李何東，谷　峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

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b-度量空間中四個映象的一個新的公共不動點(diǎn)定理

李何東，谷峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

摘要：利用b-度量空間中自映象對相容和弱相容的條件，討論了b-度量空間中一類映象的公共不動點(diǎn)的存在性和唯一性問題，得到了一個新的公共不動點(diǎn)定理，所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了度量空間中的已有結(jié)論.

關(guān)鍵詞：b-度量空間；公共不動點(diǎn)；相容映象；弱相容映象

1引言和預(yù)備知識

自從Czerwik[1]提出b-度量空間的概念以來，眾多學(xué)者深入研究了b-度量空間中的不動點(diǎn)和公共不動點(diǎn)問題，獲得了許多有意義的研究結(jié)果[1-7].關(guān)于度量空間中公共不動點(diǎn)問題的研究，Jungck[8]引入相容映象的概念發(fā)揮了及其重要的作用. 2011年，Akkouchi[5]把相容映象和弱相容映象的概念引入到b-度量空間中，得到了一些公共不動點(diǎn)結(jié)果.

2008年，陳軍民和谷峰[9]在度量空間中研究了如下壓縮條件：

d(Sx,Ty)≤f[d(Sx,Ax),d(Ty,By)]+ad(Sx,By)+bd(Ax,Ty)+cd(Ax,By)

其中f:[0,∞)×[0,∞)→[0,∞), 在一定條件下，證明了一個公共不動點(diǎn)定理，其結(jié)果改進(jìn)和發(fā)展了文獻(xiàn)[10-12]中的相關(guān)結(jié)果.

本文受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，把上述問題放在b-度量空間的框架中加以考慮，得到了新的公共不動點(diǎn)定理，所得結(jié)果包含了文獻(xiàn)[9-12]中的相關(guān)結(jié)果為特例.

定義1[1]設(shè)X是一個非空集合，k≥1是一個給定的實數(shù). 稱函數(shù)d:X×X→R+是集合X上的一個b-度量，若?x,y,z∈X，有以下條件被滿足

(i)d(x,y)=0?x=y

(ii)d(x,y)=d(y,x)

(iii)d(x,y)≤k[d(x,z)+d(z,y)]

這時我們稱(X,d)是一個b-度量空間，實數(shù)k≥1稱為該b-度量空間的系數(shù).

注1度量空間是b-度量空間的特例，事實上，當(dāng)k=1時，(X,d)成為度量空間. 反之，b-度量空間不一定是度量空間，例子如下.

例1[3]設(shè)X=R,定義d(x,y)=(x-y)2,那么它是一個k為2的b-度量空間，但顯然不滿足度量空間的三角不等式.

定義3[4]設(shè)(X,d)是一個b-度量空間，點(diǎn)列{xn}?X，如果d(xn,xm)→0(n,m→∞),則稱點(diǎn)列{xn}為X上的一個柯西列.

注2[4]收斂點(diǎn)列只有一個極限，且每一個收斂點(diǎn)列都是柯西列.

定義4[4]若b-度量空間(X,d)上所有的柯西列都收斂，則稱這個b-度量空間為完備b-度量空間.

定義5[5]b-度量空間(X,d)上的自映象對(f,g)稱為是相容的，如果?{xn}?X,只要fxn→x,gxn→x(n→∞),x∈X，就有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定義6[5]b-度量空間(X,d)上的自映象對(f,g)稱為弱相容的，如果

{t∈X:f(t)=g(t)}?{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注3顯然，相容映象對必是弱相容映象對，但反之不真，反例見例2.

例2設(shè)X=[2,20],定義b-度量如例1，定義映象f,g:X→X如下

要使fx=gx,則x=2，顯然fg(2)=gf(2)=2,故映象對(f,g)是弱相容的，但對于數(shù)列xn→5,xn>5,我們有fxn=xn-3→2,gxn≡2→2,但當(dāng)n→∞時，d(fgxn,gfxn)=[f(2)-g(xn-3)]2=(8-2)2≠0,故映象對(f,g)不是相容的.

注4與度量空間不同，集合X上的一個b-度量不一定連續(xù)，例子可見[3]. 但有以下引理：

定義7設(shè)(S,T)是b-度量空間(X,d)中的一對自映象，如果點(diǎn)列{xn}?X滿足d(Sxn,Txn)→0(n→∞),則稱點(diǎn)列{xn}為映象對(S,T)的漸近正則列.

2主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,d)是一個具有系數(shù)k(k≥1)的完備b-度量空間，S,T,A,B:X→X是X上的4個自映象，且滿足下面的條件：

(i)SX?BX,TX?AX；

(ii) 存在點(diǎn)列{xn}?X,使{xn}為映象對(A,S)和(B,T)的漸近正則列；

(iii)?x,y∈X,有

d(Sx,Ty)≤f[d(Sx,Ax),d(Ty,By)]+ad(Sx,By)+bd(Ax,Ty)+cd(Ax,By).

