耿志祥， 費為銀

(1. 北京大學經濟學院， 北京 100871； 2. 安徽工程大學金融工程系， 蕪湖 241000)

金融資產風險度量及其在風險投資中的應用
——基于穩(wěn)定分布的新視角

耿志祥1， 費為銀2

(1. 北京大學經濟學院， 北京 100871； 2. 安徽工程大學金融工程系， 蕪湖 241000)

引入穩(wěn)定分布對滬深兩市指數數據進行檢驗，結果表明兩指數具有“尖峰厚尾”的分形特征，在此基礎上建立了DaR類風險測度，實證研究表明兩指數跌幅時間序列存在協(xié)同跌幅共線性效應.其次，給出了蒙特卡洛穩(wěn)定分布和正態(tài)分布模擬下的兩類風險測度估計值，建立了離差率模型，結果表明穩(wěn)定分布下的風險度量適合投資者進行風險管理.最后，研究了不同跟蹤時間窗口下的風險測度指標MDD.投資者和風險管理人員不僅要關注VaR類風險，更要警惕DaR類風險指標.

穩(wěn)定分布； VaR類和DaR類風險測度；離差率模型； 蒙特卡洛模擬； 風險投資

0 引 言

金融市場中充斥著大量的風險，隨著金融市場全球化趨勢加強和衍生品市場的飛速發(fā)展，金融市場呈現出前所未有的波動性，再加上不斷的金融創(chuàng)新，金融機構和投資者面臨日趨增多且復雜的金融風險，市場中由于風險管理不善造成的損失或公司倒閉的例子不勝枚舉.如2007年由美國次貸危機引發(fā)美國投資銀行的崩潰就是風險管理不到位的結果，先后造成了華爾街的五大投行相繼破產，最終釀成了全球性的金融危機.因此，對于金融機構、投資者、風險監(jiān)管機構乃至政府而言，加強對風險的測度和預防管理刻不容緩.

金融資產的風險測度是金融市場風險管理的基礎與核心，一直倍受風險研究人員和投資管理人士的關注，他們都在為尋找合適的度量風險工具而不懈努力.早在20世紀50年代，Markowitz[1]就提出了均值-方差模型，用收益率的方差來描述證券投資風險.由于方差具有良好的統(tǒng)計性質，且度量風險簡便易行，因此在投資管理中得到了廣泛應用.但隨著實證研究的深入，不少學者發(fā)現收益率并不服從正態(tài)分布，而是存在“尖峰厚尾”的分形特征，一般還帶有一定的偏度和位置參數的變化.Ararwal等[2]就認為均值-方差模型低估了尾部風險.1994年，J. P. Morgan在風險度量中引入了VaR(value at risk，風險價值)，得到了學術界和實務界的廣泛認可，美國的眾多評級公司和證券交易委員會都宣布和支持VaR作為風險測度和管理風險的主要方法，巴塞爾銀行監(jiān)管委員會和美國聯(lián)邦儲備銀行委員會也認可把VaR作為可接受的金融風險度量方法之一.但隨著研究的深入，VaR卻受到了眾多人士的批評，因為它不滿足一致相容性風險度量條件，不能度量尾部風險，更談不上度量極端事件發(fā)生的風險.Artzner等[3]引入了CVaR(conditional value at risk，條件風險價值)作為風險度量工具，能夠彌補VaR以上缺點，它滿足一致相容性風險度量條件，能夠度量尾部發(fā)生的風險.Rockafellar 和 Uryasevb[4]認為CVaR比VaR更好地度量金融市場風險，CVaR滿足次可數可加性，能夠度量超過VaR部分的風險，能夠通過線性規(guī)劃解決大規(guī)模的資產組合優(yōu)化的有效邊界問題.但當投資組合損失的密度函數不是連續(xù)函數時，CVaR也不再是一致性風險度量模型.在此基礎上，Tasche[5]提出了ES(expected shortfall，期望損失)模型，ES模型是對CVaR模型的改進，是一致性風險度量，當損失密度函數連續(xù)時，ES模型的結果與CVaR模型得到的結果相同.當損失分布不連續(xù)時，兩者計算的結果有一定的差異.ES模型對損失的分布沒有特殊的要求，分布函數不論在連續(xù)還是不連續(xù)時，它都能滿足一致性風險度量條件.因此，它在度量極端風險模型中得到了廣泛的應用.

