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一道解三角形求最值問題的解法探究

江蘇省海門市海門中學(xué)(226100)渠懷蓮

解三角形歷來是高考的熱點(diǎn)，而求最值問題尤為重要.這類問題一方面要注重通性通法，另一方面更要注重問題的變式演練.通過改變題目背景、條件、結(jié)論等，進(jìn)行變式演練；追尋問題本源、優(yōu)化題目的原始解答；探究題目的多種解法，力爭多角度審視總結(jié)問題，將各知識點(diǎn)串成網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而提高學(xué)生分析和解決問題的能力.此題目的層層遞進(jìn)設(shè)問，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)潛能，反映了新課標(biāo)的教學(xué)理念.

1．問題本源

圖1

2．設(shè)問遞進(jìn)

設(shè)∠ANM=θ，當(dāng)角θ取何值時(shí)，線段AP的長取到最大值．

此時(shí)，可以讓學(xué)生思考其它解法進(jìn)行演練．

3．變式演練

圖2

∠AMN=θ，當(dāng)角θ取何值時(shí)，線段AP的長最大．

解法一：“化角”利用三角函數(shù)求最值.

設(shè)∠AMN=θ，在

解法二：“化邊”利用均值不等式求最值.

4.解法拓展

解法三：“化歸”借助坐標(biāo)變換求最值.

解法四：“畫圖”利用幾何圖形性質(zhì)求最值.

由運(yùn)動的相對性，可使△PMN不動，點(diǎn)A在運(yùn)動．

圖3