耿盛韋，王志瑾，胡秋野

（南京航空航天大學(xué) 飛行器先進設(shè)計技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室，南京 210016）

預(yù)應(yīng)力下空間站柔性太陽翼動力學(xué)特性分析

耿盛韋，王志瑾，胡秋野

（南京航空航天大學(xué) 飛行器先進設(shè)計技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室，南京 210016）

空間站柔性太陽翼上有以下預(yù)應(yīng)力：1）在軌工作時，會周期性進出地球陰影區(qū)，結(jié)構(gòu)溫度會發(fā)生周期性的變化，溫差在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生了熱應(yīng)力；2）中央桁架斜拉桿上作用有展開預(yù)應(yīng)力；3）柔性陣面上施加有張緊力。這些預(yù)應(yīng)力都會引起幾何剛度，從而改變太陽翼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性。文章使用Abaqus非線性動力學(xué)求解功能，首先對中央桁架部分和柔性陣面部分分別建立有限元模型，研究預(yù)應(yīng)力對太陽翼動力學(xué)特性的影響，發(fā)現(xiàn)只有柔性陣面上的張緊力影響最為顯著；然后針對完整的太陽翼結(jié)構(gòu)，考慮陣面張緊力作用下，研究其動力學(xué)特性，并與未考慮預(yù)應(yīng)力引起的剛度變化時的結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性進行對比分析。

太陽翼；撓性結(jié)構(gòu)；幾何剛度；動力學(xué)特性；有限元方法

0 引言

空間站在軌運行期間會周期性進出地球陰影區(qū)和日照區(qū)，使柔性太陽翼各部分經(jīng)受周期性的溫度變化，從而產(chǎn)生熱應(yīng)力；另外，太陽翼的中央桁架斜拉桿上施加有預(yù)應(yīng)力；再者，太陽翼的柔性陣面上施加有維持陣面剛度的張緊力。這些因素都將引起幾何剛度，從而改變結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性。

由于空間站的型號和數(shù)量很少，柔性太陽翼的種類非常有限，在軌使用的也只有幾個，有關(guān)柔性太陽翼動力學(xué)特性研究的文獻很少。近年來，隨著新一輪航天技術(shù)的快速發(fā)展，柔性太陽翼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性研究受到了越來越多的關(guān)注。Dorsey等[1]通過線性理論分析柔性太陽翼動力學(xué)特性，Thornton等[2-3]使用懸臂梁與張力薄膜單元分別建立國際空間站柔性太陽翼與“哈勃”望遠鏡卷起式太陽翼的連續(xù)介質(zhì)模型，通過彈性體振動理論獲得了結(jié)構(gòu)低階模態(tài)的解析解；Carney[4]采用單根懸臂梁等效中央桁架，殼單元作為柔性陣面，利用有限元軟件Nastran中非線性求解器SOL105，獲得了柔性太陽翼結(jié)構(gòu)前 5階模態(tài)的有限元解；孔祥宏等[5-6]采用梁單元和桿單元建立中央桁架，使用殼單元建立陣面，得到結(jié)構(gòu)的全尺寸有限元模型，分析了結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性及在軌熱響應(yīng)特征。

對已有文獻進行分析發(fā)現(xiàn)，在對太陽翼動力學(xué)特性進行研究中，有2點不足：一是計算分析模型過于簡單；二是計算分析都以線彈性為前提，未考慮預(yù)應(yīng)力引起的幾何剛度。因為考慮預(yù)應(yīng)力時，結(jié)構(gòu)剛度求解是幾何非線性的，計算過程需要多次迭代，對于像大型柔性太陽翼這樣大尺寸的剛?cè)峄旌辖Y(jié)構(gòu)，計算量和難度都非常大，有時迭代還會不收斂，所以多數(shù)學(xué)者使用線性有限元理論，將幾何剛度忽略。

針對以上問題，本文沿用馬澤策等[7]使用的詳細有限元模型，考慮幾何剛度的影響，研究陣面張緊力、桁架熱應(yīng)力以及桁架斜拉桿展開力對柔性太陽翼動力學(xué)特性的影響。

1 考慮幾何剛度的動力學(xué)理論

1.1 應(yīng)力剛化現(xiàn)象

對于撓性結(jié)構(gòu)，存在大變形、大轉(zhuǎn)角或大應(yīng)變問題，此時幾何方程變?yōu)榉蔷€性，即在線性方程的基礎(chǔ)上增加了二次導(dǎo)數(shù)項[8]，其張量表示為