上面的VaR、CVaR和ES可統(tǒng)稱為VaR類風險度量模型.對于投資人員來說，在風險管理中不僅要關注VaR類風險指標，還要注意到投資過程中的風險變化，如證券投資中一次較大的跌幅可能會使投資者的投資策略發(fā)生改變.最近，流行于歐美市場的一種新的風險測度方法—MDD(maximum drawdown, 最大跌幅)、AvDD(average drawdown，平均跌幅)、DaR(drawdown at risk，風險跌幅)和CDaR(conditional drawdown at risk，條件風險跌幅)受到了實務人員的追捧*Harmantzis等[6]對DaR類風險度量給出了具體的數學表達式和意義說明，后面DaR類風險度量模型部分會介紹..私人投資者、機構投資者、基金經理、共同基金和對沖基金管理者都開始關注此指標，它們可作為VaR類風險度量的補充，統(tǒng)稱為DaR類風險模型.MDD是最大跌幅，它由Acar 和 James[7]首次提出，它是指在某一段時間內，某項資產或資產組合價格從最高點跌到最低點的幅度，通常用百分比表示.Magdon等[8-9]對MDD作了詳盡的描述并研究了布朗運動下的MDD. Pospisil等[10]首先在Black-Scholes公式的框架下推導了MDD下的價格擴散方程，通過求解偏微分方程數值解得到了MDD的期望值.Jan Vecer在其工作論文中認為資產組合投資經理可以把MDD當作對沖工具來阻止資產組合投資損失*具體可參見哥倫比亞大學統(tǒng)計系Jan Vecer (2007)的工作論文‘Preventing Portfolio Losses by Hedging Maximum Drawdown’..在國外市場中，資產經理、機構投資者、私人投資者、共同基金和對沖基金越來越關注MDD，這項指標可作為投資的參考指標.例如，假設有兩種基金A和B，每種基金賬戶的開始額度都是1 000萬元人民幣，在某一個結算日，A基金已達到2 000萬元，這時候收益率為100%.另外一個基金B(yǎng)，開始賬戶也是1 000萬元人民幣，與A基金的結算日期相同，最后基金也達到2 000萬元.但從開始到最后結算這一時間段內，B基金由1 000萬元變動3 000萬元，然后又跌到1 500萬元，最后漲到2 000萬元，雖然收益率也是100%,但中間經歷了一次較大的跌幅，跌幅達到50%，這對基金管理人員是不得不考慮的風險.因為對于基金經理來說，維護現有客戶和開發(fā)新的客戶是基金能夠維持和不斷成長的關鍵所在，尤其對于一個正在上揚的市場或牛市，B基金的跌幅可能引發(fā)一部分客戶撤離該基金，轉投A基金或其它投資.因此，對于基金經理來說，該風險應納入到日常的風險管理中*在歐美市場，基金經理有時將MDD作為約束條件來進行組合投資優(yōu)化和風險管理..在我國的香港市場，已經有一些實務人員關注MDD，而內地關注度較少，對MDD研究在學術界還沒有完全展開.DaR表示處在風險中的跌幅，簡稱為風險跌幅.CDaR表示條件風險跌幅.Chekhlov等[11]首次引入了DaR和CDaR風險度量方法進行資產組合投資管理.DaR定義如同VaR，而CDaR則與CVaR和ES相類似，它也滿足一致性風險度量條件.Chekhlov等[12]用風險度量指標DD(Drawdown，跌幅)和MDD對資產投資進行組合優(yōu)化，研究了帶有跌幅約束下的最優(yōu)資產組合最優(yōu)化模型.Burghardt等[13]研究了DD的分布，并討論了跟蹤時間長度、收益率均值和收益率的波動率對DD分布的影響.Johansen等[14]運用擴展的指數分布對不同國家指數、商品和貨幣建立了跌幅的嚴重程度影響模型.Melo等[15]建議用EVT(extreme value theory，極值理論)來分析MDD影響的嚴重性和持久性，并給出了GARCH波動率與MDD之間的變化關系.

以上學者對風險度量的研究都有一個共同的特點，那就是對金融資產的風險度量通常先假設收益率的分布，如均值-方差模型假設收益率服從正態(tài)分布，從微觀到現在的宏觀風險測度通常都假設資產價格運動服從正態(tài)分布⑤宮曉琳[16]在其《未定權益方法與中國宏觀金融風險的測度》中假設資產價值的波動遵循幾何布朗運動，在求解財務危機發(fā)生概率中假設資產服從標準正態(tài)分布以及引用的Black-Scholes-Merton期權定價理論也是假設資產收益率服從正態(tài)分布得到低等索取權波動率與資產波動率之間的關系式..但正態(tài)分布不能描述資產的“尖峰厚尾”現象和分布不對稱特征.Mandelbrot[17-18]認為股票收益率可以用特征指數小于2的穩(wěn)定-列維或穩(wěn)定-帕累托分布描述收益率的“尖峰厚尾”現象.由于穩(wěn)定分布沒有顯示表達式，只能通過特征函數的形式表示，且求解也較為復雜，國內有些學者主要運用穩(wěn)定分布研究一些指數是否符合該分布，如上證綜指和深圳成指等.徐龍炳[19]用Nolan教授提供的穩(wěn)定分布軟件對1993年-2000年滬深兩市的股票收益率進行了擬合，得到了穩(wěn)定分布的參數估計值.黃登仕[20]在金融市場的標度理論中對有關Lévy穩(wěn)定分布的一些進展進行了評述.郭亞軍等[21]引入穩(wěn)定分布對群組評價方法的研究中得到了群體M的群體偏好在適當長期內具有穩(wěn)定分布特征，而國內學者對穩(wěn)定分布應用到投資管理過程中的風險度量非常之少.耿志祥等[22]對上證綜指用各種參數分布和非參數分布擬合，建立相關指標結果表明在1%和5%的置信度水平下，穩(wěn)定分布更適合度量風險，在此基礎上建立了DaR類風險度量.本文將選取滬深兩市指數日數據對此進行更深入研究.

