吳道春

【摘要】上個世紀，人們重新審視數(shù)學的本質(zhì)，出現(xiàn)了很多的關于證明的觀點，如：“證明是數(shù)學實踐的反映”，“證明是促進數(shù)學理解的一個極其重要的工具”，“證明可以用來交流數(shù)學理解”等.最近，證明在數(shù)學和數(shù)學教育中的作用受到了質(zhì)疑，甚至有人預測，證明將消失.這種質(zhì)疑來自數(shù)學內(nèi)部、數(shù)學教育、社會價值和經(jīng)驗科學的挑戰(zhàn)，對數(shù)學教學產(chǎn)生了重要影響.

【關鍵詞】證明作用；證明挑戰(zhàn)；數(shù)學教學

1證明的作用

證明在數(shù)學教育中的最重要的作用是認知建構(gòu)和意義交流.然而，回顧20世紀五六十年代的“新數(shù)”運動，有一主流觀點：中等學校的數(shù)學課程要更好地反映數(shù)學，必須強調(diào)形式邏輯和嚴格證明，因為：（1）在現(xiàn)代數(shù)學理論中，關于數(shù)學證明，存在著一些公認的標準；（2）嚴格證明是現(xiàn)代數(shù)學實踐的特征.這兩個觀點都是錯誤的[1].首先，回顧關于數(shù)學的本質(zhì)的一些主要論述，如：邏輯主義、形式主義、直覺主義和準經(jīng)驗主義等，就會發(fā)現(xiàn)，關于證明在數(shù)學中的作用和數(shù)學證明的標準，存在不同的觀點；其次，審視數(shù)學實踐，在數(shù)學家的眼中，與“認知和意義”相比，“嚴格”居于第二位，只有當證明能夠促進真正的數(shù)學認知，它才合理和令人信服.

數(shù)學家接受一個新的數(shù)學定理，只有當定理滿足以下條件：（1）他們理解這個定理（包括定理中的概念、前提和意義），而且沒有跡象表明它是不正確的；（2）定理非常重要，對某個或幾個數(shù)學分支有意義，使他們有充分的理由對之進行詳細的研究和分析；（3）定理和公認的結(jié)果相一致；（3）定理的發(fā)現(xiàn)者是此領域的權(quán)威；（4）他們曾經(jīng)遇到過關于此定理的令人信服的證明.在數(shù)學課堂上，教師們要傳授給學生關于證明本身的更重要的作用，即強調(diào)認知建構(gòu)和意義交流而不僅是形式演繹.

2歷史的挑戰(zhàn)

2.1來自數(shù)學的挑戰(zhàn)

計算機對數(shù)學的發(fā)展起了巨大的推動作用，重新激起了數(shù)學家們對算法和離散方法的興趣，增強了對構(gòu)造性證明的依賴，出現(xiàn)了一些新的證明方式，主要有三種：（1）使用計算機構(gòu)造或論證一些非常長的證明，如“四色定理”的機器證明；（2）零知識證明；（3）全息證明.于是，一部分人聲稱“證明本身即將滅亡”.

其實，以上三種證明本質(zhì)上仍然是分析（演繹）證明，從這個意義上講，它們還是傳統(tǒng)的證明.越來越多的數(shù)學家們似乎正超越分析（演繹）證明的邊界，轉(zhuǎn)而使用計算機實驗證實數(shù)學理論，如混沌理論和非線性動力系統(tǒng).在美國明尼蘇達州的幾何研究中心，數(shù)學家們借助計算機，通過圖形展示來研究四維超級立方體和其它圖形或研究一些變化，如球體的旋轉(zhuǎn)和碰撞.這些探索本身和傳統(tǒng)的作為分析科學的數(shù)學并不矛盾，只是在從探索得出一般結(jié)論的時候，這些數(shù)學家們似乎回到經(jīng)驗科學的方法.這個幾何研究中心創(chuàng)立了一個雜志《實驗數(shù)學》，極力提倡計算機的使用.

這些新發(fā)展給數(shù)學家們和哲學家們提出了一些新的問題：這些證明代表著未來的發(fā)展方向嗎？在數(shù)學中有一席之地嗎？我們能夠稱它們是證明嗎？數(shù)學家們應該接受那些很可能正確的數(shù)學命題嗎？如果不能，它們的地位又是怎樣的？實驗證明和演繹證明之間的關系如何定位？數(shù)學家們還在繼續(xù)討論這些問題，而這正反映了證明在數(shù)學中的作用的重要性.

