劉春林，李寶娣（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長沙 410073）

線性代數(shù)與案例教學(xué)的體會與思考

劉春林，李寶娣
（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長沙 410073）

從線性代數(shù)課程的特點、案例教學(xué)的作用等方面闡述在教學(xué)實踐過程中的一些心得體會與思考.

線性代數(shù)； 案例教學(xué)； 教學(xué)改革

學(xué)員在學(xué)習(xí)線性代數(shù)過程中或?qū)W完之后對線性代數(shù)的印象一般包括“抽象難懂”四個字，教員、教材一般也把“抽象”列為線性代數(shù)課程的一大特點. 這門課程到底是不是抽象難懂、教員是否能讓學(xué)員在學(xué)習(xí)過程中不感到抽象難懂呢？關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)，許多教育教學(xué)委員會（包括官方的和民間的）、高校、教員先后提出了眾多新方式方法，例如案例式教學(xué)、研究型教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)、同伴式教學(xué)、因材施教教學(xué)等等. 本文作者將根據(jù)個人教學(xué)體會和課程特點談?wù)勱P(guān)于案例教學(xué)的一些思考與想法.

1 案例教學(xué)在線性代數(shù)課程教學(xué)中的輔助作用

案例教學(xué)的作用主要體現(xiàn)在這幾個方面： 引入概念，聯(lián)系實際、展示應(yīng)用，提高學(xué)員學(xué)習(xí)的興趣、積極性、主動性，降低學(xué)員與課程知識的心理距離，增強學(xué)員聯(lián)系實際的意識和解決分析問題的能力，讓學(xué)員意識到這門課程的重要性.

線性代數(shù)是面向非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工科大學(xué)一年級學(xué)員開設(shè)的一門大學(xué)公共基礎(chǔ)課程. 該課程的教學(xué)過程可以融入案例式教學(xué)環(huán)節(jié)，但是案例式教學(xué)不應(yīng)該唱主角. 如果從一節(jié)課45分鐘時間的角度來看，那么案例的相關(guān)教學(xué)時間一般不應(yīng)超過15分鐘，剩余的時間主要還是用于概念的講解與理解、方法的原理解釋、方法的實際演算、結(jié)論的嚴(yán)格推導(dǎo)和證明等傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容上. 也就是說，案例教學(xué)在線性代數(shù)教學(xué)中只能擔(dān)任“點心”或“佐料”的角色，主角還是應(yīng)由傳統(tǒng)教學(xué)來唱.

首先，線性代數(shù)課程作為公共基礎(chǔ)課，其內(nèi)容是很多后續(xù)課程和實際工程應(yīng)用的基礎(chǔ). 如果現(xiàn)在大學(xué)階段對這門課程的一些基本概念、方法、求解過程不是非常熟悉，到后面遇到某些涉及到這些內(nèi)容的問題，學(xué)員往往難以跟上進(jìn)度. 例如，矩陣是否可逆的判斷、逆矩陣的求解方法、正定矩陣的性質(zhì)、實對稱矩陣的對角化與正交變換等內(nèi)容在很多專業(yè)的后續(xù)課程中都要用到. 通過對后續(xù)教材和專著的簡單調(diào)研，不難發(fā)現(xiàn)在需要用到相關(guān)內(nèi)容的時候，這些教材專著都會毫不猶豫地使用諸如“由某某結(jié)論可得”，或者更簡單的“由矩陣的性質(zhì)可得”，甚至更隱蔽一些的“從而得出”等表述術(shù)語.

其次，雖然線性代數(shù)的案例往往與社會實際背景緊密相關(guān)，但是這些背景大多需要深厚的專業(yè)知識作為基礎(chǔ)，大學(xué)一年級的學(xué)員一般缺少這個專業(yè)知識儲備，教員想利用課堂上的幾分鐘講清楚不容易，學(xué)員要真正弄明白也不現(xiàn)實. 線性代數(shù)課程涉及的知識點已經(jīng)固化，大多都是一兩百年之前數(shù)學(xué)家們的智慧結(jié)晶，但是這些知識的工程實際應(yīng)用時刻都在更新、變化之中，高校教員很難做到與最新的工程實際應(yīng)用保持同步，事實上教員也沒有必要總跟著實際應(yīng)用的影子走. 高校培養(yǎng)的是學(xué)員的一種能力、意識和素養(yǎng)，其中培養(yǎng)學(xué)員對學(xué)習(xí)科研等工作環(huán)境的變化的適應(yīng)能力至關(guān)重要，因此沒必要現(xiàn)在就列出課程知識在各個領(lǐng)域的應(yīng)用. 課程學(xué)習(xí)中，強調(diào)應(yīng)用的案例學(xué)起來像聽故事，故事聽太多了，到底有啥核心作用，學(xué)員腦海中可能什么也不清楚，他們想留下印象也難，真正要學(xué)的東西太多了，還有很多東西比他們知道有什么用更重要.

