謝　寧,高志華,孫迎春

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長春 130024)

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利用波耳共振儀研究受迫振動的非線性特性

謝寧,高志華,孫迎春

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長春 130024)

摘要：利用波耳共振儀實測數(shù)據(jù)，通過對其軸承摩擦進行理論修正，建立受迫振動的非線性方程，并采用Matlab軟件求解其數(shù)值解的方法，研究了受迫振動的非線性特性.

關(guān)鍵詞：波耳共振儀；受迫振動；軸承摩擦；非線性特性；Matlab

資助項目：吉林省教育廳大學(xué)物理實驗精品課；東北師范大學(xué)大學(xué)物理實驗精品課；東北師范大學(xué)“東師教育教學(xué)扶持計劃”項目(No.15B1XZJ015，No.15B2XZJ001)

從狹義上說，通常把具有周期性的往復(fù)運動稱為振動[1]. 周期性外力持續(xù)作用在系統(tǒng)時，受到的振動即為受迫振動，此周期性外力即為強迫力. 當(dāng)強迫力頻率與系統(tǒng)的固有頻率相同時，受迫振動會產(chǎn)生共振現(xiàn)象，共振是物理學(xué)領(lǐng)域普遍存在的現(xiàn)象[2]，它既有危害性的一面，又有很多的可利用價值[3]. 對許多物理事件常采用數(shù)學(xué)建模的方式進行模擬，例如沙漏擺振動的擺幅、周期隨流量非線性變化的實驗中，用Matlab軟件模擬的結(jié)果與理論結(jié)果吻合得較好[4].

在高校物理實驗教學(xué)中波耳共振儀被普遍用于研究受迫振動[5]. 該裝置中，轉(zhuǎn)動慣量和蝸卷彈簧的勁度系數(shù)是影響振動參量的最大因素，但儀器一旦制作完成，這2個參量就固定不變了，而電磁阻尼對應(yīng)的等效黏滯阻尼的阻尼比則是影響阻尼振動的主要因素，影響振動非線性特征的現(xiàn)象也隨著阻尼比的不同而不固定，但其中許多問題都由不可預(yù)測的原因造成，具有極大的不確定性. 因此，本文只研究影響振動的一個非線性因素，即軸承摩擦因素的影響，所以在對振動的理論方程進行修正時，運用Matlab軟件對修正后的受迫振動方程進行求解和分析，從而得到軸承摩擦對此類振動非線性特征的影響結(jié)果.

1實驗的理論依據(jù)及對軸承摩擦的修正

1.1　波耳共振儀及其受迫振動的線性理論

(1)

即

(2)

因為擺輪只受到彈性恢復(fù)力矩(即周期性外力矩)和阻尼力矩的作用，不存在其他周期性外力矩的作用，但是實際實驗時，擺輪是在受到周期性外力作用時發(fā)生的受迫振動，所以kαm可以等效視為周期性外力矩M，則式(2)可改寫為[6]

(3)

設(shè)定參量變換為

則式(3)可改寫為

(4)

式(4)即為穩(wěn)定狀態(tài)的受迫振動運動方程，其有確定的解析解：

(5)

因此可見，振幅θ取決于4個參量λ，ω，ω0和β，與振動的起始狀態(tài)無關(guān)[3].

當(dāng)發(fā)生共振時，振幅θ達(dá)到極大，因此可求解出此時的圓頻率和振幅分別為

(6)

(7)

1.2　軸承摩擦的影響

軸承摩擦普遍存在于定軸轉(zhuǎn)動的運動中. 研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)速較小時軸承摩擦力較大，而當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到一定臨界值后軸承摩擦力將保持穩(wěn)定[4].

設(shè)置電磁阻尼為0擋，即去掉電磁阻尼的影響時，就可研究空氣阻尼和軸承摩擦的影響. 經(jīng)過實驗測量發(fā)現(xiàn):β隨擺角θ變化(如表1所示). 由表1可見：當(dāng)θ>20°時，β基本為穩(wěn)定值;而當(dāng)θ<20°時,β隨著θ增大而迅速減小. 因此說明:當(dāng)選擇θ>20°進行實驗測量時，阻力的變化主要由軸承摩擦引起. 考慮到軸承所承受的壓力與轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的加速度、速度以及擺動角度都相關(guān)，因此，根據(jù)經(jīng)驗設(shè)定軸承的摩擦力矩近似為

表1　β隨擺角θ變化的測量值

(8)

其中，常系數(shù)A>0,B>0,C>0，說明軸承摩擦與角加速度、角度呈正相關(guān)，而與速度呈負(fù)相關(guān)，這與實際物理現(xiàn)象幾乎一致.

1.3　建立修正的運動方程

(9)

通過變量代換，將式(9)變?yōu)橐浑A常微分方程組[7]：

(10)

其中：

2實驗測量及受迫振動的非線性模擬

通過實驗測定出β,ω0,λ和ω的數(shù)值. 而另外的3個常數(shù)a,b,c與軸承摩擦相關(guān)，不能通過實驗測得，需利用Matlab軟件多次給定數(shù)值進行模擬計算得出.

