許興業(yè)

（廣東外語外貿(mào)大學(xué)南國商學(xué)院公共課教學(xué)部；廣東廣州 510545）

一類擬線性橢圓型方程div(|Du|p-2Du)=f(x,u,Du)的有界正整解1

許興業(yè)

（廣東外語外貿(mào)大學(xué)南國商學(xué)院公共課教學(xué)部；廣東廣州 510545）

以Schauder-Tychonoff不動(dòng)點(diǎn)定理為工具；研究一類形如div(|Du|p-2Du)=f(x,u,Du)的擬線性橢圓型方程正的有界整體問題；得到了2個(gè)有界正整解的存在性定理.

擬線性橢圓型方程；有界正整解；Lebesgue控制收斂定理；閉凸子集；連續(xù)映照；不動(dòng)點(diǎn)定理

1 引言與預(yù)備定理

有關(guān)非線性橢圓型方程正整解存在性的研究；較多的文章是研究方程左邊為形如Δu,Δ2u及Δmu的調(diào)和；雙調(diào)和及多重調(diào)和方程［1-5］.但對(duì)形如下面的擬線性橢圓型方程

下面給出上、下解的定義及預(yù)備定理.

預(yù)備定理設(shè)f滿足條件：

（a）f(x,u,,w)在Rn×R+×Rn上連續(xù)；且局部Holder連續(xù)（指數(shù)θ∈(0,1)）；（b）對(duì)任一有界區(qū)域Ω?Rn,存在ρ(Ω,M)＞ 0；使

預(yù)備定理的證明參見文獻(xiàn)［1］.

2 主要結(jié)果

在下面的討論中引入記號(hào)；不再贅述：

定理1設(shè)f滿足預(yù)備定理中的（a）、（b）、（c）和下列條件：

（i）f1(r,u,v)與f2(r,u,v)關(guān)于u,v∈R+都是非減函數(shù)；

（iii）存在常數(shù)c＞0使

則方程（1）存在無窮多個(gè)有界正整解u(x).

證明由（2）式可知方程

下面討論積分方程（8）的可解性.由（ii）知

其中c是（iii）中出現(xiàn)的常數(shù)；且對(duì)每一s∈(0,∞),當(dāng)λ→0+時(shí)有

于是由Lebesgue控制收斂定理得

進(jìn)而由（2）推出：對(duì)?p＞1有

由（10）知可以選擇充分小的常數(shù)η＞0使得記C1[0,∞)是定義在[0,∞)上的所有連續(xù)可微函數(shù)作成的空間；依通常的方法引入C1[0,∞)的拓?fù)?作集合：

在這里補(bǔ)充定義：

下面證明映射π滿足：

（II）π是連續(xù)映射.

設(shè)yi∈Σ(i=1,2,...)且依C1[0,∞)的拓?fù)鋣i收斂于y；對(duì)?r∈[0,∞)由（12）、（14）式得

（III）πΣ是相對(duì)緊的.

又注意到（12）式中的r≥ 0；及f(r,u,v)≥0

對(duì)（17）式右邊的積分我們約定

于是（17）式對(duì)任意r≥0成立.故有

由上式看到{(π′)|y∈Σ}在[0,R]上等度連續(xù).故對(duì)[0,∞)的任一緊子區(qū)間[0,R]；依C1[0,∞)的拓?fù)淠苡肁scoli-Arzela定理［7］.

要證明πΣ在Σ中是相對(duì)緊的；即要證πΣ中任一序列{(πyi)(r)}必包含一個(gè)子序列；該子序列依C1[0,∞)的拓?fù)涫諗坑讦仓械囊粋€(gè)元素；只需對(duì)區(qū)間列[0,R1]?[0,R2]?…?[0,Rj]?…,（其中Rj→∞,當(dāng)j→∞時(shí)）逐次利用Ascoli-Arzela定理；并采用“取對(duì)角線子列”手續(xù)即可完成.

以上證明了Schauder-Tychonoff不動(dòng)點(diǎn)定理［8］的條件全部滿足；所以π存在不動(dòng)點(diǎn)y∈Σ.

同前面類似；對(duì)方程（6）作相應(yīng)的初值問題：

其中ξ是待定常數(shù)；進(jìn)而作與（19）等價(jià)的積分方程：

由（11）知可選充分小的常數(shù)ξ＞ 0；滿足

類似前面可得πˉ存在不動(dòng)點(diǎn)z∈Γ.

如果上面待定常數(shù)η與ξ除了滿足（11）與（21）外還滿足2ξ≤η（選擇ξ滿足（21）；固定ξ；然后選取η使它滿足2ξ≤η及（11））；于是有

在證明定理開始一段已經(jīng)解釋過如果積分方程（8）有解y(r)；則v(x)=y|x|=y(r)便是初值問題（7）的解；也是方程（1）的上解.類似如積分方程（20）有解z(r)；則w(x)=z|x|=z(r)便是初值問題（19）的解；也是方程（1）的下解.由（22）得

由預(yù)備定理知存在方程（1）的解u(x)滿足

以上證明了方程（1）存在正的有界徑向?qū)ΨQ整體解u(x).從（23）和（24）看出所得到的正整解u(x)的上、下界取決于充分小的正數(shù)ξ,η的選擇；如果我們選取合適的數(shù)對(duì)(ξj,ηj)(j=1,2,3,…)；使用閉區(qū)間集{[ξj,ηj]|j=1,2,…}中的閉區(qū)間互不相交；那么我們得到方程（1）無窮多個(gè)互異的有界正整解uj(x),(j=1,2,3,…).（定理證畢）

定理1′設(shè)f滿足預(yù)備定理中的假設(shè)（a）；（b）；（c）和定理1中的條件（i）；（iii）及下面條件：

則方程（1）存在無窮多個(gè)有界正整解u(x).

證明由于定理（1)′與定理1的差別只是第二個(gè)條件；故只需把定理1證明過程中“可以選擇充分小的常數(shù)η＞0使得”即可；其余完全與定理1的證明類似.

定理2設(shè)f滿足（a）、（b）、（c）和下列條件：

（i）f1(r,u,v)與f2(r,u,v)關(guān)于u,v∈R+都是非增函數(shù)；

（ii)′λ-1?f1(p-1)2(r,λ,0)關(guān)于λ∈(0,∞)是非增函數(shù)；且對(duì)每一固定的r∈R+；有

（iii）存在常數(shù)c＞0使

則方程（1）存在無窮多個(gè)有界正整解u(x).

證明定理2的證明過程與定理1的證明過程完全類似.略.

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【責(zé)任編輯：吳躍新】

Quasilinear Elliptic Equations Such asdiv(|Du|p-2Du)=f(x,u,Du)

XU Xing-ye
（Department of Public Course Teaching，South China Business College，Guangdong University of Foreign Studies，Guangzhou 510545，Guangdong China）

In this paper we study the problem of bounded positive entire solutions of a class of the quasilinear elliptic equations such as with the Schauder-Tychonoff fixed point theorem as the principal tool and have attained two theorems of existence bounded positive entire solutions.

quasilinear elliptic equations；bounded positive entire solutions；Lebesgue dominated convergence theorem；close convex set；continuous mapping；fixed point theorem

O175.25

A

1671-5934（2016）06-0014-05

2016-09-19

資金項(xiàng)目：廣東外語外貿(mào)大學(xué)南國商學(xué)院校級(jí)科研重點(diǎn)課題資助（16-005A）

許興業(yè)（1900-），男，廣東普寧人，教授，理學(xué)學(xué)士，研究方向?yàn)榉蔷€性橢圓型偏微分正整解理論與應(yīng)用研究.