鄭金

摘 要：推導(dǎo)了物體在凹面軌道上緩慢運(yùn)動時(shí)克服摩擦力做功的公式；探討了有關(guān)物體沿凹面軌道運(yùn)動問題的錯(cuò)題及錯(cuò)解；探究了幾道典型題及高考題的解法。

關(guān)鍵詞：凹面軌道；摩擦力；做功；向心力

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）2-0046-3

對于物體沿豎直平面內(nèi)的圓弧軌道運(yùn)動，由于物體跟軌道接觸面的彈力與向心力有關(guān)，而向心力的大小與速率有關(guān)，因此受到接觸面的摩擦力大小與物體的運(yùn)動速率有關(guān)。在圓弧上不同位置的摩擦力大小不同，在不同過程經(jīng)過同一位置的摩擦力大小也不同。

1 克服凹面摩擦力所做的功

如圖1所示，斜面長為l，傾角為θ。一個(gè)質(zhì)量為m的物體沿斜面由頂端向下滑動，動摩擦因數(shù)為μ。則物體克服摩擦力所做的功為Wf=μmglcosθ=μGx。

可見，當(dāng)物體只受重力、彈力和摩擦力作用沿斜面運(yùn)動時(shí)，克服摩擦力所做的功等于動摩擦因數(shù)、重力的大小和水平位移的大小三者的乘積。

如圖2所示，假設(shè)物體沿圓弧軌道AB緩慢下滑一小段圓弧Δs，可視為斜面。則到達(dá)C點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力為f=μmgcosθ，克服摩擦力做的功為ΔWf=μmgcosθ·Δs。由于Δs·cosθ表示物體在水平方向的位移Δx，因此ΔWf=μmg·Δx。由微元累加法可知，在沿圓弧路徑運(yùn)動的過程中，物體在水平方向的位移為x=R。所以，物體在緩慢下滑過程中克服摩擦力所做的功為Wf=μmgR。

一般來說，若物體沿斜面運(yùn)動或沿凹面緩慢運(yùn)動，克服摩擦力所做的功等效于物體沿軌道的水平投影面運(yùn)動時(shí)克服其摩擦力所做的功，即Wf=μGx。

如果物體在凹面上運(yùn)動的速度較大，則摩擦力大小與速度有關(guān)。因此，公式Wf=μGx不成立。如果物體在凹面上做變速運(yùn)動，則在不同位置受到的向心力不同，使物體受到的支持力大小不同，因此摩擦力大小不同。那么，物體經(jīng)過相同的路程克服摩擦力所做的功不同，而且速度越大，克服摩擦力所做的功就越多。

2 錯(cuò)題或錯(cuò)解

解析 設(shè)物體在AB段克服摩擦力做的功為Wf，對物體由A到C運(yùn)動過程運(yùn)用動能定理有

mgR-μmgR-Wf=0，

可得Wf=mgR（1-μ）=0.4mgR。

探討 該結(jié)果是錯(cuò)的。假設(shè)物體緩慢下滑，則在AB段克服摩擦力所做的功為Wf=μmgR。

但實(shí)際上，物體下滑過程是變速圓周運(yùn)動，速度逐漸增加。由向心力FN-mgcosθ=可知，F(xiàn)N>mgcosθ，因此Wf >μmgR。對物體由A到C運(yùn)用動能定理有mgR-μmgR-Wf=0，

則mgR-μmgR>μmgR，

即2μmgR

由于題中μ=0.6，因此物體不能滑到C點(diǎn)。故該題是一道錯(cuò)題。

例2 如圖4所示，凹陷于地面的半圓形軌道的半徑R=0.4 m。一個(gè)質(zhì)量m=0.5 kg的小球從距離地面高H=5 m處自由下落，到達(dá)地面時(shí)恰能沿軌道運(yùn)動。到達(dá)軌道最低點(diǎn)時(shí)速率恰好為10 m/s，并繼續(xù)沿軌道運(yùn)動直到從軌道左端邊緣飛出且沿豎直方向上升、下落，如此反復(fù)幾次。設(shè)摩擦力大小恒定不變，小球與軌道碰撞時(shí)不損失能量，求：

（1）小球第一次飛出軌道上升距水平地面的高度h為多少？

（2）小球最多能飛出軌道之外幾次？（取g=10 m/s2）。

n只能取整數(shù)，即小球最多能飛出軌道6次。

探討 上述解法是不正確的，因?yàn)樾∏蜻\(yùn)動的速度越來越小，則對軌道的壓力越來越小，因此摩擦力越來越小。那么，在小球從最低點(diǎn)運(yùn)動到軌道左端的過程中克服摩擦力做的功小于2 J。因此，每次通過圓弧軌道的過程中克服摩擦力所做的功越來越少，并非保持4 J不變。這樣無法得到答案，只能“設(shè)摩擦力大小恒定不變”，但該題設(shè)與客觀實(shí)際不相符。