同時，當結(jié)構(gòu)受到預(yù)應(yīng)力時，振動時應(yīng)力可表示為

其中：σ0為結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力；σ1為結(jié)構(gòu)振動過程中產(chǎn)生的應(yīng)力。利用式(1)與式(2)求解結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，并略去高階項，代入哈密頓原理[9-10]，得到結(jié)構(gòu)剛度矩陣

式中：KL為剛度矩陣的線性項；KNL為剛度矩陣的非線性項，稱為幾何剛度。表達分別為：

其中：BL與BNL分別為線性應(yīng)變向量和非線性應(yīng)變向量與節(jié)點位移向量的轉(zhuǎn)換矩陣，稱為幾何矩陣，表示為相應(yīng)微分算子矩陣與形函數(shù)矩陣的乘積，具體形式因單元而異；D為材料的本構(gòu)矩陣，即應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系；S為應(yīng)力矩陣。

預(yù)應(yīng)力可以是機械載荷，也可以由溫度載荷產(chǎn)生。溫度引起結(jié)構(gòu)的變形，同時結(jié)構(gòu)變形被約束時，將產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)力，當溫度變化為 ?T，熱膨脹系數(shù)為α，對應(yīng)的應(yīng)變和應(yīng)力為：

由此發(fā)現(xiàn)，考慮幾何非線性時，結(jié)構(gòu)上的預(yù)應(yīng)力將引起剛度矩陣的非線性附加項幾何剛度，受到拉應(yīng)力作用時，應(yīng)力矩陣為正，幾何剛度也為正，總體剛度增加；受到壓應(yīng)力則相反，總體剛度減小。這種在考慮幾何非線性前提下應(yīng)力對剛度矩陣的影響，稱為應(yīng)力剛化。

幾何剛度的求解需考慮幾何非線性，通過前一個平衡迭代的應(yīng)力狀態(tài)來計算，至少要迭代2次，計算過程中經(jīng)常會遇到迭代不收斂，增加了計算難度。

1.2 預(yù)應(yīng)力對動力學(xué)特性的影響

動力學(xué)求解的基本控制方程為

其中：M為質(zhì)量陣；C為阻尼陣；K為剛度陣；F為外力陣。

在研究結(jié)構(gòu)的固有動力學(xué)特性時，不考慮阻尼項和外力，即C={0}，F(xiàn)={0}，此時方程(9)變?yōu)?/p>

該方程的解可以設(shè)為x=Xsin(ωt+φ)，將其代入式(10)，可得

式(11)具有非零解的條件是

求解動力學(xué)問題，剛度矩陣一般只有線性項KL，無法描述應(yīng)力對結(jié)構(gòu)剛度的改變；當考慮幾何非線性時，結(jié)構(gòu)內(nèi)部的預(yù)應(yīng)力場會使剛度矩陣產(chǎn)生非線性附加項（即幾何剛度KNL），導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生改變，以此得到的結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)振型也將發(fā)生改變，即改變動力學(xué)特性。

2 算例分析

商用有限元軟件 Abaqus提供了強大的非線性求解功能[11]，使用文獻[12]中的算例進行驗證。根據(jù)文獻中計算模型，求解繩索在張緊力作用下的動力學(xué)特性。繩索截面積1.979 mm2，彈性模量206.84 GPa，密度 7801 kg·m-3，受到的張緊力為2224 N；采用梁單元模擬繩索，劃分為20個單元，邊界條件取為兩端簡支，平動自由度釋放端作用集中載荷P，有限元模型如圖1所示。

圖1 張緊繩有限元計算模型Fig.1 Finite element model of the cable under tension

文獻[12]中 Thomson使用弦振動解析法求解的張緊繩索前4階固有頻率可認為是精確解。將其與Abaqus數(shù)值計算結(jié)果進行對比（見表1），從中可以看出計算誤差最大僅為 4.1%，在工程允許的誤差范圍內(nèi)。由此可以證明Abaqus在求解涉及幾何剛度的動力學(xué)問題上有較高的準確性。

表1 繩索非線性模態(tài)解析解與Abaqus有限元解對比Table 1 Comparison of analytical and numerical solutions of cable’s nonlinear modes

沒有張緊力時，繩子的固有頻率幾乎為0。因此從表1的計算結(jié)果還可以看出，張緊力對繩子的動力學(xué)特性有很大影響。

3 柔性太陽翼結(jié)構(gòu)