再次，在案例教學(xué)中，如果教員幾句話就能讓學(xué)員對知識提起興趣，那么案例的絕大部分效果事實上已經(jīng)達(dá)到了. 這個時長可能只有幾分鐘，而讓學(xué)員順利自然面對某個新概念，也可能是一堂課. 可能是案例起課、案例結(jié)課，也可能是貫穿整個課程的始終. 當(dāng)然，能夠像項鏈一樣串起課程的多個知識點的案例不容易找. 例如，針對臨床醫(yī)學(xué)專業(yè)的學(xué)員，本文作者就抓住了營養(yǎng)醫(yī)學(xué)的案例，在第一堂課、三階行列式在方程組解的表達(dá)公式、含m個方程n個未知量的方程組、向量的線性表示、向量組的線性相關(guān)性和極大線性無關(guān)組等問題中，營養(yǎng)醫(yī)學(xué)這個案例多次粉墨登場. 在實際課程教學(xué)中，如果能恰到好處地運用一個案例或幾個案例，完全可以讓學(xué)員感受到這門課程的重要性、實用性，也可以讓學(xué)員不再感到這門課程的抽象難懂.

第四，課堂上將過多時間用于案例，也有不利之處，容易造成忽悠學(xué)員的感覺. 這是因為現(xiàn)在使用的案例往往是一些簡單應(yīng)用、簡化應(yīng)用、淺層應(yīng)用，也就是說人們所提到的有些案例在實際應(yīng)用領(lǐng)域中并不完全如此. 現(xiàn)實中的真正應(yīng)用往往要復(fù)雜得多，需要用到其它更多更高深的知識或技巧. 例如，在講授逆矩陣模塊時人們喜歡用yAxb=+（其中A為可逆矩陣）的例子來解釋加密解密的應(yīng)用. 一方面，現(xiàn)實社會中更多使用的是公開密鑰密碼機制（簡稱RSA機制），其核心安全基石為兩個大質(zhì)數(shù)的乘積的因子分解過程是一個NPC問題，很少或者幾乎沒人真正去用yAxb=+這種初等方法. 另一方面，這個例子還是值得去講： 因為不管現(xiàn)實中人們是用哪幾種機制，其核心的“加密、解密”思想就是2個互逆的操作過程而已. 通過yAxb=+的例子，可以讓學(xué)員體會到這種互逆過程的必要性和重要性. 在使用這個案例時，教員還是把主要精力用于逆矩陣的概念、性質(zhì)、求解等課程知識上，對于加密解密的應(yīng)用只需幾分鐘的簡要介紹即可，當(dāng)然還要簡單提及現(xiàn)實中大家都在用的RSA機制，這樣才能做到一是與實際社會的真正接軌、不失科學(xué)性，另外在一定程度上也能達(dá)到引入逆矩陣的概念、提高學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣、理論聯(lián)系實際的目的.

2 線性代數(shù)案例建設(shè)的發(fā)展與現(xiàn)狀

線性代數(shù)課程中案例教學(xué)的運用一直以來就存在. 近幾年來，案例式教學(xué)作為一種教學(xué)方法已引起了人們的高度重視和深入思考，這與時代的共同呼聲、學(xué)員和社會的功利化取向及應(yīng)用趨向、部分教員對學(xué)員的主動關(guān)注和教學(xué)改革起到的帶頭示范作用都密不可分.