本文的主要貢獻有三個方面.首先，對上證綜指和深圳成指運用穩(wěn)定分布擬合其收益率分布，得到了不同指數的穩(wěn)定分布參數估計值，對擬合效果進行了擬合效果檢驗，結果表明穩(wěn)定分布能夠很好的擬合收益率分布.其次，在不同置信度水平下進行VaR類風險和DaR類風險測度研究，得到了上證綜指和深圳成指跌幅趨勢圖，給出了收益率和跌幅相關性分析，這為研究其他金融資產風險度量提供了一種可行方案.最后，通過蒙特卡洛穩(wěn)定分布和正態(tài)分布模擬VaR類和DaR類風險測度，建立了離差率模型，結果表明在風險投資中穩(wěn)定分布可用于風險管理.對于不同期限的投資，作者研究了不同跟蹤時間窗口下的MDD，這也是長短期投資者在投資風險過程管理中更感興趣的指標，投資者和風險管理人員在投資和風險管理過程中應警惕MDD風險.運用穩(wěn)定分布這一厚尾分布去管理投資風險可起到控制風險作用.投資者可利用穩(wěn)定分布對其投資進行風險測度和風險管理.

1 穩(wěn)定分布、VaR類和DaR類風險測度

1.1 穩(wěn)定分布

穩(wěn)定分布又被稱為阿爾法-穩(wěn)定分布(Alpha-stable distribution)或分形分布(Mandelbrot[17-18])，該分布的性質最早由Lévy推導出來的，而他的工作是建立在Pareto研究有關收入分布的基礎上，所以也稱之為穩(wěn)定帕累托分布.Pareto研究發(fā)現，占個人收入為97%的收入分布近似為對數正態(tài)分布，而對于其余3%的分布卻產生異常現象，有較厚的尾部.Mandelbrot首次提出股票收益率服從穩(wěn)定分布，其分布在均值處有尖峰，有較厚的尾部，此分布由非線性隨機過程產生一種具有自相似性和長期記憶的特征.穩(wěn)定分布有若干種參數化的形式⑥可參考Nolan[23] 給出的Alpha-stable分布(簡稱為穩(wěn)定分布)的幾種定義、3種參數化形式和一些性質，Nolan教授提供的穩(wěn)定分布軟件可以計算出四個參數估計值和每個估計值的置信區(qū)間，穩(wěn)定分布軟件可在其主頁鏈接的頁面上下載，有具體的使用說明..這里使用常用于計算與分析的0-參數化特征函數定義，在此參數化下的參數都有直觀的意義.大多數穩(wěn)定分布都沒有顯示表達式，只能通過特征函數的形式表示.隨機變量X被稱為穩(wěn)定分布當且僅當它的特征函數由下式表示

(1)

其中0<α≤2,-1≤β≤1.sign(t)是如下的符號函數

(2)

當γ=1,δ=0時，X～S(α,β,1,0;0)被稱之為服從標準穩(wěn)定分布，這時可簡寫為X～S(α,β; 0).

從以上的定義中可知，穩(wěn)定分布有四個參數α,β,γ,δ. 其中α是特征指數，0<α≤2，它是穩(wěn)定分布最重要的參數，用來刻畫尖峰厚尾的程度，α越小，分布的峰部越尖，尾部越厚.α=2時，變?yōu)檎龖B(tài)分布；β是偏度參數，-1≤β≤1， 它反映了分布的峰值偏離位置參數的方向.β=0時，分布是對稱的；β>0時，分布向右偏；β<0時，分布向左偏.β和α共同決定了穩(wěn)定分布的形狀；γ是尺度參數.γ≥0，也可理解為分散程度系數，它描述了概率分布的分散程度.γ越小，分布在對稱中心附近集中程度越高；δ是位置參數.-∞<δ<+∞，它表示分布中心對x軸中心的位置，δ>0表示分布偏向x軸的正半軸，δ<0表示分布偏向于x軸的負半軸.

大多數穩(wěn)定分布的密度函數沒有顯式，有三種特殊的穩(wěn)定分布可以寫出其密度函數，它們分別是正態(tài)分布、柯西分布和列維分布.

1)正態(tài)分布或高斯分布.X～N(μ,σ2)，其密度函數形式如下

-∞

(3)

根據文獻[23]，可以計算出正態(tài)分布的參數為α=2,β=0.

2)柯西分布.X～Cauchy(γ,δ)，其密度函數形式如下

-∞

(4)

在物理學中，此分布也被稱作為Lorentz分布.同樣可以計算它的參數為α=1,β=0.

3)列維分布.X～Le′vy(γ,δ)，其密度函數形式如下

δ

(5)

1.2 VaR類風險測度

VaR類風險測度包括不同置信度水平下的VaR和CVaR測度.VaR表示處在風險中的價值，簡稱風險價值.它表示在正常的市場條件下和一定的置信度水平下，某資產或投資組合預期可能遭受的最大損失.給定隨機變量X，其置信度水平為α下的VaR定義如下

VaRα(X)=-qα(X)=-inf{x∶P[X≤x]≥α}

(6)

由于VaR不滿足一致性風險度量條件，且不能度量尾部風險和極端事件的發(fā)生.CVaR可以克服以上缺點，其定義由下式給出

CVaRα(X)=-E[X≤qα(x)]

(7)

這里X是連續(xù)性隨機變量，其定義和性質可參看文獻[3].CVaR考慮了超過VaR值損失的測度，有效地改善了VaR處理后尾部分損失的問題，它滿足一致性風險度量條件.但當X不是連續(xù)性隨機變量時，CVaR不滿足一致性風險度量條件，需要對其改進.ES模型正是對CVaR的改進，具體定義和性質可參考Tasche[5].當X是連續(xù)性隨機變量時，ES和CVaR計算值相同；當X不是連續(xù)性隨機變量時，兩者計算值有一定的差異*不少專家和學者認為ES和CVaR是同一個度量的兩種表示，但在資產價格不連續(xù)時，兩者計算有一定的差異，且在不連續(xù)時，ES是對CVaR的修正，是一致性風險度量，而CVaR則不滿足..