柔性太陽翼主要由剛性中央桁架、柔性陣面、箱體、收藏箱、抬升機構(gòu)5部分組成，如圖2所示，陣面與箱體通過繩索連接，中央桁架兩端通過剛性型材與箱體連接，抬升機構(gòu)末端連接艙體。

圖2 柔性太陽翼結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Configuration diagram of the flexible solar array

4 中央桁架動力學(xué)特性分析

中央桁架結(jié)構(gòu)共有34節(jié)，單節(jié)結(jié)構(gòu)（如圖3所示）由縱桿、橫框和斜拉桿組成，展開后斜拉桿上會作用展開力。在有限元建模中，縱桿和橫框采用梁單元，斜拉桿采用桿單元，它們的幾何和力學(xué)參數(shù)如表2所示。

圖3 剛性中央桁架單節(jié)結(jié)構(gòu)Fig.3 One node of rigid central truss

表2 桁架單元性能參數(shù)Table 2 Properties of truss

實際結(jié)構(gòu)中，中央桁架兩端與陣面收藏箱連接，末端通過抬升機構(gòu)連接到空間站艙體。陣面與箱體的剛度相對于桁架非常小，可以不考慮其對桁架的約束作用；末端連接的抬升機構(gòu)與空間站艙體剛度均很大，需考慮它們對桁架末端的約束，因此桁架有限元模型的邊界條件為根部固支。在軌飛行過程中，進出地球陰影區(qū)會導(dǎo)致桁架的溫度發(fā)生改變，從而產(chǎn)生熱應(yīng)力；同時，桁架上的斜拉桿在展開后會作用1 MPa展開應(yīng)力?？紤]幾何剛度時，熱應(yīng)力和斜拉桿上的展開應(yīng)力都會影響結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性。

在軌飛行期間，桁架上結(jié)構(gòu)的溫度場由I-DEAS軟件TMG模塊解出[13]，計算時將桁架溫度等效為各節(jié)點溫度，1個周期內(nèi)存在最高溫與最低溫2個極限時刻。從熱分析的結(jié)果已知，桁架溫度不隨x軸變化，因此，可以將每一節(jié)Oyz平面內(nèi)的9個點進行編號（如圖4所示），并將表3所給出的2個極限狀態(tài)的溫度分別加載，以此求解高溫與低溫作用下桁架的動力學(xué)特性。

圖4 桁架節(jié)點編號Fig.4 Numbering of truss nodes

表3 桁架節(jié)點溫度Table3 Node temperature of the truss

在桁架結(jié)構(gòu)上分別加載低溫時刻與高溫時刻的溫度載荷以及斜拉桿預(yù)應(yīng)力，使用Abaqus計算考慮幾何剛度時溫度載荷和預(yù)應(yīng)力影響下前10階模態(tài)，將計算結(jié)果與不考慮幾何剛度的結(jié)果進行對比，如表4所示。

表4 中央桁架前10階模態(tài)對比Table 4 Comparison of the first ten modes of the central truss

從表4可以看出，在不考慮溫度載荷與預(yù)應(yīng)力時，桁架的模態(tài)主要是以二階彎曲和一階扭轉(zhuǎn)的形式循環(huán)出現(xiàn)，同時由于結(jié)構(gòu)在Oyz平面的對稱性，彎曲模態(tài)經(jīng)常以重頻形式出現(xiàn)。

將表4中計算結(jié)果進行對比，得到如下結(jié)論：

1）在考慮幾何剛度影響情況下，基本趨勢為高溫時頻率下降，低溫時頻率上升，主要原因是高溫時結(jié)構(gòu)受壓，剛度減小，低溫時結(jié)構(gòu)受拉，剛度增大；但扭轉(zhuǎn)頻率始終都下降，主要原因在于在軌飛行中桁架結(jié)構(gòu)的遮擋作用使結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生不均勻的溫度場，造成熱應(yīng)力，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)的趨勢，減小了結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度，扭轉(zhuǎn)頻率降低。

2）不考慮幾何剛度情況下求解會得到重頻振型，但在考慮預(yù)應(yīng)力時不再出現(xiàn)重頻，原因在于雖然結(jié)構(gòu)幾何對稱，但溫度載荷的非對稱使結(jié)構(gòu)剛度不再對稱，故重頻消失。