2.1 從本人學(xué)習(xí)經(jīng)歷看

案例的一個作用是展示課程的重要性，提高學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣. 談到線性代數(shù)課程的案例教學(xué)發(fā)展，筆者不禁想起20年前學(xué)習(xí)高等代數(shù)課程的情形. 任課教員錢教授（當(dāng)時50多歲）曾跟我們提到，他們那一代在學(xué)習(xí)高等代數(shù)等課程時，完成了大量的練習(xí)題，并鼓勵我們把教材（北京大學(xué)代數(shù)小組編寫的《高等代數(shù)》[1］）后面的所有習(xí)題都做一遍，他在授課過程中并不會總把這門課程的重要性掛在嘴邊，也較少牽扯到應(yīng)用案例（也許那個年代的教員還沒有特別調(diào)強案例教學(xué)），但是班上所有同學(xué)都知道這門課程的重要性. 我們對這門課程重要性的認(rèn)識并不只是來自錢教授，更多的是與我們自身（18歲左右）有關(guān)，那個時候我們有判斷能力和分析能力： 大學(xué)一年級開設(shè)的高等代數(shù)是基礎(chǔ)課程，是基礎(chǔ)的基礎(chǔ)，很重要，作為數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)員，需要學(xué)好. 二十年過去了，現(xiàn)在的學(xué)員接觸的信息更多，這種自我分析判斷的能力會更強.

2.2 從教材看

教材在一定程度上可以反映出那個時代和編撰作者的觀點、認(rèn)知和體會. 通過對多部教材進(jìn)行調(diào)研，可以看出線性代數(shù)課程的實際案例思想幾十年前就有，只是現(xiàn)在人們往實際實踐方面多花了一些心思去細(xì)化、具體化、數(shù)據(jù)化. 這個過程在一定程度上增加了知識對學(xué)員的直觀性、感受性、易見性[2，3］.

例如教材《高等代數(shù)》[1］提到國民經(jīng)濟的數(shù)學(xué)問題常用到矩陣（某物資從s個產(chǎn)地到n個銷地的調(diào)運方案）、兩個線性變換的復(fù)合、解析空間中繞軸的旋轉(zhuǎn)線性變換（幾何背景、幾何案例）等.

國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)在2008年出版自編教材[4］之前，技術(shù)類學(xué)員使用的華中理工大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《線性代數(shù)》[5，6］. 該教材對課程的實際應(yīng)用進(jìn)行了簡要描述，例如“矩陣在自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用”、“在科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中，大量的問題都可歸結(jié)為解線性方程組”，“方陣的特征值與特征向量，是研究動力系統(tǒng)、最優(yōu)控制、經(jīng)濟管理等問題要涉及的重要概念”、“二次型的理論起源于解析幾何中對二次曲線和二次曲面的研究，它在線性系統(tǒng)理論和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域中都有應(yīng)用”等. 該教材提到了“產(chǎn)品從產(chǎn)地到銷地的調(diào)運方案”、“電路網(wǎng)絡(luò)中的電流與電壓之間的關(guān)系”、“解析幾何中新舊坐標(biāo)系下的坐標(biāo)變換公式”、“兩級串聯(lián)放大器電路網(wǎng)絡(luò)的電流與電壓之間的關(guān)系”等案例.

又如上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《線性代數(shù)》[7］提到： 二維向量組、三維向量組線性相關(guān)的幾何解釋（共線、共面）、確定比賽的勝負(fù)問題等案例. 劉建亞老師編寫的《線性代數(shù)》[8］提到了人口遷移模型、熟練工與非熟練工模型、兔子繁殖模型、城市間的航班路線圖、產(chǎn)品從產(chǎn)地到銷地的調(diào)運方案、國民經(jīng)濟投入產(chǎn)出問題的消耗矩陣等案例. 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)謝政教授編寫的《線性代數(shù)》[9］也收入了大量案例.

涉及案例的國外教材已有不少，這些教材涉及的案例較多，實際數(shù)據(jù)比較詳實，教材也都比較厚. 例如，由David C. Lay著，沈復(fù)興等譯的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》（第3版）[2］于2007年由人民郵電出版社出版. 該教材在美國具有相當(dāng)?shù)氖袌龊陀绊懥Γ渲凶g版在國內(nèi)也收到了不錯的評價和反響. 它提到了眾多應(yīng)用領(lǐng)域中的案例： 經(jīng)濟學(xué)、商業(yè)、科學(xué)和工程學(xué)中的線性模型（線性方程組）； 飛機設(shè)計中的計算機模型、列昂惕夫投入產(chǎn)出模型（矩陣代數(shù)）； 解析幾何中的行列式； 空間飛行與控制系統(tǒng)、差分方程、馬爾可夫鏈（向量空間）； 動態(tài)系統(tǒng)和斑點貓頭鷹、離散動態(tài)系統(tǒng)（特征值與特征向量）； 北美大地基準(zhǔn)的校正（正交性與最小二乘法）； 多通道圖像處理、統(tǒng)計學(xué)（對稱矩陣）等.

