董德智，王 悅

(銅陵學院 電氣與電子工程學院，安徽 銅陵 244000)

Mathcad在“自動控制原理”教學中的應用

董德智，王 悅

(銅陵學院 電氣與電子工程學院，安徽 銅陵 244000)

“自動控制原理”課程涉及的數(shù)學公式較多，概念相對抽象，學生難以準確把握控制系統(tǒng)的分析方法。本文采用Mathcad進行輔助教學，將復雜的公式圖形化。把難以掌握的概念和公式形象地展現(xiàn)在學生面前，提高學生的學習興趣。

自動控制原理；Mathcad；教學

0 引言

“自動控制原理”是電氣工程及相關專業(yè)的重要基礎課程。該課程內容主要包括控制理論的基本概念與原理、控制系統(tǒng)的分析及其綜合設計等。該課程涉及的基礎知識涵蓋數(shù)學、物理學、化學、生物學、系統(tǒng)科學、電工電子、機械基礎等，其概念抽象且蘊含較多數(shù)學內容，不易掌握[1]。為了使學生熟練掌握該課程，為后續(xù)相關專業(yè)課程的學習打下堅實的基礎，要求在該課程的教學內容上和教學方式上有所更新。

Mathcad作為一款簡單易用的數(shù)學軟件，可以很方便地進行數(shù)學運算和圖形繪制[2]。其優(yōu)點是不需編寫程序就可以完成復雜的數(shù)學運算，具有很強的直觀性[3]。其人機界面非常友好，能解決許多復雜的工程計算問題[4]。在課程教學中，我們利用Mathcad的函數(shù)計算和強大的繪圖功能，詳細講解了“自動控制原理”課程的相關核心知識點，以提升教學效果。

在經典控制理論中，常用時域分析法、根軌跡法和頻域分析法來分析控制系統(tǒng)的性能[5]。本文主要闡述Mathcad在上述三種方法在控制系統(tǒng)分析中的應用。

1 在時域分析法中的應用

在控制工程中，二階系統(tǒng)的應用極為普遍，而且很多高階系統(tǒng)在一定條件下可以用二階系統(tǒng)的特征來近似。因此，對二階系統(tǒng)的全面分析具有實際意義。但是二階系統(tǒng)的相關參數(shù)對其響應的影響比較復雜，初學者很難準確掌握。我們利用Mathcad強大的計算和繪圖功能，計算典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應，并繪制其單位階躍響應曲線，進而分析系統(tǒng)參數(shù)對其影響。

典型的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(1)

其中：ζ為阻尼比，ωn為自然角頻率。

在Mathcad中，階躍函數(shù)為Φ(t)，可以獲得輸入信號u(t)=Φ(t)的拉氏變換：

進而系統(tǒng)G(s)對輸入階躍響應的拉式變換為

(2)

再用Mathcad的“invlaplace”函數(shù)計算C(s)的反拉式變換，從而得到輸出的時域響應。

為了分析相關參數(shù)對二階系統(tǒng)階躍響應的影響，可以先固定一個變量，繪制另一個變量變化時系統(tǒng)的響應曲線。

(1)自然角頻率ωn固定，分析阻尼比ζ的影響。

令ωn=10 rad/s，研究阻尼比ζ的變化對二階系統(tǒng)的單位階躍響應的影響，響應曲線如圖1所示。

圖1 ωn固定時，二階系統(tǒng)單位階躍響應

從圖1可以看出，對于欠阻尼二階系統(tǒng)(0<ζ<1)，系統(tǒng)單位階躍響應存在振蕩項，且隨阻尼比的增大，超調量減小，上升時間變慢，但系統(tǒng)最終會趨于穩(wěn)定；對于過阻尼二階系統(tǒng)(ζ<1)，系統(tǒng)單位階躍響應是非振蕩的；對于臨界阻尼二階系統(tǒng)(ζ=1)，系統(tǒng)單位階躍響應也是非振蕩的，且比過阻尼系統(tǒng)更快達到穩(wěn)定值。

(2)阻尼比ζ固定，分析自然角頻率ωn的影響。

分析ζ固定的兩種典型情況：欠阻尼(ζ=0.2)和過阻尼(ζ=2)時，自然角頻率ωn的變化對二階系統(tǒng)的單位階躍響應的影響，響應曲線如圖2所示。

圖2 ζ固定時，二階系統(tǒng)單位階躍響應

可以看出：只要阻尼比ζ固定，自然角頻率ωn越大，系統(tǒng)的響應時間越快。

從上述介紹可以看出，在Mathcad中只要有變量改變，與該變量相關的所有計算結果都會改變，學生通過設置變量的變化，觀察系統(tǒng)不同的反應，學習起來更直觀，對概念的理解也更深刻。

2 在根軌跡分析法中的應用

根軌跡法是研究閉環(huán)系統(tǒng)極點分布與回路增益之間的關系的圖解方法，使用簡單，在工程實踐中得到廣泛應用。在根軌跡法的教學中，可輔以Mathcad軟件，繪制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的根軌跡，進而分析開環(huán)增益對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

設開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為

(3)

