程家曦，倪書進(jìn)，徐四六*

(1.湖北科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，湖北 咸寧 437100；2.咸寧實驗中小學(xué)，湖北 咸寧 437100 )

PT對稱晶格勢中的光孤子傳輸特性的研究

程家曦1，倪書進(jìn)2，徐四六1*

(1.湖北科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，湖北 咸寧 437100；2.咸寧實驗中小學(xué)，湖北 咸寧 437100 )

利用改進(jìn)的平方算符法和傅里葉配點法以及分步傅里葉算法研究了二維非線性PT對稱晶格勢中的基極和二級光孤子。研究表明，兩種孤子功率都隨著傳播常數(shù)的增加而增大，隨著調(diào)制深度的增加而減小。二極孤子內(nèi)部的排斥力作用導(dǎo)致光束在PT勢中分裂成四極孤子。而對于PT 晶格勢，當(dāng)實部的晶格調(diào)制系數(shù)V0增大時，PT勢的相對強度的帶隙結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，PT強度呈波浪式增大，而孤子在低能量區(qū)域是穩(wěn)定的，高能量區(qū)域不穩(wěn)定。

改進(jìn)的平方算符法；分步傅里葉算法；多極光孤子；PT對稱勢

孤子又是一種特殊的超短脈沖，孤立波是一種在傳播過程中保持形狀、速度、幅度不變的脈沖狀行波[1]。鑒于孤子具有的這些特性，孤子系統(tǒng)在現(xiàn)實世界有著廣泛的應(yīng)用潛力[2]。因此，孤子的形成及其傳輸特性的研究在目前是一個十分誘人的課題。

近年來, PT對稱晶格介質(zhì)中的空間孤子一直是研究的熱點,人們對它們的各種獨特的性質(zhì)例如相互作用、穩(wěn)定性進(jìn)行了大量研究[3-5]。 PT對稱即哈密頓量宇稱-時間對稱，在量子力學(xué)中，哈密頓量是要對所有物理可觀察量都必須是厄米共軛[6]。1998年，C.M.Bender提出了一個非厄米-哈密頓量，即PT對稱哈密頓量，它可以完全展現(xiàn)出實譜，要滿足PT對稱性的要求，則該哈密頓量要與算子共有一系列相同的本征值[7]。則勢函數(shù),即PT對稱勢的實部必須是偶函數(shù),虛部必須是奇函數(shù)。當(dāng)超過某一閾值時，這種哈密頓量會發(fā)生相變，這時的本征值譜不再全為實數(shù)，而是變成部分為復(fù)數(shù)[8]。由于首次引入PT對稱勢的概念 ，自此，線性與非線性系統(tǒng)中的PT對稱哈密頓量相關(guān)的物理現(xiàn)象被廣泛關(guān)注。光在PT對稱哈密頓量介質(zhì)中具有獨特的傳輸特性，2008年，Z.H.Musslimani等人對一維和二維PT周期晶格中的光孤子傳輸特性做出了跨越性的研究[9]，使得該領(lǐng)域又迎來了新的研究熱潮。最近幾年，PT對稱晶格中的非局域帶隙孤子[10]，渦旋多峰孤子[11,12]等；盡管如此，對PT對稱光空間中光孤子的傳輸特性研究仍有待深入，還有很多孤子類型與特殊的性質(zhì)等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。

本文基于二維非局域非線性薛定諤方程, 在前期研究[13-26]的基礎(chǔ)上，通過數(shù)值模擬得到非局域暗孤子解, 然后提出了暗孤子穩(wěn)定性分析理論, 并對其數(shù)值求解得到了非局域暗孤子的穩(wěn)定性分析圖, 最后利用加噪聲的傳輸驗證了穩(wěn)定性分析理論的正確。

一、理論模型

光束在(2+1)維PT對稱晶格勢非線性介質(zhì)中沿著z軸傳播，那么歸一化的非線性薛定諤方程

(1)

其中，φ為包絡(luò)函數(shù)，T是調(diào)制深度，V(x,y),W(x,y)分別為PT對稱晶格勢的實部和虛部,其非線性項為三五次競爭。

假設(shè)方程(1)中孤子解的形式為φ=f(x,y)eiμz，μ為傳播常數(shù)，模f(x,y)滿足該方程

(2)

求解孤子，我們利用平方算符法對(2)進(jìn)行數(shù)值求解，而對于所得到的孤子穩(wěn)定性，我們對方程(1)采用微擾解進(jìn)行穩(wěn)定性分析

φ=eiμz{f(x,y)+[g(x,y)-h(x,y)]eλz+

[g(x,y)+h(x,y)]*eλ*z}

(3)

將上式代入到式(1)并對g(x,y),h(x,y)進(jìn)行線性化，得到他們的本征方程為：

(4)

其中，

(5)

我們利用傅里葉配點法[22]對孤子進(jìn)行穩(wěn)定性求解，若本征值的實部為零，則孤子線性穩(wěn)定，反之，線性不穩(wěn)定。孤子的總功率P=∫-∞+∞∫-∞+∞|f(x,y)|2dxdy。