2.3 案例對比

縱觀以上涉及案例的線性代數(shù)教材，不難發(fā)現(xiàn)： 新案例偏少. 線性代數(shù)的知識點就那么多，人們現(xiàn)在所編寫的教材案例通常也就是大家熟悉的那些，教材上出現(xiàn)的真正新案例偏少. 國內(nèi)眾多高校教員在參加各類賽課上所使用的案例大多也都是舊案例.

3 線性代數(shù)案例建設(shè)的幾個觀點

3.1 新案例雖少，舊案例也好

現(xiàn)在出現(xiàn)的案例大體相似，包括多種講課競賽、會議報告在內(nèi)，涉及到的案例一點都不陌生. 能造出新案例固然好，如果造不出，也并不令人沮喪，只要能充分徹底地用好已有案例，同樣可以達(dá)到理想的教學(xué)效果. 大學(xué)一年級學(xué)員都是初次學(xué)習(xí)線性代數(shù)，他們一般沒有很多空余時間真正去查閱學(xué)習(xí)課外案例書籍，陳舊多年的案例對學(xué)員來說往往也是新鮮的.

3.2 案例的講解使用至關(guān)重要

線性代數(shù)課程的知識點早已固化，案例素材教員一般也都有，但是案例教學(xué)的效果往往差別很大，這與教員對案例的分析理解程度、闡述角度以及個人教學(xué)風(fēng)格等多個因素密切相關(guān). 在強調(diào)“自主學(xué)習(xí)、創(chuàng)新培養(yǎng)”的今天，案例講個七分飽就行，剩下的三分肚量可由學(xué)員自己課外去加餐，講解過程不妨留出適當(dāng)空間讓學(xué)員自由發(fā)揮，布置一點思考題、賣個關(guān)子也未嘗不可，尤其對于那些樂于學(xué)習(xí)的學(xué)員，可以收到更好的教學(xué)效果.

3.3 案例設(shè)計理念需高大上、備課過程要細(xì)而精

現(xiàn)在的人才培養(yǎng)目標(biāo)高大上，教學(xué)活動是人才培養(yǎng)的一個非常重要環(huán)節(jié)，教學(xué)要緊貼人才培養(yǎng)目標(biāo)，緊貼實戰(zhàn)，起步高的案例頂層設(shè)計理念有利于后面的具體行為細(xì)節(jié)，能避免井底之蛙、視野狹窄等問題.

有了高大上的理念，具體的備課行為則要細(xì)而精，這包括案例選材、教案編寫、PPT課件制作等系列過程. 相比之下，想個高大上的理念不難，各種文件都能找到，而需要精雕細(xì)琢的備課講課反而更難，這里需要大量的時間、精力、對教育教學(xué)的熱愛、與時俱進(jìn)的信息，也需要提供使教員能靜下心來進(jìn)行教育教學(xué)研究活動的平臺和大環(huán)境. 在備課和講課過程中，需要結(jié)合學(xué)員的知識儲備、學(xué)科專業(yè)特點、學(xué)員的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)心理等多方面深入思考以下問題： 一個案例或一堂課如何選材、如何組織、如何講解才能使得每個案例、每堂課的教學(xué)效果最大化.

3.4 案例選材往往越簡單越好、越貼近生活越好、越利于理解越好

挖空心思制作出來的案例有時效果不一定好，也不一定都得要軍事案例、工程案例，一些生活案例、社會案例的效果同樣也能出奇制勝. 例如針對醫(yī)學(xué)隊，營養(yǎng)醫(yī)學(xué)的案例就比較成功. 案例數(shù)據(jù)選自身邊，學(xué)員感受往往更親切. 比如，用行列式定義法計算一般行列式計算量大、不切實際. 為形象說明這個計算量的程度之大，自學(xué)?！疤旌印背売嬎銠C面世起，筆者就拿“天河”機的計算數(shù)據(jù)打比方，“天河”在全球大PK中保持了多次輝煌. 在后面教學(xué)過程中，筆者也會提到“天河”的多年輝煌及其性能飛躍，做到了數(shù)據(jù)的及時更新.

案例挑選若能發(fā)動學(xué)員參與其中，那是最好不過的事. 讓學(xué)員想案例可以活躍課堂氣氛、從授人以魚向授人以漁轉(zhuǎn)變、培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維和聯(lián)系實際的意識. 線性代數(shù)的很多概念、方法、原理放到二維、三維情形下看，就不再抽象、不再難懂，線性代數(shù)的很多內(nèi)容可以從幾何內(nèi)容、幾何案例中找到直觀的、形象的理解[10］.

