彭麗曼（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631）

如何將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái)
——以教授直線的傾斜角概念為例

彭麗曼（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631）

近年來(lái)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)工作者重視數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，但是受到學(xué)生知識(shí)水平的限制及教學(xué)進(jìn)度的要求，盲目介紹數(shù)學(xué)問(wèn)題出現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)情境、揭示數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈，不僅可能超出學(xué)生的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，而且也無(wú)利于教學(xué)效果的提高。本文通過(guò)對(duì)直線的傾斜角概念的教學(xué)設(shè)計(jì)的分析，初步探討數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的方法。

數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)概念；建構(gòu)主義

【DOI】10．19312/j．cnki．61-1499/c．2016．07．071

近年來(lái)，中小學(xué)課程改革中越來(lái)越強(qiáng)調(diào)“改變課程內(nèi)容‘繁、難、偏、舊’和偏重書(shū)本知識(shí)的現(xiàn)狀，加強(qiáng)課程內(nèi)容與學(xué)生生活以及現(xiàn)代社會(huì)和科技發(fā)展的聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和經(jīng)驗(yàn)，精選終身學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)知識(shí)和技能”。這更是需要教師把數(shù)學(xué)工具發(fā)展所面臨的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程，總而言之，把數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)融合在一起，使學(xué)生能了解數(shù)學(xué)問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)性，數(shù)學(xué)既來(lái)源于生活又反作用于生活。課程改革對(duì)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)方面，提出了具體的要求：“改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)象，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流與合作的能力。”其中，向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家面對(duì)時(shí)代的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)解決問(wèn)題的思路有利于學(xué)生了解掌握對(duì)具體問(wèn)題分析解決的能力，這種數(shù)學(xué)家們獨(dú)創(chuàng)的解決問(wèn)題的思路、方法對(duì)學(xué)生思考其他生活上的問(wèn)題意義非凡。

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是研究數(shù)學(xué)的歷史。它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過(guò)程，而且還探索影響這種過(guò)程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對(duì)人類文明所帶來(lái)的影響。所以，學(xué)好數(shù)學(xué)史，不僅能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更深層次的了解，而且有利于自己樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀念。

但是，受到學(xué)生知識(shí)水平以及教學(xué)要求的限制，教師不能對(duì)教學(xué)內(nèi)容所涉及到的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)概念發(fā)展過(guò)程做詳盡的描述，那么，一節(jié)以數(shù)學(xué)史為背景的課在數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選取與數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合設(shè)計(jì)上將是衡量教學(xué)設(shè)計(jì)得合不合理的關(guān)鍵因素。本文以《直線的傾斜角與斜率》一課為例，初步探討如何將數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合。

一、直線的傾斜角教學(xué)設(shè)計(jì)

1.直線的傾斜角的概念引入

（1）教師引導(dǎo)。在上一章中，我們依據(jù)點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，這種方法優(yōu)點(diǎn)在于幾何圖形可以給我們的思維以直觀的引導(dǎo)，但是在歐式幾何中，一個(gè)新的證明往往要求某種新的、奇巧的想法會(huì)給我們帶來(lái)不便。而回想我們以前所學(xué)習(xí)的加減乘除的計(jì)算和代數(shù)方程的求解等問(wèn)題都有一套機(jī)械化、程序化的解決方法，那么，我們能不能把數(shù)、代數(shù)引進(jìn)幾何學(xué)中，或者說(shuō)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，從而運(yùn)用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題？17世紀(jì)時(shí)，法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾就很深刻地意識(shí)到把代數(shù)引進(jìn)幾何學(xué)的必要。要解決這個(gè)問(wèn)題關(guān)鍵在于怎么用數(shù)來(lái)表示圖形的幾個(gè)要素，即如何用數(shù)表示點(diǎn)、直線、平面。

笛卡爾在觀察墻角的一個(gè)蜘蛛的運(yùn)動(dòng)中想到了建立“直角坐標(biāo)系”的方法，空間中任意一點(diǎn)的位置就可以用這三根數(shù)軸上找到有序的三個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。在初中我們學(xué)習(xí)過(guò)，在平面直角坐標(biāo)系上可以用一組二元數(shù)（x，y）表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，這就解決了用數(shù)表示平面上的點(diǎn)的問(wèn)題，那么，直線又怎樣用幾個(gè)數(shù)來(lái)確定呢？

（2）設(shè)計(jì)分析。概念的引入既承接了上一章中傳統(tǒng)幾何學(xué)的內(nèi)容，又把學(xué)生的思想置于17世紀(jì)數(shù)學(xué)家所面臨的問(wèn)題情境，讓學(xué)生體會(huì)當(dāng)時(shí)幾何學(xué)發(fā)展所遇到的問(wèn)題。介紹笛卡爾的直角坐標(biāo)系方法，引出這一章所涉及的主要思想——通過(guò)直角坐標(biāo)系用數(shù)來(lái)表示幾何要素。同時(shí)，通過(guò)類比平面中的點(diǎn)用坐標(biāo)來(lái)表示，引出平面上的線如何用數(shù)表示的問(wèn)題。從建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀看，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是被動(dòng)接受的過(guò)程，而是主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程”，通過(guò)介紹數(shù)學(xué)史完整地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家解決問(wèn)題的思想方法，激起學(xué)生的好奇心及求知欲，為后續(xù)直線傾斜角概念的建構(gòu)埋下伏筆。