1.3 DaR類風險測度

在討論DaR和CDaR之前，先給出跌幅的數學表達式.

(8)

DD(t)代表資產在時間t之前的峰值到目前t時刻的跌幅或損失，其中X(t)是直到t時刻的累積收益率.此時MDD就可以定義為如下表達式.

(9)

圖1展示了DD(t)和MDD(T)的度量，DD(t)是資產價格到T時刻的跌幅，MDD(T)則是時間[0,T]上的最大跌幅.

圖1 跌幅與最大跌幅

(10)

其中α是置信度水平，CDaR表示超過DaR下(1-α)*100%的損失的期望*在實證研究部分將取置信度水平為95%和99%..AvDD的表達式如下

(11)

它表示[0,T]內的平均損失或跌幅，它可以看作是置信度水平為0時的CDaR值*平均跌幅在實務中運用較少，一般關注MDD較多，MDD與DaR和CDaR經常被用于最優(yōu)投資組合策略分析和風險約束指標..MDD是置信度水平為1時的CDaR值.因此，MDD和AvDD正好是CDaR的兩種端點值.

2 實證研究與結果分析

2.1 數據來源和穩(wěn)定分布檢驗分析

本文選取2000年1月4日至2012年6月29日的上證綜指和深圳成指的每日收盤價為原始數據，每種指數都有3 018個收盤價數據，數據來源于財匯金融分析平臺.它們的收益率取對數收益率，即rt=ln(pt)-ln(pt-1)，pt是第t天的收盤價，pt-1是前一天的收盤價.為了敘述方便，以下將對數收益率簡稱為收益率*對數收益率有一些良好的性質，計算累積收益率時，各對數的直接相加化簡后是某個區(qū)間上的收益率，在收益率數值r很小時，近似有l(wèi)n(1+r)=r.本部分使用的軟件是STABLE (John. P. Nolan提供)、Matlab和Eviews 6.0..兩種指數樣本收益率的基本統(tǒng)計特征見表1.

表1 收益率樣本的基本統(tǒng)計特

表1中兩指數都有較高的峰度，異于正態(tài)分布峰度值3，且上證綜指比深圳成指有稍高的峰度，也就是有較厚的尾部，且都有較小的負偏性，深圳成指負偏程度較大.深圳成指的標準差大于上證綜指，這表明其波動性較強，因為標準差既含有負的波動，也含有正的波動，所以很難從標準差的角度分析兩指數的風險性.從J-B統(tǒng)計量來看，兩者都拒絕正態(tài)分布，都有“尖峰厚尾”特征.進一步可通過Kolmogorov-Smirnov檢驗，結果都拒絕正態(tài)分布假設.為了更好地刻畫收益率的分布，不僅要考慮它的對稱性和分散度，還要考慮其“尖峰厚尾”性.因此，用前面介紹的穩(wěn)定分布來擬合收益率分布*利用STABLE軟件中第1個選項：極大似然估計法來計算收益率的各參數估計值..

表2 收益率的穩(wěn)定分布參數估計結果

表2中上證綜指的特征指數(1.482 7)小于深圳成指的特征指數(1.536 1)，即上證綜指比深圳成指有較尖的峰部和較厚的尾部，兩種指數分布都異于正態(tài)分布特征指數2，顯示兩市場的分形特征，這與有效市場假設(EMH)矛盾，實際市場呈現分形市場(FMH)特征，這與Mandelbrot研究大多數金融時間序列呈現分形特征相吻合.曹宏鐸[24]研究證券市場復雜行為分形標度與機會決策研究時，以中國深市為研究對象，研究發(fā)現中國證券市場存在相關性，表現為分形時間序列，其行為不符合布朗(BM)運動，而是分形布朗運動(FBM)，并在心理學框架下運用時變Hurst指數揭示了市場的易變行為、均值回復和長期相關性.不同時間尺度上的價格變動存在某種統(tǒng)計上的自相似性，收益率之間并非獨立，而是存在非線性相關.上證綜指的α值越小表示其收益率分布的尾部越厚，收益的狀態(tài)持續(xù)性越強，在預測大盤趨勢時信息顯得更重要.與之相反，深圳成指特征指數α較大，股票的日收益之間的獨立性較前者更大，收益長期記憶特性越小，股票價格波動隨機性較大，從而預測難度加大.從偏度角度出發(fā)，可知兩指數偏度都小于0，顯示負偏狀態(tài)，這說明兩指數正負變化較頻繁，穩(wěn)定性較差，風險較大.上證綜指的負偏程度較大也說明了信息是以非線性的方式傳遞，人們接受信息的過程需要時間差，以非線性的方式作出反應，市場價格不能完全反映所得的信息，投資方式顯示非理性，這可以用正反饋交易策略效應來解釋.市場波動受投資者情緒的影響，使得股票價格運動并非像有效市場假設的隨機游動，而是呈現出有偏的隨機游動.李紅權等[25-26]采用非線性動力學分析股市波動的本質特征與形成機制，結果表明股票市場存在低維混沌現象，具有內生的不穩(wěn)定性.他們得到的結論是實際的金融時間序列服從一個有偏的隨機游走過程.以上的擬合結果也驗證了這一結論.兩市場指數收益率具有顯著的分形特征與長記憶效應，其價格過程表現為非線性動力學價格行為.

