? 于小帆

淺談數(shù)學模型在物理問題中的應用

? 于小帆

數(shù)學是解決物理問題的重要工具，應用數(shù)學知識解決物理問題，是中學物理《考試大綱》要求學生必須具備的五種能力之一，借助數(shù)學知識和數(shù)學方法可以優(yōu)化、拓寬解決物理問題的思路，達到事半功倍的效果。對此，筆者試著借助實例簡單談一談數(shù)學模型在物理問題中的具體應用。

應用 ；思維 ；元法； 模型

一、微元法

微元法指的是將研究對象或過程分隔成無限多個無限小的部分(即微元)加以研究，再將結果推廣到整體的思維方法。這種方法在人教版中最為突出，例如瞬時速度、瞬時加速度、感應電動勢等等，都是用這種方法定義的。

微元法解題的思維過如下：

1.取元。選取的微元可以是一小段線段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個小體積、小質量或一小段時間等，但必須具有整體對象的基本特征。

2.微元模型化。(可視為質點、恒力、點電荷、勻速直線運動等)，并運用相關知識建立這個微元與所求量之間的關聯(lián)。

3.求和。將這個微元的解答結果推廣到其他微元，并利用各微元間的對稱關系、矢量關系、近似極限關系等，對各微元的求解結果進行疊加，以求得整體量的合理解答。

例1[2014·江蘇卷·4題] 如1圖所示，一圓環(huán)上均勻分布著正電荷，x軸垂直于環(huán)面且過圓心O.下列關于x軸上的電場強度和電勢的說法中正確的是( )

A．O點的電場強度為零，電勢最低

B．O點的電場強度為零，電勢最高

C．從O點沿x軸正方向，電場強度減小，電勢升高

D．從O點沿x軸正方向，電場強度增大，電勢降低

[解析]本題將帶電圓環(huán)分割成無限個無限小的圓弧，將每一小段圓弧視為點電荷，則任意兩個關于圓心對稱的點電荷在圓心O處產(chǎn)生的電場的合場強為零，將這一結果推廣到其他微元，根據(jù)圓的對稱性可知，整個圓環(huán)在圓心O處產(chǎn)生電場的合場強為零。同理可知，從O 點沿x 軸正方向，電場強度先變大后變小，方向沿x軸正方向；從O 點沿x 軸負方向，電場強度先變大后變小，方向沿x軸負方向。綜上所述，只有選項B正確。

二、圖像法

圖像法是歷年高考熱點，學生通過對物理問題的分析，建立物理量間的聯(lián)系從而作出圖像，利用圖像的斜率、截距、交點及面積等解題，使問題形象化、簡單化。

例2.甲、乙同時從A處由靜止出發(fā)，沿直線AB運動，甲先以加速度a1做勻加速運動，經(jīng)一段時間后，改以加速度a2做勻加速運動，到達B點的速度為v0，乙一直以加速度a做勻加速運動，到達B的速度也為v0.已知a1>a2，則( )

A.a2=a B.a2>aC.經(jīng)過AB間任一點時甲的速度一定大于乙的速度

D.經(jīng)過AB間某一點時，甲的速度可能小于乙的速度

[解析]由勻變速直線運動的公式v2=2ax知，v2-x圖線是一過原點的直線，其斜率的數(shù)值為加速度大小的兩倍。做出v2-x圖像如2圖所示，由圖可知，a2

三、均值不等式的應用

(1)如果a、b為正數(shù)，那么有，當且僅當a=b時，上式取“=”號。

若兩個正數(shù)的積一定，則兩數(shù)相等時和最??；

若兩個正數(shù)的和一定，則兩數(shù)相等時積最大。

(2)如果a，b，c為正數(shù)，則有，當且僅當a=b=c時，上式取“=”號。

若三個正數(shù)的積一定，則三數(shù)相等時和最??；

若三個正數(shù)的和一定，則三數(shù)相等時積最大。

例3.如3圖兩個電量均為+Q的小球A、B固定，將另一個電量為-q的小球C由A、B兩球連線的中點沿中垂線移至無窮遠處，則此過程中小球C受A、B兩球靜電力的合力大小如何變化？

[解析]設AB=2l，∠CAB=∠ɑ，AC=r

令y=cos2αsinα

物理離不開數(shù)學，數(shù)學作為工具學科，其模型、方法貫穿于整個高中物理的學習過程,因此學生在物理學習中要重視數(shù)學模型和數(shù)學方法的應用。

遼寧省葫蘆島市綏中縣第一高級中學 125200)