即使關于以上問題有了一致的觀點，即使這個一致中仍有很大一部分存在分歧，數(shù)學家們都堅持證明的重要性.我們現(xiàn)在用新的證明方式做的一些事情，可能在將來不被認可，但證明本身仍是有活力的，借助技術的力量，數(shù)學家們創(chuàng)造了新的證明方法，甚至新的數(shù)學思維方式，但他們絕不會放棄證明的思想.

2.2來自數(shù)學教育的挑戰(zhàn)

2.21“新數(shù)”運動

在“新數(shù)”運動之前，證明教學局限于幾何，似乎是為了形式而教，而不是為了更深刻的數(shù)學認知，一些經(jīng)典的證明沒得到重視.20世紀50年代后期，受到數(shù)學的巨大發(fā)展，特別是能將很多數(shù)學分支統(tǒng)一起來的集合論的新發(fā)展，新數(shù)運動的興起，數(shù)學教育界特別重視公理結(jié)構(gòu)和證明并將它們引入數(shù)學課程，這使得證明教學遠遠超越了幾何的界限.這一改革目的就是要促進數(shù)學認知，遺憾的是，沒有達到預期的目標.自從“新數(shù)”運動失敗后，在全世界的學校數(shù)學課程中，任何形式的證明的地位都漸漸地下降.這主要歸因于課程改革和數(shù)學教育理論，數(shù)學教育家們對于證明的認識，而不是數(shù)學本身的創(chuàng)新.

2.22回到基礎

“回到基礎”的根基是行為主義學習理論，和布魯姆、加涅、奧蘇貝爾和沙利文等人的工作密切有關，嘗試給學生確定恰當?shù)男袨槟繕?，促進“掌握學習”，這是一個有計劃的學習方式，重視一些非常特殊的技巧，如算術、算法和某些問題的一步一步的解題步驟，但忽視了證明和其它形式的論證.

2.23新興學習理論

在“回到基礎”之后，又出現(xiàn)了“發(fā)現(xiàn)教學”、“合作學習”、“問題解決學習”和“課堂交流”等新興學習理論，雖都沒有被普遍接受和推廣，但都對課程有過重要影響.雖然，它們都沒有特意反對證明教學，但它們確實轉(zhuǎn)移了對證明的重視.

2.24建構(gòu)主義

20世紀90年代，最有影響的數(shù)學教育理論是“建構(gòu)主義及其各種形式”，強調(diào)知識不能被傳授，必須以學生為中心，由學生自我建構(gòu).建構(gòu)主義引入數(shù)學課堂，削弱了教師在課堂上的重要性，這對證明教學不利.建構(gòu)主義提倡教師不要給出數(shù)學證明或在論證中扮演主動角色，只要給學生提供有限的幫助，讓學生自己論證，不用干預，教師扮演著“調(diào)節(jié)者”的角色或者說“中立角色”.這種“中立角色”是有問題的，我們希望培養(yǎng)學生探究問題和進行論證的能力，這需要教師進行引導和對學生的不同的判斷加以確認和評價，促進他們協(xié)調(diào)認知、分享知識和方法.研究證明，教師在幫助學生理解“為什么需要證明”，“怎樣證明”和“證明是否正確”的過程中的作用至關重要，期望學生重新發(fā)現(xiàn)復雜的或創(chuàng)造性的證明方法是不現(xiàn)實、不高效的，故意回避教師的幫助，似乎不明智，學生需要教師的積極的介入.

2.25拉卡托斯的影響

匈牙利數(shù)學哲學家拉卡托斯認為數(shù)學的本質(zhì)是擬經(jīng)驗的，數(shù)學理論是可猜測的、可證偽的，他的觀點使得許多數(shù)學教育者認為應該將形式化的數(shù)學從課堂上消除，鼓勵學生進行探索性的分析證明.美國數(shù)學教師協(xié)會在數(shù)學教學專業(yè)標準中發(fā)起倡議，提倡學生間的課堂交流，削弱了教師的作用，削弱了形式證明的地位.