通過兩指數收益率的正態(tài)分布和穩(wěn)定分布的P-P圖，可以看出穩(wěn)定分布擬合的效果較佳*Q-Q圖有時在尾部不穩(wěn)定，P-P圖檢驗比Q-Q圖檢驗更加穩(wěn)定..圖2、3、4和5中可以看出兩指數穩(wěn)定分布擬合的直線與y=x最接近，近似共線性.而正態(tài)分布擬合效果較差.

圖2 上證綜指穩(wěn)定分布P-P圖

Fig. 2P-PplotofAlpha-stabledistributionforShanghaicompositeindex

圖3 上證綜指正態(tài)分布P-P圖

圖4 深圳成指穩(wěn)定分布P-P圖

圖5 深圳成指正態(tài)分布P-P圖

2.2 VaR類和DaR類風險測度結果與分析

上證綜指和深圳成指收益率分布的確定為其風險測度奠定了基礎.兩指數各有3 018個收盤價數據，轉化為對數收益率后有3 017個，利用式(8)可以求出兩指數的跌幅時間序列，將兩跌幅序列畫在同一個坐標系中有如下圖6.

圖6 上證綜指和深圳成指跌幅(DD(t))趨勢圖

圖6中可以看出兩指數的跌幅趨勢圖基本一致，上升和下降的過程基本上保持一致，且大約在1 600到1 800之間跌幅基本在0附近，這期間最穩(wěn)定.隨后經歷一個大幅攀升過程，跌幅不斷增大，兩市風險達到前所未有的風險狀態(tài).經過計算，風險的開始日期都為2007年10月17日，最后兩指數都在2008年11月4日達到最大跌幅*Matlab中較容易計算得到最大跌幅的天數，再返回具體日期..這段時間恰好是美國的次貸危機對中國股市逐漸影響到2008年金融危機爆發(fā)這段時間.結果造成上證綜指MDD為127.24%，深圳成指MDD為123.70%，隨后跌幅下降一定的幅度后呈現徘徊震蕩階段，從最大跌幅后可以從圖形上看出上證綜指的跌幅都超過深圳成指，趨勢仍然保持一致，兩種指數跌幅可近似為循環(huán)“N”強度減弱至穩(wěn)定型向前推進.

表3 跌幅DD(t)的基本統(tǒng)計特征

表3清晰地描述了滬深指數的跌幅性質，上證綜指的最大跌幅MDD為1.272 4，大于深圳成指最大跌幅*Harmantzis等[6]選取的8種指數中，除NASDAQ(MDD為1.511)和DAX(MDD為1.298)外，其它6種指數的MDD都小于上證綜指和深圳成指的MDD，其中包括香港恒生指數(HIS)MDD為0.918.由于選擇時間不同可能造成結果的差異，以后可選擇同樣時間窗口進行比較研究..通過兩指數標準差可知，上證綜指跌幅的波動性較強，跌幅風險較大，這與圖5中觀察到的結論一致.深圳成指的峰度為3.08，可近似認為跌幅服從正態(tài)分布，符合有效市場假設(EMH).上證綜指跌幅仍然不滿足EMH，DD(t)的分布有較薄的尾部和平坦的峰部，這也反映了上證綜指發(fā)生較大跌幅的概率較大，跌幅存在較長的時間，股市風險較高.這可能由于投資于上海市場的投資者投資情緒波動較大有關，他們對信息反應的異質性程度較高，可能不少投資者是噪音交易者，追漲殺跌的現象時有發(fā)生.而深圳市場由于離香港市場較近，而香港金融市場發(fā)展具有較長的歷史，成熟度較高，部分投資者可能在兩地之間投資或受香港投資者影響，表現的相對趨于理性.

從分析可知，兩指數跌幅既有高度相關性，也存在細微差異.從相關性的角度分析，通過計算得到兩指數收益率的相關性系數為0.938 8，跌幅的相關性系數為0.924 2.這表明兩指數有很強的協(xié)同收益和協(xié)同跌幅效應.

表4 上證綜指和深圳成指DD(t)統(tǒng)計量關系

注：A代表上證綜指跌幅；B代表深圳成指跌幅.

顯然，表4中上證綜指的跌幅個數有近66%大于深圳成指，這為投資滬深兩市的投資者提供了跌幅參考數據，也可以利用此方法比較其它不同市場之間的跌幅統(tǒng)計關系，從而作出有利的投資選擇.

在討論了兩指數跌幅的關系后，現在對兩指數進行風險測度，兩指數時間跨度仍為2000年1月4日至2012年6月29日，使用經驗數據(歷史數據)計算兩指數的各種風險測度值.

表5 基于經驗數據(歷史數據)的各種風險測度估計結果

注： 表中VaR類風險度量結果中的負號表示損失.第一行中的95和99代表置信度水平，如DaR95表示在給定的經驗數據下，處在

風險中的跌幅在置信度水平為95%下的最大跌幅不會超過1.166 7(對上證綜指而言)，以下類同.

