)率σ和敲定價(jià)格K等對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響與標(biāo)準(zhǔn)的Black 和 Scholes[1]模型中相似，但是，BSM的期權(quán)定價(jià)公式與公司資本結(jié)構(gòu)無關(guān)，而本文的模型中，公司資本結(jié)構(gòu)是影響期權(quán)價(jià)格的一個(gè)因素.

下面在Black 和 Cox[22]模型和Leland和Toft[24]模型下分別數(shù)值計(jì)算期權(quán)價(jià)格，關(guān)注的是公司杠桿率L對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響.由于L=D/(S+B)=D/V(0)，從而D=V(0)L.將定理2，定理2′和定理3中的負(fù)債D用初始資產(chǎn)價(jià)值V(0)與杠桿率L的乘積替換，可將杠桿率L直接反應(yīng)到期權(quán)價(jià)格的公式中.

給定一組參數(shù)，令r=0.05，γ=0.03，q=0.04，T=0.5，t=0，V(0)=50，K=30，C=1.σ=0.3.在這組參數(shù)下，對(duì)杠桿率L取不同的值，計(jì)算出期權(quán)價(jià)格，列于表1中.表2的數(shù)據(jù)由表1中數(shù)據(jù)計(jì)算而來，表示不同杠桿率下期權(quán)價(jià)格的差.例如，“0.5到0.8”欄下的1.880 6表示杠桿率從0.5變化到0.8后，在Black 和 Cox[22]模型下的期權(quán)價(jià)格變化之差為1.880 6.

表1 不同財(cái)務(wù)杠桿下的期權(quán)價(jià)格

由表1中的數(shù)據(jù)可以看出，在Black-Cox模型下，看漲期權(quán)的價(jià)格隨杠桿率的上升而下降，看跌期權(quán)的價(jià)格隨杠桿率的上升而上升，這與性質(zhì)2中的分析相一致.由表1和表2中的數(shù)據(jù)可以看出，在Leland-Toft模型下，看漲期權(quán)的價(jià)格隨杠桿率的上升而下降，并且下降速度快于在Black-Cox模型下的下降速度，這與性質(zhì)3中的分析相一致.

表2 看漲期權(quán)價(jià)格變化比較

表1和表2清楚地顯示，期權(quán)價(jià)格與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān).而BSM期權(quán)價(jià)格與公司資本結(jié)構(gòu)無關(guān).這是BSM模型與本文的期權(quán)定價(jià)公式的顯著差異.

2)與BSM模型的數(shù)值比較

為了比較BSM模型與本文的期權(quán)定價(jià)公司的異同，首先需要給出在模型假設(shè)下，按照BSM模型計(jì)算歐式股票期權(quán)的定價(jià)公式.而在本文模型框架下計(jì)算BSM模型下的期權(quán)公式，僅僅需要確定的輸入?yún)?shù)是在當(dāng)前(0時(shí)刻)股票的波動(dòng)率.下面給出股票的波動(dòng)率計(jì)算方法.

Merton[21]和Black和Cox[22]以及Leland和Toft[24]中都有股票S(V,t)的公式，從而可以求出不同模型下的σS.在Merton[21]模型下，股票波動(dòng)率表達(dá)式為

σS=σ(1+D/S).

在Black和Cox[22]模型下，股票波動(dòng)率的形式就復(fù)雜很多，為了節(jié)省篇幅，不再給出具體形式.

下面在Merton[21]和Black和Cox[22]模型下比較本文的期權(quán)定價(jià)公式所給價(jià)格與BSM模型所給期權(quán)價(jià)格的差異，分別在實(shí)值期權(quán)、虛值期權(quán)、平價(jià)期權(quán)情況下進(jìn)行比較.相對(duì)復(fù)雜的Leland和Toft[24]模型下的比較結(jié)論相同，就不在這里給出了.

取模型參數(shù)為r=0.05,T=1,t=0,q=0,γ=0.1,σ=0.3,D=20,V0=50.首先計(jì)算Merton[21]模型下的期權(quán)價(jià)格與BSM期權(quán)價(jià)格，結(jié)果列于表3.由于Black和Cox[22]模型中需要選擇違約邊界，分別對(duì)違約邊界C=15、C=30和C=45計(jì)算Black 和 Cox[22]模型下的期權(quán)價(jià)格與BSM期權(quán)價(jià)格，結(jié)果列于表4.由于參數(shù)D=20,V0=50，C=15對(duì)應(yīng)于違約邊界小于初始資產(chǎn)價(jià)值與債務(wù)面值之差，C=30對(duì)應(yīng)于違約邊界等于初始資產(chǎn)價(jià)值與債務(wù)面值之差，C=45對(duì)應(yīng)于違約邊界大于初始資產(chǎn)價(jià)值與債務(wù)面值之差.

表3 Merton模型下的期權(quán)價(jià)格與BSM價(jià)格

從表3中的數(shù)據(jù)可以看出，在Merton[21]模型設(shè)定下，本文的期權(quán)價(jià)格與BSM公式所給期權(quán)價(jià)格差異不大.這是因?yàn)镸erton[21]假設(shè)債券只能在到期日違約，而從概率角度來說，一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的違約概率近似于零，因此造成了信用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)看漲期權(quán)的折價(jià)效應(yīng)很小.

