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TED演講：如何學習微積分(續(xù))

中國科學院林群

第三講面積：級數(shù)的文字轉(zhuǎn)換

如何測量面積？有沒有一個計算公式？

我們所熟悉的，測量面積的自然方法，就是使用下和或上和

也使用比例表示

思想活動暴露如下：先想到，隨著分點在增加，或細分下去，小矩形面積應(yīng)該跟小曲邊梯形面積相接近

同理，當分子與分母各自相加，應(yīng)該也有

的過程或構(gòu)造，達到徹底明白.

習題或案例求單位圓面積(內(nèi)接多邊形做下和，所有切線三角形做上和).

(不足近似)____　　(過剩近似)

上下和是測量面積的合理方法，但用它做計算，就很復雜.只能作為面積的一種定義.這是阿基米德公式.牛頓-萊布尼茨公式，則通過轉(zhuǎn)換……(過程先不作解釋)，將一團面積表示為一條高

=另一曲線的無限多個微分相加=一條高

第四講由牛頓-萊布尼茨公式進入泰勒公式

以上幾講，表面上相等相似或一致：坡長、坡高以及面積的無限等式，本質(zhì)上將同類項合并為級數(shù)的無限等式.但是數(shù)據(jù)復雜度在升高，量變發(fā)生質(zhì)變：坡長與面積本是定義，計算復雜，坡高卻是求函數(shù)值，計算簡單許多.

但要求出函數(shù)值，可能還要用泰勒公式(但不必另起爐灶，只作為牛頓-萊布尼茨公式的陸續(xù)作用，見附錄三).特別用于求圓周長與面積時，可得三連環(huán)公式

從圖1中可以看出，當稱樣量在0.25～1.50g之間變化時，EDTA標準溶液滴定體積與稱樣量線性相關(guān)，說明氟化鈣的溶解度基本保持不變。通過計算可得圖1中鈣(以碳酸鈣計)質(zhì)量變化的最大值約為9.4mg，即兩次稱樣量之間碳酸鈣的質(zhì)量差在9.4mg之內(nèi)都能滿足實驗方法分析要求。

所以，分子=分母.見附錄三.這也見證了前面說過的：若沒有級數(shù)，微積分可能半途而廢.

圓乃公眾普遍關(guān)心的對象.得到三連環(huán)公式，即可收兵.有所為有所不為，知足者常樂.

到此可以說，

微積分=(牛頓-萊布尼茨公式)+泰勒公式

(若沒有泰勒公式，牛頓-萊布尼茨公式可能半途而廢).這兩大公式乃微積分的正副統(tǒng)帥.反之，課本上公式太多，千軍萬馬，多屬無病呻吟.

附錄三說書版?符號版

前幾講，暴露微積分的思想活動.先想到(有了甕)再施行(再捉鱉)，有的放矢，事半功倍.有了思想，譯成符號，一唱一和.

符號表示：當山坡表示為f(x)，則斜率與微分分別表示為

其中f′(x)=?怎么捉住或猜出？使最后右邊的比例趨于1即是.例如捉住或猜出(習題)

加上積分符號，牛頓-萊布尼茨公式寫成

亦即第0講總結(jié)所指的無限算術(shù).

無限多個數(shù)據(jù)相加=兩個已知數(shù)據(jù)相減.

泰勒公式

的推導，不必另起爐灶，由牛頓-萊布尼茨公式陸續(xù)改寫(一道習題)，或使用比例表示

=0.999….

為什么第四講會有三連環(huán)公式？請看下面轉(zhuǎn)換，如何將被積函數(shù)改寫為微分形式，從而可用牛頓-萊布尼茨公式，變?yōu)榭捎嬎?

習題

1.單位圓周長

2.半徑r的圓周長

=4rarcsin1=8rarctan1.

3.單位圓面積

=2arcsin1=4arctan1.

4.半徑r的圓面積

5.橢圓面積

以上關(guān)鍵在于被積函數(shù)改寫為微分,雖然等價但不等效,由計算復雜變到簡單.

以上歷史難題，終于統(tǒng)一到反正弦的高.

剩下這個高如何求？要靠泰勒公式,得到下面的計算公式.

6.2arcsin1=4arctan1=π

這里自動寫出后面的項.

7.如何將被積函數(shù)改寫為微分呢？上面看到，即使對圓也不容易，對大多數(shù)初等函數(shù)根本不可能.所以，牛頓-萊布尼茨公式只能斷其一指.那么，有沒有更好的公式，至少能斷初等函數(shù)的十指呢？這就是第二版將討論的歐拉積分公式.

(續(xù)完)