陶　龍，曹　磊，周　文，張道祥

(安徽師范大學數(shù)學計算機科學學院, 安徽 蕪湖 241000)

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一類具有時滯的傳染病模型的Hopf分支分析

陶龍，曹磊，周文，張道祥

(安徽師范大學數(shù)學計算機科學學院, 安徽 蕪湖 241000)

摘要：考慮體檢和消除疾病因素的影響，提出并研究了一類具有潛伏時滯的SEIR模型.得到了正平衡點局部穩(wěn)定的以及發(fā)生Hopf分支的充分條件.進一步地,利用規(guī)范形理論和中心流形定理獲得Hopf分支的特性,如分支方向和穩(wěn)定性.所得結(jié)果改進和擴展了文獻中的相應結(jié)果.

關鍵詞：SEIR疾病模型;時滯;穩(wěn)定性;Hopf分支;周期解

0引言

數(shù)學模型中微分方程動力系統(tǒng)在理解疾病傳送機制對人口水平影響方面扮演著重要的角色[1-7].而國內(nèi)外學者產(chǎn)生興趣的重要課題之一是模型由于時滯產(chǎn)生Hopf分支進而導致周期解.

文[3-5]考慮了具有暫時免疫性的傳染病模型,研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性并得到Hopf分支參數(shù)曲線.文[6]考慮了具有非線性發(fā)生率和恢復期時滯的SIS模型,并給出了系統(tǒng)在地方性平衡點產(chǎn)生Hopf分支的充分條件.文[7]研究了具有時滯和不同潛伏期的艾滋病模型,討論了時滯影響疾病平衡點的穩(wěn)定性及分支現(xiàn)象.隨著醫(yī)療條件的改善,人類的某些疾病可以通過體檢等手段來發(fā)現(xiàn),此時通過治療從而延緩或避免自己成為疾病的傳播源[8]；再者,計算機蠕蟲病毒由于受到殺毒軟件的檢測和清除病毒的影響,其潛伏者類E的變化率也有可能與時滯有關.如文[8]研究了具有雙線性發(fā)生率和潛伏期時滯的SEIDQV計算機蠕蟲病毒模型,得到系統(tǒng)的Hopf現(xiàn)象,并提出了控制病毒傳播的隔離策略，基于此研究更具有實際意義.本文考慮了如下一類具有瞬時免疫,并且在潛伏期受體檢和清除疾病影響而帶有時滯的SEIR模型.

(1)

注意到上式中的前三個方程與R無關,所以只需要考慮如下系統(tǒng):

(2)

(3)

1平衡點的局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

H(1):R0>1

在H(1)的條件下系統(tǒng)存在地方病平衡點P*(S*,E*,I*),其中

其中

從而其特征方程為

λ3+A1λ2+A2λ+A3+e-λτ(B1λ2+B2λ+B3)=0.

(4)

其中

A1=a1+a4+a7,A2=a1a4+a1a7+a4a7-a2a6,A3=a1a4a7+a2a3a6-a1a2a6,

B1=a5,B2=a1a5+a5a7,B3=a1a5a7

當τ=0時此時的特征方程為

λ3+(A1+B1)λ2+(A2+B2)λ+A3+B3=0

(5)

H(2):

A1+B2>0

(A1+B1)(A2+B2)-(A3+B3)>0

易知當H(2)滿足時,由Routh-Huritz[10]定理可知當τ=0時平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的.

若λ=iω是特征方程(4)的根,將其實虛部分開,則有:

B2ωsin(ωτ)+(B3-B1ω2)cos(ωτ)=A1ω2-A3;

B2ωcos(ωτ)-(B3-B1ω2)sin(ωτ)=ω3-A-2ω

(6)

對上述兩個方程同時平方后相加得

ω6+r1ω4+r2ω2+r3=0

(7)

其中

h(z)=z3+r1z2+r2z+r3=0

(8)

(9)

使得方程有一對純虛根±iωk.

定義:

(10)

(11)

綜上所述:

定理1若滿足H(1)和H(2)的條件則

(1)當r3>0且Δ≤0時地方病平衡點P*是漸近穩(wěn)定的.