很顯然，上述觀點和做法是錯誤的，教師的作用上文已闡述，而形式證明對判斷和發(fā)展數(shù)學理論很重要.雖然有的數(shù)學理論是不可被證明或可證偽的，但這只是豐富多彩的數(shù)學體系的一個局部，如果數(shù)學課程只局限于這一局部，就不能更好地反映數(shù)學實踐.事實上，形式證明也可以為公認的理論和定義提供反例，例如，德國著名數(shù)學家哥德爾的不完全性定理證明，如果不使用復雜的符號和形式邏輯系統(tǒng)，他就不能創(chuàng)造這些證明.

2.3社會價值的影響

社會價值發(fā)展的取向之一是認為真理是社會建構(gòu)的，不屈服于權(quán)威.傳統(tǒng)的、歐幾里德式的證明被拉卡托斯等人認為是權(quán)威主義數(shù)學的核心，以建立一個權(quán)威的、可靠的、無可辯駁的數(shù)學體系為目標；在數(shù)學教育領域，證明特別是嚴格的證明，被看成是由權(quán)威機構(gòu)掌握的控制機制，幫助他們將預先確定好的、可靠的知識體強加于學生.

事實并非如此，證明是一種透明的辯論，推理的依據(jù)和原則都是清晰的，經(jīng)得起推敲的，這才是證明的本質(zhì).我們應當傳遞給學生這樣的信息：（1）可以自己推理，不需要屈服于權(quán)威；（2）任何一個被證明了的數(shù)學理論都是相對的，不是絕對的，其正確性依賴于其假定的數(shù)學理論和推理原則，但證明可以增強數(shù)學的可靠性.因此，在課堂上，證明的使用實際上是反權(quán)威的.有人認為，證明要求學生接受權(quán)威的推理的原則，不符合社會價值的主流，這又把爭論推到了一個新的、元數(shù)學的水平.那些質(zhì)疑證明的作用的人，徘徊在反抗理性的邊緣，希望他們不要質(zhì)疑推理的原則，否則非常令人憂心.

有人認為課堂上的證明，特別是嚴格的證明，容易使學生覺得“數(shù)學是先驗科學”，與“數(shù)學是社會建構(gòu)的”相違背.其實，證明是為了尋求與當前公認的理論相容的理由，并不要求將數(shù)學看成是先驗的.證明的嚴格是一個度的問題，在數(shù)學實踐中，遵循實用主義原則，如果一個不嚴格的理論在問題解決中是有價值的，接受它就是一個很理性的選擇，只有當數(shù)學家們意識到憑借當前的理論還不足以解決迫在眉睫的問題時，他們才會開始擔心嚴格的缺陷.

總的來說，沒有證據(jù)表明證明及其嚴格性與當前的社會價值相沖突.

2.4數(shù)學證明和經(jīng)驗科學

數(shù)學中的真理和經(jīng)驗科學中的真理不同，經(jīng)驗科學中的真理主要是通過日常生活中的操作建立的，數(shù)學中的真理具有經(jīng)驗的維度，但最終要通過證明建立.如，對于“三角形的內(nèi)角和是180度”，通過測量知道一個三角形的內(nèi)角和接近180度，但要確信對所有的三角形是需要證明.這在柏拉圖和歐幾里德時代很自然，但在實驗和測量被認為是科學的方法論的基礎的時代，這不如人意.為了解釋，應當告知學生“他們所畫的圖形與幾何定理中的圖形本質(zhì)上是不同的，前者是經(jīng)驗的實體，而后者是理想的實體”.

關于數(shù)學的本質(zhì)，一直有兩個流派，理性主義和經(jīng)驗主義.數(shù)學語言的使用對兩者的區(qū)分很關鍵，一種是柏拉圖-歐幾里德語言，在描述真理、證明和直覺時使用，是一種理性主義的語言，體現(xiàn)了絕對確定性，盡管它有不盡人意的地方，但在交流中很有效且方便；另一種是口頭語言，包括建模、應用、解釋、數(shù)學化等，這一語言的產(chǎn)生基于數(shù)學理論本質(zhì)上是某種現(xiàn)象域的模型，其確定性依賴于模型的內(nèi)部原理[2].愛因斯坦認為“指向現(xiàn)實的數(shù)學定理是不確定的，確定的數(shù)學定理不是指向現(xiàn)實的”，我們也要讓學生明白.