(1)

其中a,b,c∈[0,1).且a+b+c<1/k4,f:[0,∞)×[0,∞)→[0,∞),滿足：?x,y∈[0,∞),有

(2)

f(0,t)<(1/k-bk)t,f(t,0)<(1/k-ak)t,?t>0,

(3)

如果以下條件之一被滿足，則S,T,A,B有唯一的公共不動點(diǎn).

(I)A連續(xù)，且(S,A)相容，(T,B)弱相容；

(II)B連續(xù)，且(S,A)弱相容，(T,B)相容；

(III)A,B之一為滿射，且(S,A)和(T,B)都是弱相容的.

證明先證{xn}為映象對(A,B)的漸近正則列. 由式(1)及三角不等式得

d(Sxn,Txn)≤f[d(Sxn,Axn),d(Txn,Bxn)]+ad(Sxn,Bxn)+bd(Axn,Txn)+cd(Axn,Bxn)≤

f[d(Sxn,Axn),d(Txn,Bxn)]+akd(Sxn,Axn)+bkd(Txn,Bxn)+

(ak+bk+c)d(Axn,Bxn)，

(4)

由式(4)及三角不等式得

d(Axn,Bxn)≤kd(Axn,Sxn)+k2d(Sxn,Txn)+k2d(Txn,Bxn)≤

(k3+ak3)d(Sxn,Axn)+(k2+bk3)d(Txn,Bxn)+

(ak3+bk3+ck2)d(Axn,Bxn)+k2f[d(Sxn,Axn),d(Txn,Bxn)],

因為a+b+c<1/k4，k≥1所以ak+bk+c≤ak+bk+ck<1/k3，于是式(4)可化為

(5)

利用條件(ii)及式(2)，對式(5)取極限得

d(Axn,Bxn)→0(n→∞).

(6)

所以{xn}為映象對(A,B)的漸近正則列.

下證{Axn}是X中的柯西列. 由壓縮條件(1)及三角不等式可得

(7)

由三角不等式及式(7)可推得

d(Axn,Axm)≤kd(Axn,Sxn)+k2d(Sxn,Txm)+k3d(Txm,Bxm)+k3d(Bxm,Axm)≤

(8)

因為ak+bk+c≤ak+bk+ck<1/k3，式(8)可化為

(9)

利用條件(ii)，式(2)和式(6)，對式(9)取極限得d(Axn,Axm)→0(n,m→∞),故{Axn}是X中的柯西列. 由X完備知，存在z∈X,Axn→z(n→∞),由引理1及(ii)和式(6)可得Sxn→z,Txn→z,Bxn→z(n→∞),即

Axn→z,Sxn→z,Txn→z,Bxn→z(n→∞).

(10)

下證z是S,T,A,B的公共不動點(diǎn).

I)設(shè)A連續(xù)，且(S,A)相容，(T,B)弱相容，由A的連續(xù)性及式(10)可得A2xn→Az,ASxn→Az,

ABxn→Az,ATxn→Az(n→∞).由于式(10)，d(Sxn,Axn)→0(n→∞)，ASxn→Az(n→∞)以及(S,A)的相容性，有d(SAxn,ASxn)→0(n→∞).再由引理1可得SAxn→Az(n→∞).

下面證明Az=z.事實上，若Az≠z，由式(1)得

由引理2知d(SAxn,A2xn)→0(n→∞)，d(Txn,Bxn)→0(n→∞)，再利用引理2，對上式兩邊同取上極限并注意到a+b+c<1/k4，得

此為矛盾，故Az=z.

下證Sz=z，否則，若Sz≠z，由壓縮條件(1)及Az=z.得

對上式兩邊同取上極限并利用引理2及條件(3)可得

此為矛盾，故Sz=z.

由z=Sz∈SX?BX，存在u?X，使得Az=z=Sz=Bu，下證Bu=Tu. 事實上，若Bu≠Tu，由式(1)及式(3)可得

此為矛盾，故Bu=Tu=z. 由于(T,B)弱相容可得Tz=TBu=BTu=Bz. 由式(1)-(3)可得

f(0,0)+ad(z,Tz)+bd(z,Tz)+cd(z,Tz)≤(a+b+c)d(z,Tz).

因為a+b+c<1/k4≤1，所以d(Tz,z)=0,故Tz=z. 綜上所述z=Az=Tz=Bz=Sz，即z是S,T,A,B的公共不動點(diǎn).

下證公共不動點(diǎn)的唯一性. 設(shè)另有公共點(diǎn)w，則利用式(1)有

(a+b+c)d(z,w).

注意到a+b+c<1/k4≤1，所以d(z,w)=0,故z=w. 故z是S,T,A,B的唯一公共不動點(diǎn).