3）當考慮斜拉桿展開應(yīng)力時，解得的頻率升高，但這個頻率改變比熱應(yīng)力作用下的還要小。

4）雖然考慮幾何剛度時頻率會發(fā)生改變，但從表4可以看出，頻率變化量很小，前10階頻率最大變化量僅為 0.1%，而且桁架的振型也未發(fā)生改變。主要原因在于在軌階段溫差很小，結(jié)構(gòu)受到的熱應(yīng)力不大，斜拉桿預(yù)應(yīng)力則比熱應(yīng)力還要小得多，同時由于結(jié)構(gòu)本身是剛性結(jié)構(gòu)，KL比KNL大得多，所以溫度載荷和斜拉桿展開應(yīng)力對桁架的動力學(xué)特性影響很小。

5 柔性陣面動力學(xué)特性分析

柔性陣面通過兩側(cè)的繩索與箱體連接，結(jié)構(gòu)如圖5所示。陣面以柔性基板為基底，可劃分為4個區(qū)域，3、4區(qū)域貼電池片，1、3區(qū)域布置電纜，4個區(qū)域材料的力學(xué)性能和厚度如表5所示，陣面兩側(cè)通過4根繩索與箱體連接，繩索長0.256 m，截面半徑0.5 m，楊氏模量210 GPa。密度7800 kg·m-3，單根繩索預(yù)緊力50 N。

圖5 柔性陣面結(jié)構(gòu)Fig.5 Configuration diagram of the flexible solar blanket

表5 柔性陣面參數(shù)Table 5 Properties of the solar blanket

有限元模型中，陣面選用殼單元，繩索選用梁單元，通過MPC（多點約束）beam約束連接繩索與陣面，兩側(cè)繩索與箱體連接簡化為簡支邊界條件，并在平動約束釋放端作用張緊力。

展開過程中，張緊機構(gòu)通過繩索施加張緊力，用以維持陣面剛度；同時這套張緊機構(gòu)可調(diào)節(jié)繩索的松緊，使張緊力保持不變，從而消除由于溫度變化及桁架熱變形在陣面上產(chǎn)生的熱應(yīng)力影響。因此，研究陣面的非線性動力學(xué)特性時，只考慮張緊力的作用而不考慮陣面自身的熱應(yīng)力。表6為考慮張緊力作用下陣面的前10階模態(tài)與無張緊力作用下模態(tài)的對比。

表6 陣面前10階模態(tài)頻率對比Table 6 Comparision of solar blankets’ first ten orders of modal frequency

從表6中可以明顯看出，考慮張緊力作用時，前10階頻率相比不考慮張緊力作用的線性理論計算結(jié)果要高出很多，尤其是第1階頻率增長45倍。同時，陣面的振型也發(fā)生了明顯的改變。圖6給出了一階彎曲模態(tài)與一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)的振型對比，可以看出，考慮預(yù)緊力時不僅振型發(fā)生變化，它們出現(xiàn)的順序也發(fā)生了改變，一階彎曲模態(tài)從第1階變?yōu)榈?階；一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)由第3階變?yōu)榈?階。

圖6 陣面振型對比Fig.6 Comparison of modal shapes of the solar blankets

引起陣面動力學(xué)特性發(fā)生顯著改變的主要原因在于柔性陣面本身材料模量很??；厚度也很小，結(jié)構(gòu)自身的剛度矩陣線性項KL很小，但預(yù)緊力所產(chǎn)生的幾何剛度項KNL與線性項KL達到了同一量級，顯著影響了結(jié)構(gòu)剛度，從而改變結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性。

通過對剛性中央桁架和柔性陣面進行單獨建模分析，可以發(fā)現(xiàn)幾何剛度對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的影響不僅取決于預(yù)應(yīng)力的大小，還取決于結(jié)構(gòu)自身的剛度特性。

6 太陽翼全結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性分析

太陽翼全結(jié)構(gòu)有限元模型如圖7所示。箱體采用六面體單元，桁架兩端與箱體建立剛體約束，模擬圖2所示的剛性型材連接，桁架末端通過集中質(zhì)量和線剛度模擬收藏箱與抬升機構(gòu)，抬升機構(gòu)末端固支，模擬太陽翼與艙體連接。

圖7 太陽翼全結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.7 Finite element model of the solar array

根據(jù)前面的分析，中央桁架上的熱應(yīng)力與斜拉桿展開應(yīng)力對動力學(xué)特性影響很小，陣面上的預(yù)緊力影響則很大，因此在分析太陽翼全結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性時，忽略剛性中央桁架的幾何剛度，只考慮陣面上張緊力所產(chǎn)生的影響。

單根繩作用大小為50 N張緊力，模擬太陽翼展開后陣面的張緊狀態(tài)。前10階模態(tài)結(jié)果對比見表7。可以看出在考慮陣面預(yù)緊力的作用后，全結(jié)構(gòu)的頻率發(fā)生了顯著提升，第 2階頻率變化最顯著，增長到原來的57倍。