對證明在數(shù)學化的經(jīng)驗理論中的作用有兩種理解.一種是靜態(tài)的，將經(jīng)驗理論看作原理和測量的網(wǎng)絡，原理是關于測量的描述，其正確性不是絕對的，由證明而增強，由證明建立起來的演繹關系而聯(lián)接在一起，當原理通過證明變成理論的一部分，它的檢驗和證實不僅通過直接的測量，還要通過證實了理論中的其它原理的測量，這將具有更高的確定性；一種是動態(tài)的，強調(diào)證明在經(jīng)驗理論的不同的發(fā)展階段的作用不同，在理論產(chǎn)生的初期，證明主要是用來檢驗它的可靠性，合理性或有用性，后來證明的作用發(fā)生了改變，將源自假設的理論變成被證明了的定理，納入公認的知識體系.

教學必須反映證明的這些不同的作用，不需要在每種情形下都討論全面，應該采納弗來登塔爾的“局部組織”的觀點，將整體分解為各個部分，各個擊破，證明有時把源自假設的理論變成定理，有時用來解釋一個假設，有時可以解釋或推廣定理，有時可以發(fā)現(xiàn)新的定理，有時可能涉及經(jīng)驗維度.

3數(shù)學課堂上的證明

學術性數(shù)學和課堂數(shù)學教學不同，數(shù)學家們可以只關注數(shù)學的復雜性，而在課堂教學中，對每個新的數(shù)學課題，教師必須解釋清楚證明和數(shù)學應用之間的復雜關系，他們必須以不同的水平處理證明教學，但這是很難達到的，因為教師必須找到將證明和它的應用聯(lián)系起來的例子，而這在學術性數(shù)學中常常是沒有這樣的例子的.教師必須高水平地處理認識論的復雜性，數(shù)學教育面臨著科學的和哲學的挑戰(zhàn).

從長遠來看，我們期望課堂中的證明在某種程度上反映證明的所有作用，包括證實，解釋，系統(tǒng)化，發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果，交流，建構(gòu)經(jīng)驗理論，探索定義的含義或假設的重要性，將一個眾所周知的事實并入一個新的框架以一個新的視角觀察它等，但這些作用和數(shù)學學習的聯(lián)系程度各不一樣，所以在教學中它們當然不應被賦予同等的權(quán)重[3].

課堂上最好的證明是有助于認知建構(gòu)和意義交流的證明，不僅要知道它是正確的，還要知道為什么.因此，教師必須選擇在形式上適宜特定的年級水平的教學方式和背景，可以是一個計算，一個直觀的演示，一個有指導的并遵守一定的辯論原則的討論，一個非形式化的證明或一個嚴格的證明，在不失完整性的前提下，可以暫時忽略證明的某些方面.

教師必須關注和區(qū)分論證性的證明和解釋性的證明，以更好地適用教學的需要.論證性證明可以證明定理的正確性，常缺乏解釋意義；解釋性的證明和定理中的對象或結(jié)構(gòu)的特征性的性質(zhì)相聯(lián)系，學生從中可以很明顯地看出定理的結(jié)果依賴于這些性質(zhì)，如果在證明中的一個地方，以一個不同的對象做替換，這個定理就不成立了，學生還可以觀察定理是怎樣隨著對象的改變而改變的.

數(shù)學的發(fā)展的根本目的不是為了“定義——定理——證明”的形式化的演繹，而是怎樣發(fā)展人們對數(shù)學的認知，怎樣使得人們更清晰、更有效地理解數(shù)學.需要指出的是，強調(diào)認知的重要性并不是在某種程度上否定形式演繹，事實上經(jīng)得起推敲的細致的、形式化的演繹證明對數(shù)學的發(fā)展是很重要的，是數(shù)學發(fā)展的重要方式和形式.總的來說，證明既不是數(shù)學科學的核心，又不是可以消失的，一個致力于反映證明在數(shù)學中的作用的數(shù)學課堂甚至數(shù)學課程，必須將證明展現(xiàn)成是對數(shù)學的認知建構(gòu)和意義交流的必不可少的重要工具.

參考文獻

[1]Alan J. Bishop， M.A. Clements， Christine Keitel.（2003）.Second International Handbook of Mathematics Education.

[2]張乃達.數(shù)學證明和理性精神——也談數(shù)學證明的教學價值[J].中學數(shù)學，2003（2）：23-27.

[3]史寧中，郭民.中學數(shù)學證明的教育價值[J].課程·教材·教法，2007（7）：11-18.