求解非線性方程的解析解的條件是滿足可積，但是在一般情況下可積性條件是不滿足的，為了探究方程(1)的孤子解，我們將使用改進(jìn)的平方算符法求得其數(shù)值解，即近似解。在此，選用高斯光為入射光，取PT晶格為雙曲-三角對稱晶格勢

V(x,y)=V0(sech2(x)+sech2(y))(cos(-x2)+cos(-y2))

(6a)

W(x,y)=W0(tanh(2x)+tanh(2y))(cos(-x2)+cos(-y2))

(6b)

為了便于討論，取PT勢的實部強度V0=1。虛部強度W0=0.1。PT勢的分布如圖1所示，可以看到其實部V 關(guān)于原點偶對稱，虛部W關(guān)于原點奇對稱。PT勢強度隨著調(diào)制參數(shù)V0、W0的增大而波浪式增大。

圖1 PT勢分布(a)(b)(c)為PT勢實部分布；(d)(e)(f)為PT勢虛部分布；(g)為PT勢實部調(diào)制參數(shù)V0與PT勢的關(guān)系分布；(h)為PT勢虛部調(diào)制參數(shù)W0與PT勢的關(guān)系分布；(i)為PT晶格勢函數(shù)系數(shù)對PT勢強度影響的關(guān)系圖；

二、基極孤子

首先對方程(1)進(jìn)行求解得到基極孤子，圖2(a)為μ與P的關(guān)系圖，可以看出功率P隨著μ的增加而增加，圖中實線表示穩(wěn)定區(qū)域,虛線表示不穩(wěn)定區(qū)域。圖2(b)是T與功率P的關(guān)系，隨著T的增加P減小，當(dāng)μ增加時P隨著T減小的速度變緩。圖2(c)是μ與微擾實部Re(λ)之間的關(guān)系，當(dāng)實部>0時，對應(yīng)的基極孤子不穩(wěn)定。孤子在光晶格傳輸有一個存在區(qū)域與穩(wěn)定區(qū)域，調(diào)制深度與傳播常數(shù)μ的存在閾值μ1穩(wěn)定閾值μ2是一一對應(yīng)的，基極孤子存在時傳播常數(shù)μ>μ1(圖2(a))，而在穩(wěn)定時μ>μ2(圖2(c))，所以基極孤子的穩(wěn)定區(qū)域是δ(μ)=μ2-μ1，圖2(d)，2(e)，2(f)分別為T與μ1，μ2，δ(u)之間的關(guān)系?？梢钥闯龌鶚O孤子在調(diào)制深度T≥0時存在(圖2(d))，且隨著T的增大，μ1和μ2均增加，而穩(wěn)定區(qū)域δ(μ)先增大后減小，在T=7時穩(wěn)定區(qū)域最小。

圖2 (a)傳播常數(shù)μ與功率P的關(guān)系；(b) 調(diào)制深度T與P的關(guān)系；(c)傳播常數(shù) μ與微擾增長率實部Re(λ)的關(guān)系；(d)調(diào)制深度T與傳播常數(shù)存在閾值μ1的關(guān)系；(e)調(diào)制深度T與傳播常數(shù)穩(wěn)定閾值μ2的關(guān)系；(f)調(diào)制深度T與穩(wěn)定區(qū)域δ(μ)的關(guān)系。

圖3(a)、(b)、(c)表示不同調(diào)制深度T和傳播常數(shù)μ時基極孤子的強度分布，圖3(a)、(b)、(c)分別對應(yīng)圖2(a)功率曲線中所標(biāo)出的三個點。當(dāng)T=2，μ增加時，圖3(a)中孤子的光強小于圖3(b)；當(dāng)μ=10，T增加時，圖3(b)中孤子的光強大于3(c)。圖3(d)、(e)、(f)是對應(yīng)孤子實部的光場分布，圖3(g)、(h)、(i)為孤子的虛部分布?？梢姽鈭鰧嵅筷P(guān)于原點偶對稱，而虛部關(guān)于原點奇對稱，基極孤子與PT勢的對稱相關(guān)。圖3(j)、(k)、(l)是對應(yīng)孤子的穩(wěn)定性光譜，由于孤子圖3(d)的光譜僅僅包含虛部本征值，因此這個是孤子穩(wěn)定的；而孤子圖3(a)、(b)的光譜包含兩對復(fù)數(shù)和兩對實數(shù)本征值，所以此孤子不穩(wěn)定。對應(yīng)圖2(a)孤子的穩(wěn)定區(qū)域。