2Hopf分支方向和穩(wěn)定性分析

(12)

其中x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))T∈R3,Lμ:C→R,f:R×C→R.Lμ,f的表達式為:

Lμφ=[B1φ(0)+B2φ(-1)]

(13)

(14)

其中

利用Riesz表現(xiàn)定理,存在一個在θ∈[-1,0]上的有界變差函數(shù)η(θ,μ)使得

(15)

事實上可以選擇

η(θ,μ)=(τ0+μ)[B1δ(θ)+B2δ(θ+1)]

(16)

其中δ(θ)是Dirac-δ-函數(shù).

接下來,對φ∈C1([-1,0],R3)定義如下算子:

(17)

(18)

從而系統(tǒng)(12)等價為:

(19)

其中xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-1,0].

當ψ∈C1([-1,0],(R3)*)定義A的共軛算子A*為

(20)

對φ∈C1[-1,0]和ψ∈C1[-1,0]定義雙線性映射:

(21)

當η(θ)=η(θ,0)有±iτ0ω0是A(0)的特征值,再由共軛算子的性質(zhì)知±iτ0ω0也是A*(0)的特征值.

下面分別計算出A(0)和A*(0)對應τ0ω0和-τ0ω0的特征向量.設q(θ)=(1,m,n)eiτ0ω0θ為A(0)對應于iτ0ω0的特征向量,從而易知

A(0)q(θ)=iτ0ω0q(θ)

(22)

從而由A(0)的定義和式(13)(15)(16)得:

(23)

所以有

同理令q*(θ)=M(1,m*,n*)eiτ0ω0θ是A*(0)關于-iτ0ω0的特征向量,從而由A*(0)的定義和式(13),(15)得

為了保證〈q*,q〉=1,很容易計算出M.由式(21)易得:

(24)

接下來利用和Hassard[11]類似的方法,先計算中心流形C0的狀態(tài)坐標.當μ=0時,令xt是(19)在μ=0時的解.定義:

z(t)=〈q*,xt〉,W(t,θ)=xt-2Rez(t)q(θ)

(25)

從而在中心流形C0處有:

(26)

(27)

(28)

即

(29)

其中

(30)

(31)

從而

(32)

(33)

(34)

(35)

由(28)和(29)得:

(36)

其中

m21=-m11,m22=-m12,m23=m13,m24=m14

由于有:

比較式(30)得出:

由于在g21中用到了W20(θ)和W11(θ),接下來計算它們的值.由式(19)和(25)知:

(37)

令

(38)

其中

(39)

將式(37)帶入(38)并比較系數(shù)有:

(A-2iω0)W20(θ)=-H20(θ),AW11(θ)=-H11(θ),(A+2iω0)W02(θ)=-H02(θ)

(40)

從而：

(41)

(42)

由式(40)(41)(42)得:

(43)

(44)

(45)

(46)

接下來計算E1,E2.由式(40)有

(47)

(48)

從式(37)得:

(49)

(50)

注意到:

進而有

β2=2ReC1(0)

定理2在上述的情況下有以下結(jié)論:

1)μ2的正負決定了Hopf分支的方向,當μ2>0(μ2<0)時Hopf分支是向前分支(向后分支),此時分支周期解是存在的當且僅當τ>τ0(τ<τ0);

2)β2的正負決定了分支周期解的穩(wěn)定性,當β2<0(β2>0)分支周期解是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定);

3)T2的正負決定了分支周期解的周期,當T2>0(T2<0)周期是遞增(遞減)的.

參考文獻:

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第15卷第1期2016年1月杭州師范大學學報(自然科學版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.15No.1Jan.2016

Hopf Bifurcation of a Class of Delayed Epidemic Model

TAO Long, CAO Lei, ZHOU Wen, ZHANG Daoxiang

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Abstract:Considering the impact of health examination and removing infectious diseases, a new delayed SEIR model is proposed and investigated. Sufficient conditions for the local stability of the positive equilibrium and the existence of Hopf bifurcation are obtained. Further, the properties of Hopf bifurcation, such as the direction and stability, are investigated by using the normal form theory and center manifold argument. The results of references are improved and extended.

Key words:SEIR epidemic model; delays; stability; Hopf bifurcation; periodic solution

文章編號:1674-232X(2016)01-0081-07

中圖分類號:O175.14MSC2010: 92D30

文獻標志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.01.016

通信作者：張道祥(1979—)，男，副教授，博士，主要從事微分方程理論及應用研究.E-mail:18955302433@163.com.

基金項目：國家自然科學基金項目(11302002).

收稿日期：2015-05-21