從DaR類風險測度來看，表5中上證綜指跌幅類風險測度值都大于深圳成指，而VaR類值則相反.也就是說，從VaR類風險測度的角度而言，上證綜指的風險小于深圳成指；從DaR類風險測度的角度而言，上證綜指的跌幅風險大于深圳成指.這與表4中得到的結果一致，兩指數的VaR類和DaR類風險測度變化方向不一致，呈現相反的趨勢.上證綜指不穩(wěn)定性較高，而深圳成指發(fā)生虧損的極端事件的概率較高*兩指數的VaR類和DaR類風險測度變化方向相反，這與Harmantzis等[6]的部分結果一致，如CAC與HIS兩類風險測度的變化方向.而多數情況下兩類風險變化的方向是一致的，也就是說，一個指數的VaR類風險較大，則DaR類風險也較大，如DAX與CAC，NASDAQ與S&P等，詳見參考其計算結果..兩個市場投資者的結構差異以及異質程度可對此解釋，正如前面分析，香港市場對深圳市場的投資者影響多于上海市場而造成了市場反應程度一定的差異有關.上海市場受投資者情緒影響較大，深圳市場雖波動也較大，但相對趨于理性，從而造成了DaR類和VaR類風險的差異.投資者在投資過程中應學會理性對待自己的投資行為，金融監(jiān)管部門應重視機制的設計與完善，加強投資風險的教育和防范，查處市場的違規(guī)操作和內幕交易，降低市場非正常的波動，從而營造一個公平、透明和健康的市場氛圍.

為了進行跌幅的預測和風險管理，采取不同的分布去度量風險并與經驗值比較，從而找到合適的分布去度量和管理風險.利用表2中求出的兩指數收益率穩(wěn)定分布參數結果，采用蒙特卡洛穩(wěn)定分布模擬產生上證綜指和深圳成指收益率隨機變量，產生隨機點的個數為兩指數的收益率個數，即3 017個.產生隨機變量的方法見Chambers等[27]，模擬次數為10 000次，再經過計算可以得到穩(wěn)定分布下的各種風險測度結果.

同樣，采用蒙特卡洛正態(tài)分布模擬產生上證綜指和深圳成指收益率隨機變量，這時兩指數的均值和標準差采用表2中的位置參數和尺度參數估計值，特征指數為2，模擬次數同樣是10 000次，各種風險測度結果見表7.

表6 蒙特卡洛穩(wěn)定分布模擬下的各種風險測度估計結果

表7 蒙特卡洛正態(tài)分布模擬下的各種風險測度估計結果

表6和表7中的風險測度結果是經過蒙特卡洛模擬10 000次，經過計算再取平均值的結果.

2.3 離差率模型

由以上離差率表達式，可以得到穩(wěn)定分布和正態(tài)分布下的各種風險測度離差率，見表8和表9.

表8 蒙特卡洛穩(wěn)定分布模擬下的風險測度估計結果離差率

表9 蒙特卡洛正態(tài)分布模擬下的風險測度估計結果離差率

從表8中可知，穩(wěn)定分布下的風險測度都是正值，這表明穩(wěn)定分布收益率模型總是高估了風險.而表9中正態(tài)分布下的風險測度結果都為負值，這表明正態(tài)分布假設低估了風險，且低估的程度較大，其離差率的絕對值都大于20%.對于上證綜指，DaR類風險度量的低估程度超過了50%，最高的AvDD達到了76.51%，而VaR類風險度量低估程度都超過了40%(VaR95除外).與上證綜指風險度量程度相比，深圳成指的低估程度較輕，但多數都超過了30%，最高ES99達到了46.64%.顯然，對于投資者而言，利用正態(tài)分布管理風險嚴重低估了尾部風險，難以達到風險管理的目的.

穩(wěn)定分布高估了風險，但程度較輕，穩(wěn)定分布下大多數離差率的絕對值小于正態(tài)分布相對應的離差率絕對值.上證綜指的高估程度要比深圳成指的程度要輕，上證綜指的VaR99、ES95和ES99較大，最高ES99達到73.07%，這說明兩指數極端事件發(fā)生的概率較大，有較厚的尾部.深圳成指的DaR類風險度量值都大于上證綜指(AvDD除外).從VaR95值來看，兩指數在穩(wěn)定分布下的風險度量值與經驗度量值最為接近，離差率僅為1.5%和0.35%，這對于利用穩(wěn)定分布進行VaR95管理風險最為適合，是較為穩(wěn)健的風險測度，金融資產發(fā)生極端事件的風險可以用穩(wěn)定分布來度量.對于風險規(guī)避者，他們往往更傾向于高估風險，而不是低估風險，也就是說，與正態(tài)分布相比，他們更喜歡用穩(wěn)定分布來風險測度和風險管理，實證研究表明穩(wěn)定分布假設是一種較為準確和保守的風險度量.

2.4 不同跟蹤時間窗口下的MDD

投資者在投資中往往更加關注某個窗口時間內的MDD，而不是整個5年或10年時間甚至更長的時間.對于投資者而言，他們通常更關注短期收益和跌幅，如一個星期、一個月、一個季度、半年或一年內的最大跌幅究竟有多大，從歷史數據出發(fā)，建立樣本內MDD模型，通過統(tǒng)計推斷來預測MDD未來發(fā)展趨勢.由于滬深股市的交易特點，經過逐年統(tǒng)計可知每年可交易的時間大約為252天，半年約為126天，一個季度約為63天，一個月約為21天，而每周可交易的時間為5天(周末休市，遇到節(jié)假日則可能沒有5天，基本上都為5天)*這里跟蹤時間窗口的方法為：如兩指數一年(252天)交易時間，第1個MDD的計算應選擇從第1個收益率到第252個，第2個MDD則從第2個收益率到第253個，依次類推，總共有2 766個MDD.其它不同跟蹤窗口時間的MDD可類似得到..