用Mathcad繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的方法如下：

(1)計算閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征多項式H(s)。

H(s)=s4+5s3+8s2+6s+Kp

(4)

(2)利用Mathcad的“polyroots”函數(shù)計算閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，如下所示。其中sysroots(Kp)表示閉環(huán)特征方程的根函數(shù)，其變量是開環(huán)增益Kp。其中Kp=0對應的是開環(huán)傳傳遞函數(shù)的極點。

(3)設置Kp的范圍，繪制根函數(shù)的實部和虛部，得到根軌跡，如圖3所示。圖中標跡“X”表示開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。

為了形象地展現(xiàn)開環(huán)增益Kp的變化對閉環(huán)系統(tǒng)極點的影響，可以用Mathcad的“工具-動畫”菜單設置動畫。設置方法如圖4(a)所示，其中左側的“FRAME”表示動畫的幀數(shù)。設置完“終止幀”和“速率”后點擊右側的“動畫”，即可生成根軌跡動畫文件，圖4(b)為動畫文件的播放效果。

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡

(a)動畫設置界面

(b)根軌跡動畫視頻圖4 根軌跡視頻制作

從根軌跡動畫視頻可以清楚地看到，隨著增益的增加，閉環(huán)系統(tǒng)的極點會穿過s平面的jω軸，最終到達其右半平面，呈現(xiàn)了系統(tǒng)從穩(wěn)定到不穩(wěn)定的整個過程。同時，可以利用Mathcad的跟蹤功能，得到根軌跡和jω軸交點的值ω1=±1.1，進而計算Kp=8.1，得到系統(tǒng)穩(wěn)定時的增益范圍為0

3 在頻域分析法中的應用

頻域分析法是控制系統(tǒng)工程設計的又一基本方法，它和時域分析法互相補充、互相滲透，平行發(fā)展，是控制理論中非常重要的內容。本節(jié)主要介紹用Mathcad繪制開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)特性曲線(波特圖)，分析對應閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。以上一節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)式(3)為例，繪制不同增益Kp下的開環(huán)系統(tǒng)波特圖。

(1)在Mathcad中輸入系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

(2)用Mathcad的對數(shù)函數(shù)計算開環(huán)系統(tǒng)的幅值。

gain_Gi(f,K):=20·log(|GO(2·i·π·f,k)|)

(3)用Mathcad的相角函數(shù)計算開環(huán)系統(tǒng)的相位。

(4)分別繪制幅頻特性和相頻特性曲線。

圖5為開環(huán)系統(tǒng)波特圖，通過修改不同的Kp值，得到不同的特性曲線。可以看出，在Kp<8.1時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；Kp>8.1時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；而Kp=8.1時，閉環(huán)系統(tǒng)相角為-180°，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5 系統(tǒng)波特圖

同根軌跡分析法一樣，通過用Mathcad繪制開環(huán)系統(tǒng)的波特圖，可以很直觀地看出增益Kp變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。同時，在系統(tǒng)穩(wěn)定時，還能方便地看出當Kp=3時，系統(tǒng)的相角裕度γ在45°左右。

4 結語

本文就“自動控制原理”課程的三個重要教學內容，詳細說明了Mathcad軟件在控制系統(tǒng)分析和可視化教學方面的具體應用。我們引入該軟件進行教學后，發(fā)現(xiàn)學生對系統(tǒng)分析的興趣顯著提高。同時，學生可以通過自主編程、繪制課程中涉及到的復雜公式曲線，并做相關分析，這些活動大幅增強了他們獨立思考和學習的能力。實踐表明，該教學方法具有顯著的效果。

[1] 胡壽松主編.自動控制原理(第六版) [M].北京:科學出版社, 2013年3月

[2] 白明，方霄，苗俊剛.Mathcad在“微波工程”教學中的應用[J].南京:電氣電子教學學報, 2013, 35(6):104-106

[3] 陳昀，郝楠.Mathcad在華工數(shù)值方法中的應用[J].北京:計算機與應用化學, 2003, 20(1):71-74

[4] 毛建華，華建文.MATHCAD解決工程問題[J].北京：計算機應用與軟件, 2005, 22(12):136-138

[5] Farid Golnaraghi, Benjamin C.Kuo.Automatic Control Systems [M].New York:John Wiley &Sons, Inc, 2010.5

Application of Mathcad in the Teaching of Automatic Control Theory

DONG De-zhi, WANG Yue

(CollegeofElectricalEngineering,TonglingCollege,Tongling244000,China)

Automatic Control Theory course is full of complex mathematical formulas and abstract concepts, It is difficult for students to accurately grasp the way of analyzing control systems.This paper tries to apply Mathcad to assist teaching and transform formulas and concepts involved in the process of the control system analysis to figures.It is convenient to demonstrate the complex concepts and formulas in front of students and the students′ study interests are enhanced finally.

automatic control theory; Mathcad; teaching

2016-01-08;

2016-04-07

董德智(1980-)，男，碩士，講師，主要從事電力電子變換器設計和控制的教學和研究工作，E-mail：dezhidong@126.com

G434

A

1008-0686(2016)06-0146-04