同時(shí)，筆者了解到解析幾何的產(chǎn)生有一系列的實(shí)際問(wèn)題的驅(qū)使，比如：哥白尼的“日心說(shuō)”、伽利略的慣性定律與自由落體定律、開(kāi)普勒提出的行星運(yùn)動(dòng)三大定律的提出都迫使產(chǎn)生新的幾何學(xué)，以便用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)和處理圓錐曲線及其他曲線。誠(chéng)然，引入這些數(shù)學(xué)史料能夠讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)問(wèn)題具有現(xiàn)實(shí)性。但是，由于學(xué)生知識(shí)水平的限制，尚不能真正理解解析幾何對(duì)解決這些問(wèn)題的作用，從而不能使數(shù)學(xué)史跟教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合的目的。

2.直線的傾斜角的概念教學(xué)

通過(guò)圖形展示逐步引出過(guò)一定點(diǎn)的直線之間傾斜程度、方向不同。

（1）教師引導(dǎo)。既然點(diǎn)P可以用坐標(biāo)這一組二元數(shù)來(lái)表示，如果直線的方向也可以用某種數(shù)來(lái)表示，直線就可以用這兩個(gè)數(shù)來(lái)表示。那我們就來(lái)探究一下如何用數(shù)表征直線的方向。我們聯(lián)想一下地圖中的方向怎么表示。如果地圖上由一條筆直的路，問(wèn)這條路是往哪個(gè)方向延展的，關(guān)鍵要知道什么量？角度，比如說(shuō)直線向上方向跟東方向夾角為45度，那么我們就知道這條路是往東北方向延展的，如果是30度角，我們就能確定這條路是來(lái)往于北偏東30度的方向。知道一個(gè)角度就可以確定道路的方向，這給了我們很大的一個(gè)啟示，也來(lái)給我們的直線安個(gè)角度！

教師組織學(xué)生自由討論：應(yīng)該選取哪個(gè)角度較好，并且倡導(dǎo)學(xué)生各抒己見(jiàn)。

（2）設(shè)計(jì)分析。緊扣以直角坐標(biāo)系為中介，用數(shù)描述幾何要素——直線的思想，找到過(guò)一定點(diǎn)的直線的本質(zhì)特征——方向，并且把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成用可數(shù)量化的要素描述直線的方向，并通過(guò)類比地圖上方向的描述來(lái)尋求解決問(wèn)題的思路，最后把焦點(diǎn)聚在直線跟坐標(biāo)軸的夾角上，從而問(wèn)題迎刃而解。在教學(xué)環(huán)境中再現(xiàn)概念產(chǎn)生的背景和動(dòng)機(jī)，層層遞進(jìn)，既發(fā)揮了教師的課堂主導(dǎo)作用，又調(diào)動(dòng)了學(xué)生思考的積極性，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。教師沒(méi)有由此引出直線向上方向與x軸正方向的夾角，而是用自由探討的方式讓學(xué)生各抒己見(jiàn)，使教師成為概念建構(gòu)的幫助者和促進(jìn)者，使學(xué)生成為信息加工的主體和概念建構(gòu)的主動(dòng)者。這也正是建構(gòu)主義所提倡的“在教師的幫助下以學(xué)習(xí)者為中心，既強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知主體作用，又不忽視教師的主導(dǎo)作用”在課堂上的實(shí)際應(yīng)用。

二、數(shù)學(xué)史與教學(xué)有機(jī)結(jié)合的方法

1.再現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“現(xiàn)實(shí)情境”

數(shù)學(xué)教材往往根據(jù)一定的學(xué)習(xí)要求按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)加以取舍編纂成一定的知識(shí)體系，這樣就必然忽略數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)思想發(fā)生的實(shí)際背景。而對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)概念的發(fā)展絕大多數(shù)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的解決，因而在數(shù)學(xué)概念引入時(shí)，教師若能再現(xiàn)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家所面臨的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入發(fā)現(xiàn)者的角色，將會(huì)激發(fā)學(xué)生的探索欲望，為概念教學(xué)創(chuàng)造自由思考的氛圍。

再現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)情境不等同于把數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家當(dāng)時(shí)所面臨的要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題一股腦兒全部羅列出來(lái)。受制于學(xué)生的知識(shí)水平，學(xué)生很可能理解不了真實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境與數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，好比上文分析的時(shí)代需要當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)處理圓錐曲線和其他曲線，這跟要把代數(shù)引進(jìn)幾何學(xué)有什么關(guān)系呢？盲目列舉數(shù)學(xué)史上的知識(shí)不僅不能幫助學(xué)生很好地把握數(shù)學(xué)發(fā)展的方向，反而讓學(xué)生“知其然，不知其所以然”，加重學(xué)生負(fù)擔(dān)。所以，教師在選擇數(shù)學(xué)史料時(shí)要反復(fù)考察學(xué)生的知識(shí)水平，并根據(jù)學(xué)生的知識(shí)水平來(lái)選取數(shù)學(xué)史料。最好選取跟數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)方法有最直接關(guān)系的史料。

2.還原數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)過(guò)程

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是為了獲得數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)成果，更重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)史中記載了許多數(shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，同時(shí)也記載了數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性的解題思維過(guò)程。還原數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)過(guò)程要求教師熟練掌握與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)相關(guān)的史料，從而在課堂上合理設(shè)置相關(guān)的問(wèn)題，并且在適當(dāng)時(shí)候給予提示，通過(guò)教師的一步一步的引導(dǎo)逐步還原數(shù)學(xué)家當(dāng)時(shí)的思考過(guò)程。這不僅能營(yíng)造自由討論的課堂氛圍，還可以讓學(xué)生體會(huì)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生的探索欲和求知欲。

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