表10 不同跟蹤時間窗口(單位：天)下的MDD統(tǒng)計特征

表11 不同跟蹤時間窗口下的MDD穩(wěn)定分布估計值

表10給出了不同時間窗口下的最大跌幅統(tǒng)計特征.例如，當時間窗口為5天時(一周)，基于歷史數據的上證綜指在過去的所有周交易數據中*這里的歷史數據是指2000年1月4日至2012年6月29日期間發(fā)生的對數收益率數據，共有3 017個.，最大跌幅的一周跌幅為16.64%，最小跌幅為0(指數一周持平或上漲)，而相對應的深圳成指分別為16.63%和0.隨著時間窗口的減小，除峰度和偏度外，兩指數的其它統(tǒng)計量也都隨之減小，而峰度和偏度呈現無規(guī)則的變化，這與Harmantzis[6]所研究的8種指數的規(guī)則變化有所不同*8種指數的峰度和偏度隨著時間窗口的減小而增加..這可能跟滬深股市自身所具有的特點相關.如滬深股市出現頻繁和大幅度的跳躍行為，與市場突發(fā)信息密切相關，左浩苗等[28]研究了中國股市的跳躍風險度量行為.這種不規(guī)則的變化凸顯了我國股市作為“新興股市”不夠成熟的一面*李紅權，洪永淼，汪壽陽[29]在《我國A股市場與美股、港股的互動關系研究：基于信息溢出視角》中得出我國A股市場不論在危機發(fā)生前還是在金融危機期間，其波動性是最高的.詳見其實證分析部分..表11是對應不同跟蹤時間窗口下的MDD穩(wěn)定分布估計值，特征指數和偏度參數同樣呈現不規(guī)則變化，上證綜指在一年(交易天數為252)和一個季度(交易天數為63)MDD穩(wěn)定分布估計偏度參數分別為0.679 6和0.739 0，其它時間窗口偏度參數都為1(包括深圳成指全為1)，完全右偏.

圖7和圖8是兩指數不同時間窗口下的MDD核密度圖.兩指數在不同跟蹤時間窗口下的核密度曲線相近，差異較小，聯(lián)動性較強，但其變化不規(guī)則.上證綜指在跟蹤時間窗口為5天時，MDD特征指數α達到最大(1.678 1)，而深圳成指則在跟蹤時間窗口為21天時，MDD特征指數α達到最大(1.685 9).核密度圖也有所反映這一現象*在正常的條件下，一般由中心極限定理可知，隨著獨立同分布樣本數的增加，正態(tài)化趨勢應增加，而滬深兩指數有變異現象，在跟蹤時間窗口越小時，正態(tài)化趨勢卻沒有顯現的那么吻合..

252天

126天

63天

42天

21天

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圖7 上證綜指不同跟蹤時間窗口下的MDD核密度圖

Fig. 7 Kernel density diagrams of Shanghai composite index under different tracking timeT

252天

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42天

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圖8 深圳成指不同跟蹤時間窗口下的MDD核密度圖

Fig.8 Kernel density diagrams of Shenzhen component index under different tracking timeT

3 結束語

本文首先研究上證綜指和深圳成指的厚尾分布，引入穩(wěn)定分布對兩指數的對數收益率分布進行擬合，利用STABLE軟件中的極大似然估計得到了兩指數的穩(wěn)定分布參數，結果表明兩指數存在“尖峰厚尾”的分形特征，那么基于有效市場的傳統(tǒng)理論假設，如金融價格序列服從正態(tài)分布、隨機游走和獨立性假設就會受到質疑，它們已經不能準確地刻畫資本資產的動態(tài)價格行為.進一步通過P-P圖檢驗驗證兩指數收益率服從穩(wěn)定分布，而正態(tài)分布擬合效果較差.這也說明了實際的金融市場是一類復雜的非線性動力學系統(tǒng)，存在分形和混沌現象，股票價格行為服從分數布朗運動.在此基礎上，重點介紹目前流行于歐美市場的一種流行的風險測度——DaR類風險測度.選取2000年1月4日至2012年6月29日最新的上證綜指和深圳成指的每日收盤價為原始數據，得到了兩指數的跌幅趨勢圖，通過跌幅趨勢圖發(fā)現一路攀升的跌幅時間段都為2007年10月17日到2008年11月4日，聯(lián)動性強，這正是美國次貸危機爆發(fā)逐漸影響中國到爆發(fā)全球性的金融危機階段，在2008年11月4日兩市達到最大跌幅，上證綜指MDD為127.24%，深圳成指MDD為123.70%.后經過國內的一系列刺激政策和投資者信心的增長，經濟逐漸復蘇和增長預期的形成，跌幅才有所緩和，且之后上證綜指的跌幅一直大于深圳成指的跌幅，其跌幅趨勢都可近似為循環(huán)“N”強度減弱至穩(wěn)定型向前推進.