3 典型題分析

例3 如圖3所示，用同樣材料制成的一個(gè)軌道，AB段圓弧，半徑為R，水平放置的BC段長度為R。物體質(zhì)量為m，與軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)它從軌道頂端A由靜止下滑時(shí)，恰好運(yùn)動到C點(diǎn)靜止。那么，物體在AB段克服摩擦力所做的功為（ ）

解析 設(shè)物體在AB段克服摩擦力做的功為Wf，則物體由A到C由動能定理有

mgR-μmgR-Wf=0，

可得Wf=mgR（1-μ）。故選項(xiàng)B正確。

拓展 若用一個(gè)沿軌道方向的力推滑塊，使它緩慢地由C點(diǎn)移動到A點(diǎn)時(shí)停下，那么，推力所做的功為多少？

解析 由于滑塊緩慢運(yùn)動，則可忽略向心力對軌道壓力的影響，可知物體在AB段克服摩擦力做的功為Wf=μmgR。由功能關(guān)系可知推力所做的功為

W=mgR+2μmgR=mgR（1+2μ） 。

例4 如圖5所示，高度為h的弧形軌道AB與水平軌道BC的粗糙程度相同。質(zhì)量為M的物體從頂點(diǎn)A開始下滑，到C點(diǎn)停止。要使物體沿原軌道恰好能回到A點(diǎn)，可有兩種辦法：用沿軌道切線方向的推力F緩慢推物體，或在C點(diǎn)給物體一初動能Ek。若只采用其中的一種辦法，則下列幾種方式中可行的是（ ）

A.推力F做的功為W=2mgh

B.推力F做的功為W<2mgh

C.物體的初動能為Ek>2mgh

D.物體的初動能為Ek<2mgh

解析 對物體下滑過程，運(yùn)用動能定理有

mgh-WfAB-WfBC=0。

若用平行于軌道的推力將物體緩慢地從C點(diǎn)推到A點(diǎn)，根據(jù)動能定理有

W-mgh-W'fAB-WfBC=0，

若WfAB=W'fAB，則推力做功W=2mgh。

由于下滑時(shí)經(jīng)過某點(diǎn)的速度大于緩慢上升時(shí)經(jīng)過同一點(diǎn)的速度，因此，下滑時(shí)經(jīng)過此點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力大于緩慢上升時(shí)經(jīng)過同一點(diǎn)物體受到的摩擦力。可知下滑時(shí)克服摩擦力做功多，即WfAB大于W'fAB，所以推力做功W<2mgh。

在弧形軌道上任取一點(diǎn)P，到A點(diǎn)的豎直高度為h'，對物體從A點(diǎn)到P點(diǎn)的下滑過程，由動能定理有mgh'-Wf=Ek1。

對物體從P點(diǎn)到A點(diǎn)的上升過程，由能量守恒定律有

Ek2=mgh'+W'f，可知Ek1mgh'。

因此，對于弧形軌道上的每一點(diǎn)，都應(yīng)是上升時(shí)的速度大于下滑時(shí)的速度。則上升時(shí)對軌道的壓力較大，受到的摩擦力較大，那么克服摩擦力做的功較多，即W'fAB>WfAB。

在下滑過程中，對全過程運(yùn)用能量守恒定律有mgh=WfAB+WfBC。

在上升過程中，對全過程運(yùn)用能量守恒定律有，Ek=mgh+W'fAB+WfBC，

由于W'fAB>WfAB，所以Ek>2mgh。故選項(xiàng)B、C正確。

例5 將例2變化一下。一質(zhì)量為m的小球，從離半徑為R、粗糙程度相同的半圓軌道上端A點(diǎn)H處自由下落，剛好落入半圓軌道且能從B端沖出，又豎直向上升起高度為h，不計(jì)空氣阻力。已知m=0.1 kg，H=0.5 m，h=0.4 m，R=0.1 m，若小球能從B端返回軌道，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）

A.小球第一次到達(dá)C處受到軌道的彈力為12 N

B.小球第一次到達(dá)C處受到軌道的彈力小于12 N

C.小球第一次從A端沖出后上升的高度為0.3 m

D.小球第一次從A端沖出后上升的高度大于0.3 m

解析 由題意可知第一次從靜止下落到上沖到左側(cè)最高點(diǎn)過程中克服摩擦力做的功為機(jī)械能的減少量，Wf=mg（H-h）=0.1 J。由于從A到C過程的平均速率大于CB過程，平均摩擦力大，則克服摩擦力做的功Wf1應(yīng)該大于0.05 J。那么，從C到B克服摩擦力做的功Wf2應(yīng)該小于0.05 J。由能量守恒定律有mg（H+R）-Wf1=mv2。

由牛頓第二定律和向心力公式有FN-mg=，由于Wf1>0.05 J，解得FN<12 N。

從B返回到A過程中克服摩擦力做的功小于從A到B過程中克服摩擦力做的功，即應(yīng)該小于0.1 J，而不是等于0.1 J。由于從A到B過程中的高度差為0.1 m，那么從B返回到A過程中的高度差應(yīng)小于0.1 m，所以從A端沖出后上升的高度應(yīng)大于0.3 m。故選項(xiàng)B、D正確。

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（欄目編輯 陳 潔）