三、二極孤子

我們再對方程(1)求解得到二極孤子。圖4(a)是功率P與傳播常數(shù)μ之間的關(guān)系，可以看到P隨μ的增大而增大，圖中實線是表示穩(wěn)定區(qū)域，虛線表示不穩(wěn)定區(qū)域，其中，調(diào)制深度T增大，功率P隨μ的增加而增加的速率變緩。而圖4(b)為功率P與調(diào)制深度T之間的關(guān)系，隨著T的增加P減小，其中，傳播常數(shù)μ增大，P隨T的增加而減小的速率變緩。圖4(c)是傳播常數(shù)μ與微擾因子實部Re(λ)之間的關(guān)系，當(dāng)實部>0時，對應(yīng)的孤子不穩(wěn)定。孤子傳輸?shù)拇嬖趨^(qū)域與穩(wěn)定區(qū)域中，調(diào)制深度與傳播常數(shù)μ的存在閾值μ1穩(wěn)定閾值μ2是一一對應(yīng)，孤子存在時傳播常數(shù) (圖4(a))，而孤子穩(wěn)定時μ<μ2(圖4(c))，所以二極孤子的穩(wěn)定區(qū)域是δ(μ)=μ2-μ1，圖4(d)-(f)分別為T與μ1，μ2，和δ(μ)之間的關(guān)系?？梢钥闯龆O孤子在調(diào)制深度T≥0時存在(圖4(d))，且隨著T的增大，μ1和μ2均增加，而穩(wěn)定區(qū)域δ(μ)先增大后減小，在T=4穩(wěn)定區(qū)域最小。

圖3 (a)(b)(c) 基極孤子強度分布圖，參數(shù)為(a)T = 2，μ =5，(b) T = 2 ，μ = 10，(c) T = 3，μ = 10，分別對應(yīng)圖3(a)功率曲線所標(biāo)出的3個點；(d)(e)(f) 基極孤子光場實部分布；(g)(h)(i) 基極孤子光場虛部分布；(j)(k)(l) 基極孤子線性穩(wěn)定性光譜

圖4 (a) 傳播常數(shù)μ與功率P的關(guān)系；(b) 調(diào)制深度T與P的關(guān)系；(c)傳播常數(shù) μ與微擾增長率實部Re(λ)的關(guān)系；(d)調(diào)制深度T與傳播常數(shù)存在閾值μ1的關(guān)系；(e)調(diào)制深度T與傳播常數(shù)穩(wěn)定閾值μ2的關(guān)系；(f)調(diào)制深度T與穩(wěn)定區(qū)域δ(μ)的關(guān)系。

圖5(a)-(c)表示不同調(diào)制深度T和傳播常數(shù)μ時二極孤子的光場分布，其分別對應(yīng)圖4(a)中所標(biāo)出的三個點。當(dāng)T=6，傳播常數(shù)μ增加時，圖5(b)中孤子的光強大于5(a)；當(dāng)μ=13.8時，圖5(c)中孤子的光強小于圖5(b)。圖5(d)-(f)時對應(yīng)的二極孤子的光場實部，可以看出它是關(guān)于原點奇對稱。圖5(g)-(i)是二極孤子虛部分布。它是關(guān)于原點偶對稱。圖5(j)(k)(l)是對應(yīng)孤子的線性穩(wěn)定性光譜，由于孤子5(a)，5(b)的本征譜僅僅包含虛數(shù)特征值，因此這兩個孤子穩(wěn)定；而孤子圖3(c)的本征譜包含兩對復(fù)數(shù)和兩對實特征值，因此該孤子線性不穩(wěn)定。這是由于方程1中的非線性項是三五次競爭，它在與晶格的相互作用下限制了色散，非線性效應(yīng)加強光束寬度變小抑制了孤子的能量轉(zhuǎn)移，使得在這種平衡狀態(tài)下得到穩(wěn)定孤子。二極孤子之間存在著相互排斥的作用，這是因為光束在傳輸過程中基極孤子之間出現(xiàn)了π個相位差，所以在得到穩(wěn)定的二極孤子時需要對基極孤子更大的調(diào)制深度，進(jìn)而分裂得到二極孤子。

圖5 (a)(b)(c)二極孤子強度分布圖，參數(shù)為(a)T = 6，μ = 11.2，(b) T = 6，μ = 13.8，(c) T = 7，μ = 13.8，分別對應(yīng)圖2(a)功率曲線所標(biāo)出的3個點；(d)(e)(f) 二極孤子光場實部分布；(g)(h)(i) 二極孤子光場虛部分布；(j)(k)(l) 二極孤子線性穩(wěn)定性光譜

四、結(jié)語

我們研究了基極和二級光孤子在PT對稱晶格勢中的傳輸特性。他們具有共同的特點：功率都隨著傳播常數(shù)的增加而增大，隨著調(diào)制深度的增加而減小。二極孤子內(nèi)部的排斥力作用導(dǎo)致光束在PT勢中分裂成四極孤子。而對于PT 晶格勢，當(dāng)實部的晶格調(diào)制系數(shù)V0增大時，PT勢的相對強度的帶隙結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，PT強度呈波浪式增大，而孤子在低能量區(qū)域是穩(wěn)定的，高能量區(qū)域不穩(wěn)定。

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2095-4654(2016)12-0083-06

2016-10-08 基金項目：國家大學(xué)生創(chuàng)新項目資助“可控光子晶格中光孤子傳輸特性及其應(yīng)用研究”(201410927007) 通訊作者：徐四六(1969-)，男，湖北省通山縣人，博士，湖北科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院教授，E-mail：1158447603@qq.com。

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