表7 太陽翼前10階模態(tài)對比Table 7 Comparison of solar array’s first ten orders of modal frequency

對計算結(jié)果進行分析可知，太陽翼的振型可分為3類：第1類為陣面與桁架同時發(fā)生彎曲振動，如圖8(b)中彎曲模態(tài)所示；第2類為桁架與陣面同時發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動，如圖8(b)中扭轉(zhuǎn)振型所示；第3類為僅陣面產(chǎn)生變形，如圖8(a)中彎曲振型和扭轉(zhuǎn)振型所示，與文獻[2]中的解析計算結(jié)果相一致。

雖然第3類振型所占數(shù)量最多，但引起結(jié)構(gòu)熱誘發(fā)振動的本質(zhì)在于桁架上周期變化的熱應(yīng)力引起桁架的變形，桁架進一步帶動柔性陣面產(chǎn)生振動，所以第3類振型在太陽翼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性中并不占主導(dǎo)作用[2]。

對結(jié)構(gòu)的振型做進一步分析可以發(fā)現(xiàn)：在不考慮陣面張緊力時，計算結(jié)果中均為第3類振型，原因在于此時柔性陣面剛度太小，以至前10階模態(tài)均由陣面激發(fā)，與桁架無關(guān)；考慮張緊力作用時陣面剛度增加，前10階模態(tài)中存在第1類與第2類振型，因此考慮幾何剛度的計算結(jié)果更接近真實情況。

7 結(jié)論

本文以幾何剛度理論為基礎(chǔ)，對剛性桁架、柔性陣面和太陽翼全結(jié)構(gòu)分別建模，對其進行結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性分析，對是否考慮幾何剛度的計算結(jié)果進行對比，得到以下結(jié)論：

1）剛性中央桁架由于自身剛度很大，在軌飛行時中央桁架上溫度載荷與展開過程引起的預(yù)應(yīng)力對其動力學(xué)特性影響很小，可以忽略。

2）太陽翼陣面自身彈性模量低、厚度小、剛度小，因此當陣面上作用有一定張緊力時，對陣面剛度影響很大，必須考慮張緊力對太陽翼動力學(xué)特性的影響。

3）陣面有張緊力作用時，出現(xiàn)中央桁架與陣面一起發(fā)生運動的振型。由于結(jié)構(gòu)的振動是由中央桁架所激發(fā)，所以此類振型能客觀地反映熱誘振動本質(zhì)，考慮幾何剛度得到的計算結(jié)果符合真實情況。

4）對于柔性太陽翼結(jié)構(gòu)，必須考慮幾何剛度對動力學(xué)特性的影響。如果有計算成本的限制，可只考慮柔性陣面張緊力產(chǎn)生的幾何剛度，忽略剛性中央桁架熱應(yīng)力和展開力對幾何剛度的影響。

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（編輯：馮露漪）

Dynamic characteristics of a space station’s flexible solar array with prestress

GENG Shengwei, WANG Zhijin, HU Qiuye
(Ministerial Key Laboratory of Advanced Design Technology of Aircraft, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

The flexible solar array (FSA) of a space station has the following kinds of prestresses: (1) the thermal stress caused by periodically varying temperature field in the central truss; (2) the deployment stress in the oblique rod of the central truss; (3) pretension in the flexible solar blanket.These kinds of prestresses will affect the geometric stiffness and change the dynamic characteristics of the FSA.The Abaqus nonlinear dynamic solver is used in this paper.First of all, the central truss and the flexible solar blankets are modeled separately to analyze the effect of the prestress.Results show that the pretension in the flexible solar blanket plays a major role in affecting the dynamic characteristics.Then, the whole model of the FSA is built to analyze its dynamic characteristics in consideration of the pretension.Finally, a comparison is made between the results with and without the prestress.

solar array; flexible structure; geometric stiffness; dynamic characteristics; finite element method

V414.3

：A

：1673-1379(2016)05-0490-07

10.3969/j.issn.1673-1379.2016.05.006

耿盛韋（1992—），男，回族，碩士研究生，主要研究方向為飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計；E-mail: gengshengwei@qq.com。指導(dǎo)教師：王志瑾（1963—），女，博士學(xué)位，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事輕質(zhì)航空航天結(jié)構(gòu)設(shè)計技術(shù)等研究。

2016-03-04；

：2016-07-20

江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程基金資助項目