2.1　β的測量

依據(jù)文獻[3]可知β滿足下式：

(11)

調(diào)節(jié)系統(tǒng)在電磁阻尼2擋，使擺輪從較大振幅開始作衰減運動，并從電器控制箱顯示屏上讀出振幅變化值，同時進行測量，結(jié)果見表2.

表2　電磁阻尼2擋時測得的角度與周期

將表2數(shù)據(jù)代入式(11), 經(jīng)兩輪加權(quán)處理，即可求出β的平均值為

2.2　ω0，λ和ω的測量

電磁阻尼在2擋時使擺輪做受迫振動. 改變電機轉(zhuǎn)速[8](即改變強迫力矩頻率)，當(dāng)受迫振動穩(wěn)定后，讀取擺輪的振幅值與振動周期(此時電機強迫力矩周期與擺輪振動周期一致). 梯度改變電機不同的轉(zhuǎn)速，即改變強迫力外力矩的頻率，進行逐點測量，可通過測得數(shù)據(jù)找到振動最大的振幅，此時T0=T，即為達(dá)到共振狀態(tài)(見表3).

表3　電磁阻尼2擋測得的強迫力矩周期T和振幅θ

實驗測量自由振動時與振幅θ對應(yīng)的固有周期T0，測得數(shù)據(jù)40組. 由表3中振幅與測得的40組數(shù)據(jù)對照，得到自由振動時與振幅θ對應(yīng)的固有周期T0及計算獲得的結(jié)果見表4.

表4　自由振動時與振幅θ對應(yīng)的固有周期T0及

2.3　受迫振動的非線性方程及其模擬

將獲得的常系數(shù)β，ω0，λ，ω代入方程組(10)中，得：

(12)

圖1　振幅θ隨時間t的變化曲線

圖隨θ的變化關(guān)系曲線

由圖1~2可見，隨著時間的推移，振動系統(tǒng)的振幅逐漸增大到某個極大值后開始減小，振幅的增加是受限的而不是無限增大，呈現(xiàn)出非線性混沌特征，這也與文獻[9]的單擺非線性運動特點幾乎一致.

3結(jié)束語

利用波耳共振儀研究了自由振動、阻尼振動和受迫振動3種振動狀態(tài). 通過自由振動測得了與阻尼系數(shù)相關(guān)的參量β，并通過電磁阻尼振動測得了系統(tǒng)的固有圓頻率ω0、參量λ和強迫力的圓頻率ω，通過對軸承摩擦的分析探討及對其進行修正，構(gòu)建了考慮軸承摩擦因素在內(nèi)的受迫振動的非線性方程組，利用Matlab軟件求解出該非線性方程組的數(shù)值解，表明受迫振動振幅的幅值具有明顯的非線性特征. 因此，采用波耳共振儀研究受迫振動的非線性性質(zhì)對理解一般非線性受迫振動的問題有借鑒作用，對一些實際工程問題的處理也將有一定的現(xiàn)實意義[9].

參考文獻：

[1]宋徐林，王昆林. 利用DIS數(shù)字化信息系統(tǒng)對高腳玻璃杯振動聲現(xiàn)象的研究[J]. 物理實驗，2015，35(3)：43-46.

[2]聞邦椿. 機械振動理論及應(yīng)用[M]. 北京：高等教育出版社，2009：67-71.

[3]陳銘南，何雨華. 用波耳共振儀研究受迫振動[J]. 工科物理，1999，9(2)：26-28.

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[5]董霖，王涵，朱洪波. 波爾共振實驗“異?，F(xiàn)象”的研究[J]. 大學(xué)物理，2010，29(2)：57-60.

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[9]湯艷芬. 非線性系統(tǒng)受迫振動的周期解[J]. 大學(xué)物理，2004，23(9)：25-28.

[責(zé)任編輯：尹冬梅]

Study on the nonlinear characteristics of forced

oscillation by using Pohl resonator

XIE Ning, GAO Zhi-hua, SUN Ying-chun

(School of Physics, Northeast Normal University, Changchun 130024， China)

Abstract:Using the experimental data from Pohl resonator, the nonlinear equations of forced vibrations were established after a theoretical correction of the bearing friction. The nonlinear characteristics of forced vibrations were studied by solving the equations numerically using Matlab.

Key words:Pohl resonator; forced vibration; bearing friction; nonlinear; Matlab

通訊作者：孫迎春(1961-)，女，吉林長春人，東北師范大學(xué)物理學(xué)院級教授，博士，研究方向為生物物理、理論物理及物理實驗研究.

作者簡介：謝寧(1990-)，女，遼寧沈陽人，東北師范大學(xué)物理學(xué)院級理論物理2013級碩士研究生.

收稿日期：2015-08-30；修改日期：2015-11-29

中圖分類號：O321

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)02-0014-04