(II)當(dāng)B連續(xù)，且(S,A)弱相容，(T,B)相容時，與上述情況類似可證.

(III)設(shè)A,B之一為滿射，且(S,A)和(T,B)都是弱相容的. 不妨設(shè)A為滿射，則對z∈X,存在t∈X,使At=z. 利用式(1)有

若St≠z兩邊同取上極限并利用引理2及條件(3)得

此為矛盾，故St=z=At. 又因為(S,A)弱相容，所以Az=ASt=SAt=Sz. 由式(1)可得

兩邊同取上極限并利用引理2及條件(2)可得

f(0,0)+akd(Sz,z)+bkd(Sz,z)+ckd(Sz,z)=(a+b+c)kd(Sz,z).

因為k≥1,所以a+b+c<1/k4≤1/k2，所以d(Sz,z)=0,故Sz=z. 由z=Sz∈SX?BX，存在v?X，使得z=Az=Sz=Bv，根據(jù)(I)中相應(yīng)部分的證明，同理可證z=Az=Tz=Bz=Sz. 唯一性同理易證.

B為滿射時同理可證. 證畢.

注5如果在定理1中取k=1，則得文獻(xiàn)[9]中的相關(guān)結(jié)果，因此本定理包含文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果為特例，因而也改進(jìn)和擴(kuò)展了文獻(xiàn)[10-12]中的相關(guān)結(jié)果.

例3設(shè)X=[0,1],定義b-度量d(x,y)=(x-y)2,定義X上的自映象S,T,A,B分別為

即點(diǎn)列{xn}為映象對(A,S),(B,T)的漸近正則列. 另外易得

f[d(Sx,Ax),d(Ty,By)]+ad(Sx,By)+bd(Ax,Ty)+cd(Ax,By).

推論1設(shè)(X,d)是完備b-度量空間，{Ti}i∈I(I是指標(biāo)集，I的勢不小于2)是X上的自映象族，A,B是X上的自映象，若A,B,{Ti}i∈I滿足以下條件：

i)TiX?BX,TiX?AX(?i∈I)；

ii)存在點(diǎn)列{xn}?X為映象對(A,Ti)和(B,Ti)的漸近正則列；

iii)?x,y∈X,有

d(Tix,Tjy)≤f[d(Tix,Ax),d(Tjy,By)]+ad(Tix,By)+bd(Ax,Tjy)+cd(Ax,By).

其中a,b,c∈[0,∞),且a+b+c<1/k4,f:[0,∞)→[0,∞),滿足定理1的式(2)和式(3). 如果以下條件之一被滿足，則{Ti}i∈I,A,B有唯一公共不動點(diǎn).

(I)A連續(xù)，且(Ti,A)相容，(Ti,B)次相容；

(II)B連續(xù)，且(Ti,A)次相容，(Ti,B)相容；

(III)A,B之一為滿射，且(Ti,A)和(Ti,B)都是次相容.

證明對任意的i,j,m∈I,i≠j≠m，由定理1知A,B,Ti,Tj存在唯一的公共不動點(diǎn)zij，A,B,Ti,Tm存在唯一的公共不動點(diǎn)zim，而由壓縮條件我們知道

d(zij,zim)=d(Tjzij,Tmzim)≤f[d(Tjzij,Azij),d(Tmzim,Bzim)]+

ad(Tjzij,Bzim)+bd(Azij,Tmzim)+cd(Azij,Bzim).

由于f(0,0)=0,上式變成為

d(zij,zim)≤(a+b+c)d(Azij,Bzim).

注意到a+b+c<1/k4≤1得d(zij,zim)=0，即zij=zim，由i,j,m的任意性即得{Ti}i∈I,A,B有唯一公共不動點(diǎn). 證畢.

注6推論1中取k=1就得到了文獻(xiàn)[9]中推論1，同時如果取I的勢為2，則對應(yīng)結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[10-12]中的主要結(jié)果.

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第15卷第1期2016年1月杭州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.15No.1Jan.2016

A New Common Fixed Point Theorem for Four Maps inb-metric Spaces

LI Hedong, GU Feng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:This paper aims to utilize the compatible and weakly compatible conditions of self-mapping pair, discuss the existence and uniqueness of common fixed point for a class of mappings in b-metric spaces, and obtain a new common fixed point theorem. Meanwhile the existing conclusions in metric spaces are generalized and improved.

Key words:b-metric spaces; common fixed point; compatible mappings; weakly compatible mappings

文章編號:1674-232X(2016)01-0075-06

中圖分類號:O177.91MSC2010：47H10，54H25

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.01.015

通信作者：谷峰(1960—)，男，教授，主要從事非線性分析及應(yīng)用研究．E-mail：gufeng99@sohu.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(11071169);浙江省自然科學(xué)基金項目(Y6110287).

收稿日期：2015-06-12