線性代數(shù)課程的知識在現(xiàn)實社會中的很多領(lǐng)域都有應(yīng)用. 平時所使用的教材一般也提到了不少應(yīng)用，可能有的描述比較詳細(xì)，而有的點到為止. 這種面向?qū)嶋H聯(lián)系實際的方式有利好的一面，對學(xué)員和教員來說都有思考余地和發(fā)揮空間. 會思考、善于思考的學(xué)員自己或者在老師的指點下就能看到知識在實際中的廣泛應(yīng)用案例.

多部《線性代數(shù)》教材提到了資源的調(diào)度問題，現(xiàn)實生活中的調(diào)運對象顯然可以想出很多種，這是可以延伸拓展的. 再比如，在給本科生上概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程時，有一個案例是包裝機裝化肥，當(dāng)然在備課過程中可以把包裝機裝化肥改一下并替換相應(yīng)背景數(shù)據(jù)（例如戰(zhàn)場、武器等），那是否可以什么也不改呢？筆者就是特意不改的. 在講這個案例時，筆者會借題隨機發(fā)揮一下： “雖然我們現(xiàn)在好像跟化肥幾乎不打交道，不過大家想一想，我們是否可以找到密切相關(guān)的類似背景呢？我們都是軍人，用過槍打過靶，如果我們把包裝機裝化肥想象成包裝機往子彈、炮彈、導(dǎo)彈中裝彈藥如何?。俊苯?jīng)此一問，同學(xué)們的眼神變化是容易感受到的，聯(lián)系實際、面向戰(zhàn)場的思維達(dá)到了，并且這種講法比在備課時把課件中的裝化肥改成裝彈藥好，因為： （1）如果改成裝彈藥了，課上也只是講裝彈藥這個背景，那么容易造成照本宣科的嫌疑. 如果真正改成裝彈藥，還會面臨“數(shù)據(jù)失真”的問題，因為各種槍炮的規(guī)格設(shè)計和彈藥用量等詳細(xì)數(shù)據(jù)可能都是軍事秘密，弄到真實數(shù)據(jù)不容易，即使弄到了寫入課件又容易泄密. （2）不改背景，在講課時借機展開一下，在一定程度上向?qū)W員傳遞了一種需要培養(yǎng)發(fā)散思維、自己可以發(fā)揮想象聯(lián)系實際聯(lián)系應(yīng)用的思想，還可以給學(xué)員留下對教員的“講課靈活、視野寬闊、聯(lián)系應(yīng)用”等不錯印象. 總而言之，權(quán)衡之下，包裝機裝化肥的案例能一舉多得. 在線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程中，“面戰(zhàn)聯(lián)戰(zhàn)”的案例可以無形勝有形.

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M[. 第2版. 北京： 高等教育出版社，1988

[2]David C. Lay．線性代數(shù)及其應(yīng)用[M[. 沈復(fù)興，傅鶯鶯，莫單玉，等，譯. 北京： 人民郵電出版社，2007

[3]馬艷琴，張榮艷，陳東升，等. 線性代數(shù)案例教程[M[. 北京： 科學(xué)出版社，2012

[4]馮良貴，戴清平，李 超，等. 線性代數(shù)與解析幾何[M[. 北京： 科學(xué)出版社，2008

[5]華中理工大學(xué)數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù)[M[. 北京： 高等教育出版社，1999

[6]華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù)[M[. 第2版. 北京： 高等教育出版社，2003

[7]上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 線性代數(shù)[M[. 第2版. 北京： 科學(xué)出版社，2007

[8]劉建亞. 線性代數(shù)[M[. 北京： 高等教育出版社，2003

[9]謝 政. 線性代數(shù)[M[. 北京： 高等教育出版社，2012

[10]李尚志. 線性代數(shù)[M[. 北京： 高等教育出版社，2011

Some Thoughts of Linear Algebra and Case-Based Teaching

LIU Chun-lin，LI Bao-di
（College of Science，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

About the character of linear algebra and the importance of case-based teaching，this paper discussed their relationships and report some thoughts.

linear algebra，case-based teaching，teaching reform

G642

A

1672-5298（2016）02-0084-05

2015-11-01

劉春林（1977- ），男，湖南衡東人，博士，國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院副教授. 主要研究方向： 組合數(shù)學(xué)； 計算分子生物學(xué)； 代數(shù)學(xué)