從表4中的數(shù)據(jù)可以看出，在Black 和 Cox[22]模型設(shè)定下，本文的期權(quán)價(jià)格與BSM公式所給期權(quán)價(jià)格差異非常明顯.這是因?yàn)锽lack 和 Cox[22]假設(shè)債券在到期日前的任何時(shí)刻都可違約，這樣違約概率就比較大，因此造成了信用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)看漲期權(quán)的折價(jià)效很明顯.

從表4中的數(shù)據(jù)還可以看出信用風(fēng)險(xiǎn)的增大(C增大)對(duì)BSM公式所給期權(quán)價(jià)格無影響，這是因?yàn)锽SM公式正沒有考慮信用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)期權(quán)的影響.而本文的公式能夠體現(xiàn)這種影響.

表4 Black & Cox模型下的期權(quán)價(jià)格與BSM價(jià)格

5 結(jié)束語

當(dāng)已知公司財(cái)務(wù)信息時(shí)，能夠判斷公司債務(wù)違約風(fēng)險(xiǎn)，在此條件下，歐式期權(quán)定價(jià)公式與傳統(tǒng)的Black 和 Scholes[1]和Merton[2]模型顯著不同，公司財(cái)務(wù)杠桿大小和債券的違約邊界對(duì)期權(quán)價(jià)格有影響.在Merton[21]、Black 和 Cox[22]和Leland 和 Toft[24]模型下，公司杠桿率上升則看漲期權(quán)價(jià)格下降，但下降的程度隨模型的不同而有所不同.Leland 和 Toft內(nèi)生違約邊界模型下債務(wù)額增加對(duì)歐式看漲期權(quán)的折價(jià)作用最為明顯.公司財(cái)務(wù)杠桿大小和債券的違約邊界對(duì)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的影響與其對(duì)看漲期權(quán)價(jià)格的影響恰好相反.

如果投資者擁有詳細(xì)的關(guān)于公司資產(chǎn)價(jià)值信息，建議使用投資者本文的模型計(jì)算公式股票期權(quán)價(jià)格.如果投資者僅僅有公司股票價(jià)格相關(guān)信息，則BSM期權(quán)定價(jià)公式可能是合適的選擇.投資者在期權(quán)市場(chǎng)交易或者應(yīng)用期權(quán)做套期保值、風(fēng)險(xiǎn)管理時(shí)，必須充分利用掌握的信息條件.如果投資者掌握有充分的公司資產(chǎn)與債務(wù)信息，建議投資者充分考慮公司股東債務(wù)違約風(fēng)險(xiǎn)的潛在影響.

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數(shù)學(xué)附錄

?定理1的證明

證明 由式(2)和式(4)可見，在Merton[21]假設(shè)下，期權(quán)價(jià)格與BSM模型的差異在于敲定價(jià)格變?yōu)镵+D.當(dāng)然，標(biāo)的是公司價(jià)值V，而BSM模型的標(biāo)的是公司股票S.

?定理2的證明

證明 由式(7)可見，F(xiàn)(V(t)，t)被轉(zhuǎn)化為了一個(gè)以V(t)為標(biāo)的物的下降敲出移動(dòng)關(guān)卡看漲期權(quán)，敲定價(jià)為D+K.將該問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的偏微分方程得

其中D={(V(t),t)|VB(t)≤V(t)<∞, 0≤t≤T}.注意到移動(dòng)關(guān)卡(障礙)函數(shù)VB(t)=Ceγt是時(shí)間t的指數(shù)函數(shù)，從而有上面的偏微分方程有解析解

F(V(t),t)=V(t)e-(q+γ)(T-t)N(d1)-(D+K)e-r(T-t)N(d2)-

其中

求解偏微分方程的過程比較復(fù)雜，不在文中給出，感興趣的讀者可以參看姜禮尚[29]中pp.263-265的內(nèi)容.

?定理2’的證明

證明 利用看漲看跌平價(jià)關(guān)系得

[S(V(T),T)-K]+=[K-S(V(T),T)]++S(V(T),T)-K

將上式兩邊貼現(xiàn)到t時(shí)刻，然后在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下取條件期望得

上式左端為看漲期權(quán)價(jià)格(用call表示)，右端第一項(xiàng)為看跌期權(quán)的價(jià)格(用put表示).從而得

?定理3的證明

證明 只需用式(8)所給出的內(nèi)生違約邊界代替定理2中的外生違約邊界即可.具體來說就是在定理2的證明中令γ=0,C=式(8)即可.

Option pricing given corporate financial information

WANGAn-xing1,2,DUKun1

1. School of Finance, Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai 200433, China; 2. Shanghai Key Laboratory of Financial Information Technology， Shanghai 200433, China

This paper analyzes the European option pricing given corporate financial information. The pricing formula for European option were given under Merton(1974)、Black & Cox(1976) and Leland & Toft (1996) models. We find that a company’s capital structure has significant effects on European option prices.

option pricing; capital structure; credit risk; bankrupt boundary

2013-12-04；

2014-03-25.

教育部科技創(chuàng)新工程重大項(xiàng)目培育資金資助項(xiàng)目 (708040)； 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)“211工程”三期重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目； 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目 (CXJJ-2011-395)； 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(CXJJ-2011-395； CXJJ-2012-385).

王安興(1963—), 男， 湖北襄樊人， 博士， 副教授. Email: awang@mail.shufe.edu.cn

F830.91

A

1007-9807(2016)01-0117-10