通過兩指數跌幅相關性分析，得到兩指數跌幅的相關性系數達到0.924 2，收益率相關系數為0.938 8，有很強的趨勢共線性，即協(xié)同收益和協(xié)同跌幅效應共線性.實證研究還表明上證綜指跌幅有近66%大于其深圳成指跌幅.本文重點研究了兩指數的VaR類和DaR類風險測度.利用蒙特卡洛穩(wěn)定分布模擬和蒙特卡洛正態(tài)分布模擬兩指數收益率隨機變量，模擬次數為10 000次，其風險測度結果取平均值.為了比較不同結果的效果，通過定義離差率分析了不同分布下的風險測度估計值與經驗數據風險測度值的高低估程度，結果表明穩(wěn)定分布高估了風險，且程度較輕.而正態(tài)分布低估風險的程度較大，這對于風險測度和投資者風險管理而言，根本起不到未來管理風險的目標.對于風險規(guī)避者而言，穩(wěn)定分布是較為理想的選擇方式，穩(wěn)定分布下的風險測度是一種更為準確和保守的風險度量.最后，為了模型更加具有應用價值，本文給出了不同跟蹤時間窗口下的MDD結果，這為投資者和風險管理者提供了短期關注MDD的方法，從而在短期中可以預防和管理MDD風險.

本文的重點給出了現在流行于歐美市場的一種新的風險測度方法——DaR類風險測度，并用穩(wěn)定分布這一符合實際的金融資產分布去度量DaR類風險.它和VaR類風險測度共同成為投資者關注的指標，它們之間有很高的相關度，在某些情況下，投資者可以通過控制DaR類來減少VaR類風險，因此不少投資者更加關注DaR類指標.在歐美市場和我國的香港金融市場，私人投資者、機構投資者、基金經理、共同基金和對沖基金管理者都開始關注此指標.就拿MDD來說，它表示最大累計跌幅.對于基金管理人員，它反映了基金過去曾經在高位跌至低位的幅度，在前面的分析中得知波動率不代表風險，而MDD的好處是能夠清晰地看出損失(跌幅)的多少，能夠反映其風險.再者，它提供了另外一條線索，如果跌幅較大，則返回原先狀態(tài)的難度增大，甚至不可逆轉，這對投資者來說尤為重要.例如，經過一段相同的時間后，投資者1投資的基金跌幅10%，則要返回原先的水平需要升幅約11%.投資者2投資的基金跌幅25%，則要返回其原先水平需要升幅約33%.投資者3投資的基金跌幅為50%，則返回原先水平需要升幅100%.顯然跌幅越大，基金返回原先水平的難度越大.因此，投資者和風險管理人員更要警惕MDD指標.對于DaR和CDaR，它們類似于VaR和CVaR，CDaR和CVaR都是一致性風險測度，DaR類風險測度針對跌幅，而VaR類風險測度則針對收益率.

上證綜指的跌幅類風險測度值大于對應的深圳成指跌幅類風險值，而深圳成指的VaR類風險測度值大于相應的上證綜指跌幅類風險.結果還表明兩市的不穩(wěn)定性，以及跌幅序列變化的聯(lián)動性.作為投資者和風險管理人員，應認識到利用正態(tài)分布去進行投資風險管理往往難以達到風險管理的目標，甚至由于低估風險而帶來災難性的后果.應注意到金融資產分布的厚尾性，如采用穩(wěn)定分布進行兩類風險測度與預防管理風險，不僅要關注VaR類風險，更要關注過程管理風險中的DaR類風險，投資者應警惕DaR類風險，保守型投資者可采用穩(wěn)定分布對其投資進行風險測度和風險管理.在投資過程中，當然也可以利用DaR類指標來進行組合投資優(yōu)化.此外，研究結果表明資本市場存在分形和混沌現象，股票價格行為具有非線性動力學的復雜演變特征，而不是經典金融理論所假設的隨機游走和有效市場假說，實際金融系統(tǒng)的復雜性決定了整個金融系統(tǒng)往往以非線性方式對外界信息或沖擊做出反應，這為研究與理解資本市場的復雜性提供了新的思路和方向，也必將為投資行為、金融實踐和金融監(jiān)管產生深遠的影響.

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Risk measures of financial assets and its application in risk investment: From the new perspective of stable distribution

GENGZhi-xiang1,FEIWei-yin2

1. School of Economics, Peking University, Beijing 100871, China; 2. Department of Financial Engineering, Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China

The paper uses the Alpha-stable distribution to examine the data of Shanghai composite index and Shenzhen component index. The results show that both of them have the fractal characteristic of “l(fā)eptokurtic and heavy tails”. We establish DaR-type risk measures. The empirical study demonstrates that series between the two indexes have collinearity to some extent in terms of drawdown. Furthermore, using the Alpha-stable parameters of the two indexes, we give the VaR-type and DaR-type risk measures estimation in the Monte Carlo Alpha-stable and normal simulations, and we construct the model of bias. Finally, this paper emphasizes on MDD with different tracking time. As investors and risk managers, we should focus on not only VaR-type risk measures, but also DaR-type risk indexes.

Alpha-stable distribution; VaR-type and DaR-type risk measures; bias model; Monte Carlo simulation; risk investment

2013-05-18；

2015-10-26.

國家自然科學基金資助項目(71171003； 71571001).

耿志祥(1981—)， 男， 安徽蕪湖人， 博士生. Email: zhixianggeng@sohu.com

F830.9

A

1007-9807(2016)01-0087-15